2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(

2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)解析版

2014年高招全国课标1（文科数学word 解析版）

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}13M x x =-<<，

{}21N x x =-<<，则M N =I （ ）

A.

)1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )

3,2(- 【答案】：B

【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得M N =I (-1,1),选B

（2）若0tan >α，则

A. 0sin >α

B.

0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α

【答案】：C

【解析】：由tan α > 0可得:k π <α < k π + 2

π(k ∈Z )，故2k π <2α <2 k π +π (k ∈Z )，

正确的结论只有sin 2α > 0. 选C

（3）设i i

z ++=11，则=||z

A. 2

1 B. 2

2 C. 2

3 D. 2

【答案】：B

【解析】：

11111222i z i i i i -=+=+=++

，z ==，选B

（4）已知双曲线

)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.

26 C. 25 D. 1 【答案】：D

【解析】：

由双曲线的离心率可得2a =，解得1a =，选D.

（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是

A. )()(x g x f 是偶函数

B. )(|)(|x g x f 是奇函数

C. |)(|)(x g x f 是奇函数

D. |)()(|x g x f 是奇函数

【答案】：C

【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()

F x

为奇函数，选C.

（6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. AD B. 12AD u u u r C. 12BC u u u r D. BC

【答案】：A

【解析】：

()()

EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =

()111222AB AC AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 选A.

（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，

③)62cos(π+=x y ,④)4

2tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为

A .①②③ B. ①③④ C. ②④

D. ①③

【答案】：A

【解析】：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π，

即①正确；y =| cos x |的最小正周期也是π ，即②也正确；cos 26y x π??=+ ??

?最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2

T π=,即④不正确. 即正确答案为①②③，选A

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

【答案】：B

【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M

=

A .203

B .165

C .72

D .158

【答案】：D

【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222

M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===； 4n =时：输出158

M = . 选D.

10.已知抛物线C ：x y

=2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0

（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】：A

【解析】：根据抛物线的定义可知001544

AF x

x =+=，解之得01x =. 选A.

11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥??-≤-?

且z x ay =+的最小值为7，则a =

（

A ）-5 （

B ）3

（C ）-5或 3 （D ）5或-3

【答案】：B

【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.

在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,2

2a a -+?? ???处，z 取得最值，故117,22

a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a = 3. 选B.

（12）已知函数32()31

f x ax x =-+，若()f x

存在唯一的零

点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是

（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞-

（D ）(),1-∞-

【答案】：C

【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax

x '=-，令()0f x '=，

得0x =或2x a =，

当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ????'''∈-∞>∈<∈+∞> ? ?????； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ????'''∈-∞<∈>∈+∞< ? ?????

要使()f x 有唯一的零点0x 且0

x ＞0，只需2()0f a >，即24a >，2a <-．选C

【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax

x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =-g 有唯一的正零根，令1t x =，则问题又等价于33a t t

=-+有唯一的正零根，即y a =与33y t

t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记3()3f t t t =-+ 2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，

()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，

()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需

(1)2

a f

<-=-，选C

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

【答案】：2

3

【解析】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列

方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为

42

63 P==.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】：A

【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

（15）设函数()113

,1,,1,x e x f x x x -?

取值范围是________.

【答案】：(],8-∞

【解析】当x <1时，由12x e

-<可得x -1≤ ln 2，即x ≤ ln 2+1，故x <1； 当x ≥1时，由f (x ) =1

3x ≤ 2可得x ≤ 8，故1≤ x ≤ 8，综上可得x ≤ 8

（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得

M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点

测得

60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

【答案】：150

【解析】在直角三角形 ABC

中，由条件可得AC =，在△MAC 中，由正弦 定理可得()0000sin 60sin 1806075AM AC =--

，故AM AC ==，在直角△MAN 中，0sin 60150MN AM ==g .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n

a 的通项公式； （II ）求数列2n

n a ??????

的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2560x

x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a

a d -=，故d=12，从而

13

2a =， 所以{}n a 的通项公式为：

112n a n =+ (6)

分

(Ⅱ)设求数列2n

n a ??????

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知

1222n n n a n ++=， 则：23413451222222n n n n n S +++=+++++L

34512134512222222n n n n n S ++++=+++++L 两式相减得

341212131112311212422224422n n n n n n n S ++++++????=++++-=+-- ? ?????L

所以14

22n n n S ++=- ………

12分

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

【解析】：（I）

(4)

分

（II ）质量指标值的样本平均数为

800.06900.261000.381100.221200.08100x =?+?+?+?+?= .

质量指标值的样本方差为 ()()()()2222

2200.06100.2600.38100.22200.08104s =-?+-?+?+?+?=…10 分

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. …………….12 分

19(本题满分12分)

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.

（I ）证明：;1

AB C B ⊥ （II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο

求三棱柱111C B A ABC -的高.

【解析】：（I ）连结1

BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11

BB C C 为菱形，所以

1B C 1BC ⊥，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO ⊥1B C ⊥平面ABO ，由于AB ?平面ABO ，

故1B C ⊥AB

………6分

（II ）作OD ⊥BC,垂足为D,

连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H,

由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥

平面AOD,所以OH ⊥BC.

又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面

ABC.

因为1,601==∠BC CBB

ο,所以△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=3，由于1AB AC ⊥，所以1

1122OA B C ==，由 OH ·AD=OD ·OA,且227AD OD OA =

+=，得OH=21 又O 为B 1C 的中点,所以点B 1 到平面ABC 的距离

为21

,故三棱柱ABC-A 1B 1C 1 的高为21

…………………….12 分

20.（本小题满分12分）

已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x

，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原

点. （I ）求M 的轨迹方程；

（II ）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 【解析】：（I ）圆C 的方程可化为

()22416x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

设M(x,y),则

(,4)CM x y =-u u u u r ，(2,2)MP x y =--u u u r ，,由题设知0CM MP =u u u u r u u u r g ,故

()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-= ………… 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是

以点N(1,3)为圆心, 2 为半

径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O 在线段

PM 的垂直平分线上,又P 在

圆N 上,从而ON ⊥PM.

因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13

-,直线l 的方程为：1

833

y x =-+ 又22OM OP ==，O 到l 的距离为4

10，410PM

=，

所

以POM ?的面积为：16

5. ……………12分

21（12分）

设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()

11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （I ）求b;

（II ）若存在01,x ≥使得()0

1a f x a <-，求a 的取值范围。 【解析】：（I ）()(1)a f x a x b x '=+--，由题设知 (1)0f '=,解得 b =1. ……………4 分

(Ⅱ) f (x )的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知, 21()ln 2a f x a x x x -=+-， ()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -??'=+--=-- ?-?? (i)若12a ≤，则11a a ≤-，故当x ∈(1,+∞)时, f '(x ) > 0 , f (x )在(1,+∞)上单调递增.

所以,存在0

x ≥1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a a a --<- 所以

-1 < a

-1;

(ii)若1

12a <<，则11a a >-，故当x ∈(1, 1a a -)时, f '(x ) < 0 , x ∈(,1a a +∞-)

时,()0f x '>,f (x )在(1, 1a a -)上单调递减，f (x )在,1a a +∞-单调递增. 所以,存在0x ≥1, 使得 0

()1a f x a ≤-的充要条件为()11a a f a a ≤--，而

()2()ln 112111a a a a a f a a a a a a

=++>-----，所以不和题意. (ⅲ) 若1a >，则11(1)1221

a a a f a ---=-=<-。 综上，a 的取值范围为：()()21,211,-

--?+∞

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）

选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是O e 的内

接四边形，AB 的延长线与DC 的延

长线交于点E ，且CB CE =.

（I ）证明：D E ∠=∠；

（II ）设AD 不是O e 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ?为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A 、

B 、

C 、

D 四点共圆，所以

N

∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E ,

所以∠D=∠E

……………5分 （Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知M N ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故O M ⊥AD ， 即

MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又

∠

CBE=∠E ，故∠A=∠E 由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角

形． ……………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线194:2

2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数）

（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=??=?

（θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= (5)

分

（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 30

5d PA θα==+-，其中α为锐角．且4

tan 3α=.

当()sin 1θα+=-时，||PA 22

5

当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25

. …………10分

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若,0,0>>b a 且ab b a =+11

（I ）求33b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ) 11ab a b ab =+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立，

故3333342a

b a b +≥=g 2a b == ∴33a b +的最

小值为

. (5)

分 （Ⅱ）

由623a b =+≥得32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以

不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8iul.html