【中小学资料】2022版高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性

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中小学最新教育资料3．1.3 概率的基本性质

[学习目标] 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．

知识点一事件的关系与运算

1．事件的包含关系

2.

3.

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4.事件的交(或积)

5.

思考}，事件A与事件B应有怎样的关系？

(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？

答(1)因为1为奇数，所以A?B.

(2)①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．

知识点二概率的几个基本性质

1．概率的取值范围

(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

2．互斥事件的概率加法公式

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中小学最新教育资料 当事件A 与事件B 互斥时，A ∪B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和，从而A ∪B 的频率f n (A ∪B )＝f n (A )＋f n (B )，则概率的加法公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．

3．对立事件的概率公式

若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1.再由互斥事件的概率加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，得P (A )＝1－P (B )．

题型一 事件关系的判断

例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

解 (1)是互斥事件，不是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．

2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn 图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．

跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )

A ．至少有一个红球与都是红球

B ．至少有一个红球与都是白球

C ．至少有一个红球与至少有一个白球

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D．恰有一个红球与恰有两个红球

答案 D

解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．

题型二事件的运算

例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.

且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，

所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．

同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5. 反思与感悟事件间运算方法：

(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：

(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？

解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝

A.

题型三对立事件、互斥事件的概率

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例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．

解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：

共有36所以P (A )＝2036＝5

9

.

方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，记为A .

如上表，既没有5点又没有6点的结果共有16个， 则既没有5点又没有6点的概率为P (A )＝

1636＝49

. 所以至少有一个5点或6点的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－49＝5

9.

反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．

2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．

3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其对立事件，然后转化为所求问题．

跟踪训练3 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1

3，则甲不输的概

率为( )

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中小学最新教育资料 A.56

B.25

C.16

D.13 答案 A

解析 先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”

和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56

.

求复杂事件的概率

例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个

绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112

. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；

(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．

分析 事件A ，B ，C ，D 为互斥事件，A ∪B 与C ∪D 为对立事件，A ∪B ∪C 与D 为对立事件，因此可用两种方法求解．

解 方法一 (1)因为事件A ，B ，C ，D 彼此为互斥事件，

所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34

.

(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为 P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.

方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A ∪B 的对立事件为C ∪D ，所以P (A ∪B )＝1－P (C ∪D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34

，

即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34

. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ∪B ∪C 的对立事件为D ，

所以P (A ∪B ∪C )＝1－P (D )＝1－112＝1112，

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中小学最新教育资料 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112

. 解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．

1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 C

解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P (A ∪B )＝P (A )，∴④错；只有事件A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．

2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( )

A ．互斥不对立

B ．对立不互斥

C ．互斥且对立

D ．不互斥、不对立

答案 C

解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．

3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A ＝{两弹都击中飞机}，事件B ＝{两弹都没击中飞机}，事件C ＝{恰有一弹击中飞机}，事件D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )

A ．A ?D

B ．B ∩D ＝?

C ．A ∪C ＝D

D ．A ∪B ＝B ∪D 答案 D

解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A ∪B ≠B ∪D .

4．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的

概率是34

，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( ) A.35B.25C.14D.18

答案 C

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中小学最新教育资料 解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14

. 5．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．

答案 0.2

解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝

0.2.

1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥，未必对立；对立，一定互斥．

2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．

3．求复杂事件的概率通常有两种方法：

(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8irl.html