线性回归分析练习题

§1 回归分析

一、基础过关

1． 下列变量之间的关系是函数关系的是 ( )

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，

因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩施用肥料量和粮食产量 2． 在以下四个散点图中，

其中适用于作线性回归的散点图为 A．①②

B．①③

( )

C．②③

D．③④

( )

3． 下列变量中，属于负相关的是

A．收入增加，储蓄额增加 B．产量增加，生产费用增加 C．收入增加，支出增加 D．价格下降，消费增加

4． 已知对一组观察值(xi，yi)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于

y＝bx＋a，求得b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则线性回归方程为 A．y＝0.51x＋6.65

B．y＝6.65x＋0.51

D．y＝42.30x＋0.51

( )

C．y＝0.51x＋42.30

5． 对于回归分析，下列说法错误的是

A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由

自变量唯一确定

B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的

C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关 D．样本相关系数r∈(－1,1)

6． 下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过

( )

A.点(2,3)

x y

1 1 2 3 3 5 4 7 B．点(1.5,4) D．点(2.5,5)

C．点(2.5,4)

7． 若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________. 二、能力提升

8． 若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，

当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________ kg.

9． 某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4

次试验，得到的数据如下：

零件的个数x/个 加工的时间y/小时 2 3 4 5 2.5 3 4 4.5 若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系． (1)求加工时间与零件个数的线性回归方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间．

10．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：

组别 1 2 3 4 5 价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量y 5

512 10 7 5 3 2

已知∑xy＝62，∑xiii＝16.6. i＝1i＝1

(1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程；

(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)． 11．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散点图； (2)求出回归方程；

(3)计算相关系数并进行相关性检验； (4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

答案

1．A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7．0 8.y＝－11.3＋36.95x 9．450

10．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得

x＝y＝

4

2＋3＋4＋5

＝3.5， 42.5＋3＋4＋4.5

＝3.5，

4

4i1

i1

2

∑xy＝52.5，∑x＝54， iii＝＝

4

b＝

i＝1

∑xiyi－4x y

2

∑xi－4i＝14x

2

＝

52.5－4×3.5×3.5

＝0.7，

54－4×3.52a＝y－bx＝1.05，

因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.

(2)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．

11．解 (1)散点图如下图所示：

55

11

(2)因为x＝×9＝1.8，y＝×37＝7.4，∑xiyi＝62，∑x2i＝16.6，

55i＝1i＝1

5

∑xiyi－5x y62－5×1.8×7.4

所以b＝5＝＝－11.5，

16.6－5×1.822

∑x2i－5x＝

i＝1i1

a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1， 故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x. (3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．

所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t.

12．解 (1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线

性相关关系．

(2)列表计算：

次数xi 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩yi 30 34 37 39 42 46 48 51 x2i 900 1 089 1 225 1 369 1 521 1 936 2 116 2 500 y2i 900 1 156 1 369 1 521 1 764 2 116 2 304 2 601 xiyi 900 1 122 1 295 1 443 1 638 2 024 2 208 2 550 由上表可求得x＝39.25，y＝40.875，

8i＝18i＝1

8i1

∑x2i＝12 656，∑y2i＝13 731， ＝∑xiyi＝13 180，

8i＝1

∴b＝

∑xiyi－8x y

8i＝1

∑x2i－8x

2

≈1.041 5，

a＝y－bx＝－0.003 88，

∴线性回归方程为y＝1.041 5x－0.003 88.

(3)计算相关系数r＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值． 将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 13．解 ∵sx＝

lxy∴＝rn

lxy，sy＝n

lxy， n

lxyn57.76lxylyy·＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝＝＝1， nnlxy7.62n

β0＝y－β1x＝72－1×172＝－100.

故由身高估计平均体重的回归方程为y＝x－100.

lxyn57.76

由x，y位置的对称性，得b＝＝＝0.25，

lxy15.22n∴a＝x－by＝172－0.25×72＝154.

故由体重估计平均身高的回归方程为x＝0.25y＋154.

1.3 可线性化的回归分析

一、基础过关

1． 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是

A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200 2． 在线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b表示

( )

D．y＝10x－200

( )

A．当x＝0时，y的平均值 B．x变动一个单位时，y的实际变动量 C．y变动一个单位时，x的平均变动量 D．x变动一个单位时，y的平均变动量

3． 对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为 ( )

A．u＝c＋bx

B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx

D．y＝c＋bx

4． 下列说法错误的是( )

A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系 B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法

C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系

D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决

5． 每一吨铸铁成本yc(元)与铸件废品率x%建立的回归方程yc＝56＋8x，下列说法正确的是 ( )

A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8% C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元 6． 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利

用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是 ( ) A．直线l1和l2有交点(s，t) B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t) C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行 D．直线l1和l2必定重合 二、能力提升

7． 研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70. 下列哪个方程可以较恰当的拟合

( )

A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604 C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x 8． 已知x，y之间的一组数据如下表：

x y 1.08 2.25 1.12 2.37 1.19 2.43 1.25 2.55 则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________． 9． 已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

x y （1）建立y与x之间的回归方程． （2）当x?8时，y大约是多少

11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：

年次x 利润总额y 1 11.35 2 11.85 3 12.44 4 13.07 5 13.59 6 14.41 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1 由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝abxe0.其中a、b均为正数，求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)

三、探究与拓展

12．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：

x y x 9.5 6 19.5 11.5 4.6 21.5 13.5 4 23.5 15.5 3.2 25.5 17.5 2.8 27.5

y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品b

的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的

x估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．

答案

1．A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B 8．(1.16,2.4) 9.11.69

10．解 画出散点图如图(1)所示，观察可知y与x近似是反比例函数关系．

k1

设y＝ (k≠0)，令t＝，则y＝kt.

xx

可得到y关于t的数据如下表：

t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1 画出散点图如图(2)所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：

5i＝1

b＝

∑tiyi－5t y

5i＝1

∑t2i－5t

2

≈4.134 4，

a＝y－bt≈0.791 7， 所以y＝4.134 4t＋0.791 7， 所以y与x的回归方程是y＝

4.134 4

＋0.791 7. x

11．解 对y＝abxe0两边取对数，

得ln y＝ln ae0＋xln b，令z＝ln y， 则z与x的数据如下表：

x z 1 2.43 2 2.47 3 2.52 4 2.57 5 2.61 6 2.67 由z＝ln ae0＋xln b及最小二乘法公式，得ln b≈0.047 7，ln ae0≈2.38，

即z＝2.38＋0.047 7x，所以y＝10.8×1.05x. 1

12．解 设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：

x

u y u y 0.105 3 6 0.051 3 2.5 0.087 0 4.6 0.046 5 2.4 0.074 1 4 0.042 6 2.3 0.064 5 3.2 0.039 2 2.2 0.057 1 2.8 0.036 4 2.1 进而可得n＝10，u≈0.060 4，y＝3.21，

2

?u2i－10u≈0.004 557 3， 10

i＝1

i＝1

?uiyi－10u y≈0.256 35，

10

0.256 35b≈≈56.25， 0.004 557 3a＝y－b·u≈－0.187 5，

56.25

所求的回归方程为y＝－0.187 5＋.

x

当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.

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