斜齿轮公法线测量点所在圆直径的计算

斜齿轮公法线测量点所在圆直径dk的计算

中煤北京煤机公司退休职工 周万峰

摘要：文章给出斜齿轮公法线测量点所在圆直径(dk)的另一种计算方法，并验证了这种方法是完全正确的。

关键词：斜齿轮，当量直齿轮。

一、概述

大家知道，判断一条公法线长度是否合理（见《变位齿轮公法线长度合理性的判定》一文）或者验算变位斜齿轮的齿宽能否进行公法线长度的测量（见《变位斜齿轮满足公法线长度测量点有效齿宽的正确计算》一文），都需算出公法线测量点所在圆的直径（dk)的值（见图1）。直齿轮的dk值容易计算，但不知斜齿轮的dk如何计算。一天笔者突发奇想：将斜齿轮看成是当量的直齿轮，用直齿轮的方法计算斜齿轮的dk如何呢？于是给出算例进行计算，很快有了结果。但这种方法行不行，有无误差以及误差大小如何心中都是无底的。于是对这种方法进行分析：比如：当跨齿数计算值k?4.5836时，按规定应取k?5。这时公法线测量点（量具卡脚与齿廓的切点）应在分度圆以上，且离分度圆较远；当k?5.4674时，应取k?5，这时公法线的测量点应在分度圆以下，且离分度圆较远；当k?5.0785时，应取k?5。这时公法线的测量点应在分度圆以下，但离分度圆会很近；当k?4.9824时应取k?5。这时公法线的测量点应在以上，且离分度圆会很近。这样分析后立即给出算例进行验证。结果正如笔者所分析的那样。于是在上世纪80年代末，90年代初写出了前面说的那两篇文章。但北京一家工艺性质的杂志的审稿人认为：用当量直齿轮法计算斜齿轮的dk的值“是近似的，有误差的，影响判断的正确性”。于

图1 公法线长度测量

是他提供一个计算斜齿轮dk的公式，即dk?db?(Wncos?b)2（笔者后来得知，瑞士

2“齿轮手册”上有这个公式，我国教材、手册和科技书上没有这个公式）。他说用这个公式计算才是正确的，因而不同意文章发表。笔者认为自己使用的方法是可行的，于是双方争

1

鸣起来。由于双方各持己见，当然文章不能发表。那么笔者使用的这种方法到底怎么样呢？它会影响判断的正确性吗？笔者告诉您，这种方法完全正确，并不影响判断的正确性。

二、用当量直齿轮计算斜齿轮dk的方法

所谓当量直齿轮就是将斜齿轮看成是齿数为z?(z??z(inv?tinv?n)、参数与斜齿轮法面参数相同的直齿轮，这样就可按直齿轮的方法计算斜齿轮的dk了（直齿轮的计算式为：

dk?Wk?db）。现将计算步骤说明如下：

?1、计算当量直齿轮公法线测量点所在圆直径dk

22dk?Wk??2?db?2

?Wk——当量直齿轮的公法线长度； ?db——当量直齿轮的基圆直径。

??Wk 、db的计算方法与直齿轮相同，只是z用z?代入。

?2、计算当量直齿轮的齿顶圆直径da

??da?d??2ha

d?——当量直齿轮的分度圆直径，d??mz?； ??ha——当量直齿轮轮的齿顶高，ha?ha 。

??3、计算当量直齿轮公法线测量点至齿顶的距离Sa （Sa?Sa）

???Sa?(da?dk)2。

4、计算斜齿轮的公法线测量点所在圆直径dk

dk?da?2Sa

式中da为斜齿轮的齿顶圆直径。dk求出后代入公式tg?k?(dkd)tg?中即可求出公法线测量点所在圆的螺旋角?k，然后即可验算齿宽能否进行公法线长度的测量，公式为

b?Wknsin?k。那么用这种方法求出的dk是否影响判断齿宽的正确性呢？笔者告诉您：

这种方法是相当精确的，绝对不会影响判断的正确性。下面用3个算例对这种方法的正确性进行验证。

三、用当量直齿轮计算斜齿轮dk方法正确性的验证

算例

?n?20 一标准斜齿轮，mn?5mm ，z?42 ，0。当

??300，??180，??120时，试用两种方法计算公法线测量点所在圆直径dk，然后计

算齿宽b，看看两种方法误差的大小。

2

1、用理论公式计算dk

dk?db?(Wncos?b)2

⑴ 计算基圆直径db

db?dco?st ① 计算分度圆直径d

2d?mnzcos?

?当??300时d?5?42cos300?242.4871。

当??180时d?5?42cos180 ?220.8071。 当??120时d?5?42cos 120?214。 .6915② 计算斜齿轮端面压力角?t

?tg?t?tg?ncos???t?arc tg(tg?ncos?)

?当??300时?t?arctg(tg200cos300)?22.7958770。

当??18时?t?arctg(tg20 当??12时?t?arctg(tg200000cos180)?20.9418906。 cos120)?20.4103102。

?当??300时db?242.4871cos22.7958770?223.5467。

当??18时db?220.8071cos20.941896 当??12时db?214.6915cos20.410312

⑵ 计算公法线长度Wn

0000?206.2213。 ?201.2130。

Wn?mncos?n?(k?0.5)??z?inv?n?

计算跨齿数

k?z??n1800?0.5，z??zinv?t。

inv?n?当??300时inv22.7958770?tg22.7958770?22.7958770?1800?0.0224135。

inv200?0.0149044(见手册)

?inv?t0.0224135??1.5038。

inv?n0.0149044?z??42?1.5038?63.1596。

?k?63.1596?2001800?0.5?7.51，按规定应取k?8。

当??18时inv20.941896?tg20.941896?20.94189600?1800?0.0171959 。

?inv?t0.0171959??1.1537。

inv?n0.0149044z??42?1.1537?48.4574，

?k?48.4574?2001800?0.5?5.88。按规定应取k?6。

3

当??12时inv20.41031200?tg20.4103120?20.4103120?1800?0.0158744。

?inv?t0.0158744??1.0651。

inv?n0.0149044z??42?1.0651?44.7334。

?k?44.7334?2001800?0.5?5.47。按规定应取k?5。

???300时Wn?5cos200(8?0.5)??63.1596inv200?115.1279。

??180时Wn00??120时Wn⑶ 计算基圆螺旋角?b

?tg?b?tg?cos?t??b?arctg(tg?cos?t)

???5cos20?(6?0.5)??48.4574inv20??84.5770。 ?5cos20?(5?0.5)??44.7334inv20??69.5555。

00?当??300时?b?arctg(tg300cos22.7958770)?28.0243210。

当??18时?b?arctg(tg18cos20.941896)?16.880767。 当??12时?b?arctg(tg12cos20.410312)?12.266519 。

2（115.1279cos28.0243210）?245.5638。 ?当??300时dk?223.54672?0当??18时dk?00000000206.22132?(84.5570cos16.8807670)2?221.5340。 201.21302?(69.5555cos11.2665190)2?212.4617。

0当??12时dk?2、用当量直齿轮法计算斜齿轮的dk

inv?t)、参数与与斜齿轮法面参数inv?n相同的直齿轮，然后用直齿轮的方法计算斜齿轮的dk。斜齿轮的dk?da?2Sa（da为斜

当量直齿轮法就是将斜齿轮看成是齿数为z?(z??z齿轮的齿顶圆直径，Sa为公法线测量点至齿顶的距离）。?

⑴ 计算斜齿轮的齿顶圆直径da

da?d?2ha (ha?mn?5)

???300时da?242.4871?2?5?252.4871。

??180时da?220.8071?2?5?230.8071。

0 ??12时da?214.6915?2?5?224.6915。

⑵ 计算斜齿轮公法线测量点至齿顶的距离Sa

众所周知，斜齿轮的Sa与当量直齿轮的Sa是相等的。所以当量直齿轮公法线测量

点至齿顶的距离为：

????Sa?(da?dk)2

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① 计算当量直齿轮的齿顶圆直径da

?d??mz?

???300时d??5?63.1596?315.7980，

??180时d??5?48.4574?242.2870， ??120时d??5?44.7334?223.6670。 ?当??300时d?a?315.7980?2?5?325.7980。

当??180时d?a?242.2870?2?5?252.2870。

当??120时d?a?223.6670?2?5?233.6670。

②计算当量直齿轮公法线测量点所在圆直径d?k

d??2?2k?db?Wk

A 计算当量直齿轮的基圆直径d?b

d?b?d?cos?

?当??300时d?b?315.7980cos200?296.7531。 当??180时d?200b?242.2870cos?227.6753。 当??120时d?0b?223.6670cos20?210.1782。B、计算当量直齿轮的公法线长度W?k

从计算结果知，当量直齿轮与斜齿轮的公法线长度是一样的，即

??300时W?k?115.1279，

??180时W?k?84.5770， ??120时W?k?69.5555。

?当??300时d?k?296.75312?115.12792?318.3031。 当??180时d?k?227.67532?84.57702?242.8772。 当??120时d?k?210.17822?69.55552?221.3884。?当??300时 S?a?(325.8020?318.3031)2?3.7471。5

当??180时 S?a?(252.2870?242.8772)2?4.7029。

当??120时 S ?a?(233.6670?221.388)42?6.1393。 ?S?a?Sa ，dk?da?2Sa，

?当??300时dk?252.4871?2?3.7471?244.9929，

当??180时dk?230.8071?2?4.7049?221.4013。 当??120时dk?224.6915?2?6.1393?212.4129。

四、用两种方法验算齿宽b

齿宽的验算公式为b?Wnsin?k（?k为公法线测量点所在圆的螺旋角）。tg?dkk?dtg? ，??dk?arctg(kdtg?) 1、用理论公式算出的dk计算?k

当??300时?245.5638k?arctg(242.4871tg300)?30.3137910。

当??180时?221.5340k?arctg(220.8071tg180)?18.0554160。

当??120时?.4617k?arctg(212214.6915tg120)?11.8762750。

2、 用当量直齿轮发算出的dk计算?k

??300时?k?arctg(244.9929242.4871tg300)?30.2557306。

??180时 ?221.4013k?arctg(220.8071tg180)?18.0453002。

??120时 ?212.4129k?arctg(214.6915tg120)?11.8762705。

3、验算齿宽b

⑴ 理论公式验算的结果

b?Wnsin?k

??300时 b?115.1279sin30.3137910?58.11。 ??180时 b?84.5770sin18.0554160?26.21。

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??120时 b?69.5555sin11.8789260?14.32。 ⑵ 当量直齿轮验算的结果

??300时 b?115.1297sin30.2557360?58.01。 ??180时 b?84.5770sin18.0453020?26.20。

??120时 b?69.5555sin11.8762750?14.31。

五、两种方法算出的齿宽误差大小之比较

当??300时用理论公式算出的齿宽b?58.11mm，而用当量直齿轮算出的齿宽

b?58.01mm，二者仅差0.1mm。当??180时用理论公式算出的齿宽b?26.21mm，而用当量直齿轮算出的齿宽b?26.20mm，二者只差0.01mm。当??120时b?14.32mm，而用当量直齿轮算出的齿宽b?14.31mm，二者只差0.01mm。请问：这样小的误差怎么能影响判断的正确性呢？更何况算出齿宽后尚需再加上3~5mm才能更方便的进行公法线长度的测量呢。所以，用当量直齿轮计算斜齿轮的dk的这种方法

是完全正确的，并不影响判断的正确性（文章开头说的那两篇文章已先后在其它两家杂志发表了，如果这种方法不对，影响判断的正确性，文章能发表吗？）。可见审稿人的说法是不成立的。所以有时文章不能发表并不是文章不正确，也不是文章没有学术价值，而往往是由于审稿人的种种原因（比如他对文章涉及的问题并不在行，发表怕承担责任；比如文章指出教材、手册有什么不合理，他怕得罪人；比如有的审稿人故弄玄虚等等）造成的。

注：本文是为争鸣而作（审稿人不是说笔者的方法有误差，不精确，影响判断的正确性吗？笔者就是为证明这种方法是完全正确的，并不影响判断的正确性而写的），故未投过稿。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8iip.html