2013年北京市海淀区高三二模数学理科含答案

决定高考数学成绩的3大因素 高考数学满分得主王老师13611189981冲刺提分辅导，按分计费保目标

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 （理科） 2013.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.集合A??x|(x?1)(x?2)?0?，B??xx?0?，则A?B?

A．(??,0] B．(??,1] C． [1,2] D．[1,??)

2.已知数列?an?是公比为q的等比数列，且a1?a3?4，a4?8，则a1?q的值为 A．3 B．2 C．3或?2 D．3或?3 3. 如图，在边长为a的正方形内有不规则图形?. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形?内和正方形内的豆子数分别为m,n，则图形?面积的估计值为

manama2na2A. B. C. D.

nmnm4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.300

主视图66左视图56????????????????ABCD???R5.在四边形中，“，使得AB??DC,AD??BC”是“四边形

俯视图ABCD为平行四边形”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为

A. 32 B. 36 C. 42 D. 48

7.双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰为抛物线y2?4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若?AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为 A. 2 B.1?2 C.1?3 D.2?3

高三数学（理科）试题第1页（共4页）

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8. 若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an?T?an成立，则称数列{an}?an?1, an?1，?为周期数列，周期为T. 已知数列{an}满足a1?m(m?0)，an?1=?1

, 0?a?1.n?a?n则下列结论中错误的是 ．．

A. 若a3?4，则m可以取3个不同的值 B. 若m?2，则数列{an}是周期为3的数列

C.?T?N*且T?2，存在m?1，{an}是周期为T的数列 D.?m?Q且m?2，数列{an}是周期数列

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 在极坐标系中，极点到直线?cos??2的距离为_______.

1?1110.已知a?ln,b?sin,c?22，则a,b,c按照从大到小排列为______. ．．．．2211.直线l1过点(?2,0)且倾斜角为30?，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2 的交点坐标为____.

12.在?ABC中，?A?30?,?B?45?,a?2，则b?_____; S?ABC?_____.

????????ABCD?ABCDBD13.正方体1111的棱长为1，若动点P在线段1上运动，则DC?AP的取值

范围是______________.

14.在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W. (I) 给出下列三个结论： ①曲线W关于原点对称； ②曲线W关于直线y?x对称；

③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W上的点到原点距离的最小值为______.

高三数学（理科）试题第2页（共4页）

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三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?1?cos2xπ2sin(x?)4.

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； (Ⅱ) 求函数f(x)的单调递增区间.

16.（本小题满分13分）

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.

(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.

17. （本小题满分14分）

如图1，在直角梯形ABCD中，?ABC??DAB?90?，?CAB?30?，BC?2，

AD?4. 把?DAC沿对角线AC折起到?PAC的位置,如图2所示,使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB,点E,F分别为线段PA,AB的中点． (I) 求证：平面EFH//平面PBC；

(II) 求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；

(III)在棱PA上是否存在一点M,使得M到点P,H,A,F四点的距离相等？请说明理由.

CD E A F P

A图1H B 图2 C B高三数学（理科）试题第3页（共4页）

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18. （本小题满分13分）

已知函数f(x)?ex,点A(a,0)为一定点,直线x?t(t?a)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记?AMN的面积为S(t). （I）当a?0时,求函数S(t)的单调区间；

（II）当a?2时, 若?t0?[0,2],使得S(t0)?e, 求实数a的取值范围.

19. （本小题满分14分）

x2y2已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60?的菱形

ab的四个顶点.

（I）求椭圆M的方程；

1（II）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,?)，求?AOB

2（O为原点）面积的最大值.

20. （本小题满分13分）

设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操

1 2 1 3 0 ?7 1 ?2 作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1

(Ⅱ) 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a的所有可能值； (Ⅲ)对由m?n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，

aa2?1?a?a22?a1?a2a?2a2能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

高三数学（理科）试题第4页（共4页）

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数 学 （理科）

参考答案及评分标准 2013.5

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

9． 2 12．2; 10．c?b?a 11. (1,3) 14．②③;2?2 3?1 2 13．[0,1]

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）因为sin(x?)?0

π4π?kπ,k?Z ????????2分 4π所以函数的定义域为{x|x?kπ+,k?Z} ????????4分

4cos2x?sin2x （II）因为f(x)?1? ????????6分

sinx?cosx所以x?= 1?(cosx?sinx)

?1?sinx?cosx

π= 1?2sin(x?) ????????8分

4ππ又y?sinx的单调递增区间为 (2kπ?,2kπ?) ，k?Z

22πππ令 2kπ??x??2kπ?

2423ππ?x?2kπ? ????????11分 解得 2kπ?44π又注意到x?kπ+,

4高三数学（理科）试题第5页（共4页）

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所以f(x)的单调递增区间为(2kπ?3ππ,2kπ?)， k?Z ???????13分 44

16. 解：（I）设至少一张中奖为事件A

则P(A)?1?0.52?0.75 ???????4分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为?

则?可以取5,0,?45,?145 ???????6分 ?的分布列为

? P 5 50% 0 50%?2%?p ?45 ?145 2% p ???????8分

所以?的期望为E??5?50%?0?(50%?2%?p)?(?45)?2%?(?145)?p ?2.5?90%?145p ???????11分 所以当 1.6?145p?0时，即p? 所以当0?p?8 ???????12分 7258时，福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13分72517.解：（I）因为点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上

所以PH?平面ABC，所以PH?AC ???????1分

因为在直角梯形ABCD中，?ABC??DAB?90?，?CAB?30?，

BC?2，AD?4

所以AC?4，?CAB?60?，所以?ADC是等边三角形，

所以H是AC中点， ???????2分

所以HE//PC ???????3分 同理可证EF//PB

又HE?EF?E,CP?PB?P

所以平面EFH//平面PBC ???????5分 （II）在平面ABC内过H作AC的垂线

如图建立空间直角坐标系，

则A(0,?2,0)，P(0,0,23)，B(3,1,0) ???????6分

高三数学（理科）试题第6页（共4页）

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????因为E(0,?1,3)，HE?(0,?1,3) ?设平面PHB的法向量为n?(x,y,z)

EAFxzP????????因为HB?(3,1,0)，HP?(0,0,23) ????????HB?n?0?3x?y?0?????所以有?，即?，

z?0HP?n?0????HBCy令x?3,则y??3, 所以 n?(3,?3,0) ???????8分

???????????n?HE33??cos?n,HE????????? ???????10分

4|n|?|HE|2?23所以直线HE与平面PHB所成角的正弦值为3 ???????11分 4(III)存在，事实上记点E为M即可 ???????12分

因为在直角三角形PHA中，EH?PE?EA?在直角三角形PHB中，点PB?4,EF?1PA?2， ???????13分 21PB?2 2所以点E到四个点P,O,C,F的距离相等 ???????14分 18.解: (I) 因为S(t)?当a?0，S(t)?1|t?a|et，其中t?a ???????2分 21|t|et，其中t?0 211当t?0时，S(t)?tet，S'(t)?(t?1)et，

22所以S'(t)?0，所以S(t)在(0,??)上递增， ???????4分 当t?0时，S(t)??tet，S'(t)??(t?1)et，

1212121令S'(t)??(t?1)et?0， 解得t??1，所以S(t)在(?1,0)上递减 ?????7分

2令S'(t)??(t?1)et?0， 解得t??1，所以S(t)在(??,?1)上递增 综上，S(t)的单调递增区间为(0,??)，(??,?1)

S(t)的单调递增区间为(?1,0) （II）因为S(t)?1|t?a|et，其中t?a 2高三数学（理科）试题第7页（共4页）

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当a?2，t?[0,2]时，S(t)?(a?t)et

因为?t0?[0,2]，使得S(t0)?e，所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e

121S'(t)??[t?(a?1)]et，令S'(t)?0，得t?a?1 ???????8分

2当a?1?2时，即a?3时

1S'(t)??[t?(a?1)]et?0对t?(0,2)成立，S(t)单调递增

21所以当t?2时，S(t)取得最大值S(2)?(a?2)e2

212令(a?2)e2?e ，解得 a??2 ， 2e所以a?3 ???????10分 当a?1?2时，即a?3时

1S'(t)??[t?(a?1)]et?0对t?(0,a?1)成立，S(t)单调递增

21S'(t)??[t?(a?1)]et?0对t?(a?1,2)成立，S(t)单调递减

21所以当t?a?1时，S(t)取得最大值S(a?1)?ea?1

21 令S(a?1)?ea?1?e ，解得a?ln2?2

2所以ln2?2?a?3 ???????12分 综上所述，ln2?2?a ???????13分

x2y219.解:(I)因为椭圆M:2?2?1(a?b?0)的四个顶点恰好是一边长为2，

ab一内角为60? 的菱形的四个顶点,

x2所以a?3,b?1,椭圆M的方程为?y2?1 ???????4分

31(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的垂直平分线通过点(0,?)， 显然直线AB有斜率，

2当直线AB的斜率为0时,则AB的垂直平分线为y轴,则x1??x2,y1?y2

1x12x12122所以S?AOB=|2x1||y1|?|x1||y1|?|x1|1??x1(1?)?x1(3?x12)

2333x12?(3?x12)3?， 因为x(3?x)?22363 ??????7分 所以S?AOB?，当且仅当|x1|?时，S?AOB取得最大值为2222121高三数学（理科）试题第8页（共4页）

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当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为y?kx?t

?y?kx?t?222(3k?1)x?6ktx?3t?3?0 所以?x2，代入得到2?y?1?3?当??4(9k2?3?3t2)?0, 即3k2?1?t2① 方程有两个不同的解

x1?x2?3kt?6kt ???????8分 ?，2223k?13k?1y?y2t?2所以1， 23k?1又x1?x2?y1?y21?22??1，化简得到2又3k?1?4t ②

x1?x2k0?2代入①，得到0?t?4 ???????10分 又原点到直线的距离为d?|t|k2?1

|AB|?1?k|x1?x2|?1?k224(9k2?3?3t2) 3k2?111|t|所以S?AOB=|AB||d|?1?k222k2?1化简得到S?AOB=4(9k2?3?3t2) 3k2?113(4t?t2) ???????12分 473 时，S?AOB取得最大值32因为0?t?4，所以当t?2时，即k??综上，?AOB面积的最大值为20.（I）解：法1：

3 ???????14分 2123?712371237改变第4列改变第2行 ?????????????2101?210?12?101法2：

123?7?123?7?1237改变第1列改变第4列 ?????????????21012101210?1高三数学（理科）试题第9页（共4页）

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???????3分

(II) 每一列所有数之和分别为2，0，?2，0，每一行所有数之和分别为?1，1; ①如果首先操作第三列，则

aa2?1a?a2

2?a1?a22?aa2则第一行之和为2a?1，第二行之和为5?2a， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 a?15或a? 221时，则接下来只能操作第一行， 2?aa22?aa2 当a??a1?a22?a1?a2

此时每列之和分别为2?2a,2?2a2,2?2a,2a2 必有2?2a2?0，解得a?0,?1 当a?5时，则接下来操作第二行 2aa2?1a?a2 22a?2a?1a?2?a此时第4列和为负，不符合题意. ???????6分 ② 如果首先操作第一行

?a1?a2

2?a1?a2aa2 2a?2a则每一列之和分别为2?2a，2?2a2，2a?2，2a2

当a?1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉 当a?1时，2?2a，2a?2至少有一个为负数，

所以此时必须有2?2a2?0，即?1?a?1，所以a?0或a??1 经检验，a?0或a??1符合要求

综上：a?0,?1 ???????9分 （III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：

高三数学（理科）试题第10页（共4页）

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记数表中第i行第j列的实数为cij（i?1,2,?,m;j?1,2,?,n），各行的数字之和分别为

a1,a2,?,am，各列的数字之和分别为b1,b2,?,bn，A?a1?a2???am，B?b1?b2???bn，

数表中m?n个实数之和为S，则S?A?B。记

K?mink1ci1?k2ci2???kncin|kl?1或?1(l?1,2,?,n)且k1ci1?k2ci2???kncin?01?i?m??T?mint1c1j?t2c2j???tmcmjts?1或?1(s?1,2,?,m)且t1c1j?t2c2j???tmcmj?0

1?j?n?|???min?K,T?．

按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2?，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m?n个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 ???????13分

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记数表中第i行第j列的实数为cij（i?1,2,?,m;j?1,2,?,n），各行的数字之和分别为

a1,a2,?,am，各列的数字之和分别为b1,b2,?,bn，A?a1?a2???am，B?b1?b2???bn，

数表中m?n个实数之和为S，则S?A?B。记

K?mink1ci1?k2ci2???kncin|kl?1或?1(l?1,2,?,n)且k1ci1?k2ci2???kncin?01?i?m??T?mint1c1j?t2c2j???tmcmjts?1或?1(s?1,2,?,m)且t1c1j?t2c2j???tmcmj?0

1?j?n?|???min?K,T?．

按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（和B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2?，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m?n个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 ???????13分

高三数学（理科）试题第11页（共4页）

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