排列组合综合应用

华南师大数科院数学学校2016年春季班小学四年级加强班讲义

第九讲 排列组合综合应用

【内容概述】

乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法?做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×??×mn种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一起才能完成这件事情）

加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m1种不同的方法，在第二类办法中，有m2种不同的方法??在第n类办法中，有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】

例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？

【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：4?3?2?24（种）

练习一“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？

【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO可以分三个步骤，第一步写“I”有5种写法，第二步写“M”有4种写法，第三步写“O”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数5?4?3?60（种）

例2 一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？

【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法． 不同的站位方法：4?4?3?2?1?96（种）

练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？

【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。

电话号码个数：9?9?8?7?6?5?4?3?1632960（个）

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例3 一个书架分上中下三层，上层有5本科技书，中层有6本故事书，下层有8本文 艺书，小华想拿一本书看，它共有多少种不同的拿法？

【答案解析】根据题目条件，拿的书可以分3类，所以符合加法原理。 不同的拿法：5?6?8?19（种）。

练习三 书架有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。 第一类：只拿1本书，共有拿法：6?7?13（种）。

第二类：拿2本书。这里又可以分3类：第一类，2本都从画报中拿，有15种；第二类，2本都从书中拿，有21种；第三类，1本从画报种拿，另一本从书中拿，运用乘法原理，有42种。

故总的不同拿法种数：13?15?21?42?91（种）。

例4 有3封不同的信，投入到4个不同的邮筒，一共有多少种不同的投法？

【答案解析】根据题目条件可知，每封信都有4种不同的投法，由乘法原理可得，3封信共有4?4?4?64种。

练习四 张华、李明等七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？

① 七个人排成一排

【答案解析】根据题目条件可知，七个人排成一排符合乘法原理。

站法种数：7?6?5?4?3?2?1?5040（种）。

② 七个人排成一排，张华必须站在中间

【答案解析】根据题目条件可知，张华位置固定，其他6个人排列符合乘法原理。

站法种数：6?5?4?3?2?1?720（种）。

③ 七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。 第一类：张华站在中间，由?知共有720种；

第二类：李明站在中间，同理，由?知共有720种； 故总的站法总数：720?720?1440（种）。

④ 七个人排成一排，张华、李明必须站在两边。

【答案解析】首先排张华、李明的位置，有2种站法；再排其他人的位置，有 5?4?3?2?1?120种。

故总的站法总数：2?120?240（种）。

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⑤ 七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上。

【答案解析】根据题目条件，两边有5?4?20种站法，剩下的人有5?4?3?2?1?120

种。

故总的站法总数：20?120?2400（种）。

⑥ 七个人排成两排，前排3人，后排4人。 【答案解析】根据题目条件可知，符合乘法原理。 站法种数：7?6?5?4?3?2?1?5040（种）。

⑦ 七个人排成两排，前排3人，后排4人，张华、李明不在同一排。 【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。

第一类：张华在前排，李明在后排。从5人中任选2人站前排有10种方法； 前排3人（包括张华）有6种方法；后排4人（包括李明）有24种方法； 所以一共有10×6×24=1440种方法；

第二类：李明在前排，张华在后排。原理与第一类一样，共有1440种站法。 故总的站法总数：1440?1440?2880（种）。

【课后精练】

1王芳有六件上衣，五条裤子，三双皮鞋，他能有多少天穿戴装束不同？

【答案解析】第一步选上衣，有6种选择；第二步选裤子，有5种选择；第三步选皮鞋，有3种选择。根据乘法原理，不同穿戴种数有6?5?3?90（种）。

2张老师从长沙到上海参加全国奥数教研培训会，之后再到广州参加全国奥数夏令营活动。其中她从长沙到上海可乘汽车、火车或飞机，而她从上海到广州，可乘火车或飞机，那么她从长沙经上海到广州，共有多少种不同走法？

【答案解析】根据题目条件可知，张老师从长沙到上海有3种选择，从上海到广州有2种选择。根据乘法原理，不同走法有3?2?6种。

3 如图，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有两条路，从甲地到丁地有四路， 从丁地到丙地有两条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？

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【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。

第一类：走甲→乙→丙路线。第一步甲→乙有2种选择，第二步乙→丙有2种选择，根据乘法原理，共有2?2?4种。

第二类：走甲→丁→丙路线。第一步甲→丁有4种选择，第二步丁→丙有2种选择，根据乘法原理，共有4?2?8种。 故总的走法：4?8?12（种）。

4 有6个不同的稻谷品种，4个不同的小麦品种，3个不同的棉花品种，生物小组的同学们要从中任选一种作物的一个品种，在学校的试验田里种植，有多少种不同的选法 【答案解析】根据题目条件可知，该题符合加法原理。 不同的选法：6?4?3?13（种）。

5下图中从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字，可以读出“华罗庚学校”，那么一共有多少种不同的读法？

华 罗 罗 庚 庚 庚 学 学 学 学 校 校 校 校 校

【答案解析】根据题目条件可知，该题符合法乘法原理。

第一步，“华”有1种选择；第二步，“罗”有2种选择；第三步，“庚”有3种选择；第四步，“学”有4种选择；第五步，“校”有5种选择。故可以读出“华罗庚学校”的读法有1?2?3?4?5?120种。

6 阳阳跟爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，五个人站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种站法？

【答案解析】根据题目条件可知，奶奶位置固定，其他4个人排列符合乘法原理。 站法种数：4?3?2?1?24（种）。

7某班有20个学生，毕业后他们每两个人都相互通了一封信，他们一共通了多少封信？ 【答案解析】20个学生每两个相互写信一次，因此每一个人要给其他的19个人每人写信一封 所以一共写信19?20?380封。

8一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同，从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？

2【答案解析】第一步从第一个口袋取2个球，有C4?6种；第二步从第二个口袋取2个

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2求，有C6?15种。根据乘法原理，不同结果有6?15?90种。

9书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。（l）从中任取一本，有多少种不同取法？（2）从中任取一本数学书与语文书，有多少种不同取法？ 【答案解析】（l）根据加法原理，有11种取法；

（2）第一步取数学书，有6种选择；第二步取语文书，有5种选择。根据乘法原理，不同取法有6?5?30种。

10有两个骰子，均有六个面均标有1~6这六个自然数。则两个骰子的数字之和出现偶数的情况一共有多少种？

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。 第一类：奇数＋奇数。根据乘法原理，有3?3?9种； 第二类：偶数＋偶数。根据乘法原理，有3?3?9种。 总情况种数：9?9?18（种）。

11萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？

【答案解析】根据题目条件可知，本题是加法原理和乘法原理的综合运用。 第一类：两幅画都从水墨画中选，有C24?6种选择；

2第二类：两幅画都从油画中选，有C3?3种选择；

第三类：两幅画都从水彩画中选，有1种选择；

第四类：从水墨画和油画中各选一幅，有4?3?12种选择； 第五类：从水墨画和水彩画中各选一幅，有4?2?8种选择； 第六类：从油画和水彩画中各选一幅，有3?2?6种选择。 总选法的种数：6?3?1?12?8?6?36（种）。

【拓展练习】

1甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢。如果没有人连胜头两局，则谁先胜3局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能的情况？ 【答案解析】根据题目条件可知，该题符合法加法原理。 第一类：只打2局，有2种情况。

第二类：打4局。甲赢，有（甲、乙、甲、甲）、（乙、甲、甲、甲）2种情况；同理乙赢也有2种情况。

第三类：打5局。甲赢，有（甲、乙、甲、乙、甲）、（甲、乙、乙、甲、甲）、（乙、甲、乙、甲、甲）（乙、甲、甲、乙、甲）4种情况；同理乙赢也有4种情况。

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故总共有2?4?8?14种情况。

2 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？

【答案解析】首先，构成三角形与三个点的顺序无关，因此是组合问题。另外考虑特殊点的情况：如三点共线，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形。本题我们采用正难则反的思路，选三点能够构成三角形的情况比较复杂，而根据上面的分析，不能构成三角形的情况却相对简单。

3任取三个点的取法有C11?165种，

三点共线不构成三角形的有7?C33?7种， 四点共线不构成三角形的有2?C34?8种， 可画出三角形的取法有165?7?8?150种。

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