4-4有理函数的积分 4-5积分表的使用

高等数学Ⅰ有理函数的积分 与积分表

一、有理函数的积分定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 即P(x) Q(x) a 0 x a1 xn n 1 m 1

a n 1 x a n bm 1 x bm

b0 x

m

b1 x

其 中 m 、 n 都 是 非 负 整 数 ； a 0 , a 1 , , a n 及

b 0 , b1 , , b m 都 是 实 数 ， 并 且 a 0 0 , b 0 0 .

假定分子与分母之间没有公因式(1 ) (2) n m , 这有理函数是真分式； n m , 这有理函数是假分式；

利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例x x 13

x 12

x

1 x 12

.

难点 将真分式化为部分分式之和.3

真分式化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式 ( x a ) ,则分解后为k

A1 (x a)k

A2 (x a)k 1

Ak x a A

, 其 中 Ai 都 是 常 数 .

x a 2 k (2)分母中若有因式 ( x px q ) ,其中p 4q 02

特殊地：k 1 , 分解后为

;

则分解后为M 2x N2 ( x px q )2 k 1

M 1x N1 ( x px q )2 k

Mkx Nk x px q2

其 中 M i , N i 都 是 常 数 ( i 1,2 , , k ) .

特殊地：k 1 , 分解后为

Mx N

x px q2

;4

例如c k s 1 xk s 1

ck s 2 xk 2

k s 2

c1 x c 0s

(x a ) (x

px q )

A1 (x a )k

A2 (x a )k 1

Ak x a

M1x N1 (x2

px q )

s

(x

M 2x N22

px q )

s 1

M sx N x2

s

px q

真分式化为部分分式之和常用待定系数法5

例1

x 3 x 5x 62

x 3 ( x 2 )( x 3 )

A x 2

B x 3

,

x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),

A B 1, (3 A 2 B ) 3,

A 5 , B 6

x 3 x 5x 62

5 x 2

6 x 3

.

例2

1 x ( x 1)2

2

A x

B ( x 1)2

C x 1

,

1 A ( x 1 ) Bx Cx ( x 1 )

(1 )

代入特殊值来确定系数 A , B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1

取 x 2 , 并将 A , B 值代入 ( 1 ) C 1 1 x ( x 1)2

1 x

1 ( x 1)2

1 x 1

.

例3

1 ( 1 2 x )( 1 x )22

A 1 2x

Bx C 1 x2

,

1 A ( 1 x ) ( Bx C )( 1 2 x ),

整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2 C ) x C A , A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5. 5 2 2 ( 1 2 x )( 1 x ) 1 2 x 1 x8

例4 求积分解 1 x ( x 1)

2

1 x ( x 1)2

dx . dx 1

dx

1

1 1 1 x ( x 1)2 x

1 x

dx

( x 1 ) 2 dx1 x 1

1 x 1

dx

ln x | |

ln x 1 C . | |

例5 求积分 解

1 ( 1 2 x )( 1 x )2

dx .4 2 x 1

(1 2 5

1 2 x )( 1 x )2

dx

5 1 2 x dx dx 1

1

5 5 dx 2 1 xdx

ln | 1 2 x |

1

5 1 x

2x2

5 1 x

2

2 5

ln | 1 2 x |

1 5

ln | 1 x

2

|

1 5

arctan

x C.

例6 求积分 x

1x x x

dx .

1 e2 e3 e6

解

令 t e x 6 ln t ,6

dx

6 t 1

dt , 6 t dt

1x x x

dx

1 e2 e3 e61

1

t t t3 2

3 3t 3 6 6 dt 2 t 1 t 1 t 2 dt t ( 1 t )( 1 t )

3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 6 ln | t | 3 ln | 1 t | 3 d (1 t )2

23 2

1 t

2

3

1 1 t2

dt

6 ln | t | 3 ln | 1 t | x

ln | 1 tx

2

| 3 arctan t Cx

x 3 ln( 1 e 6 )

3 2

ln( 1 e 3 ) 3 arctan(

e6) C.

说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： A Mx N ( 1 ) 多项式； ( 2 ) ; (3) ; n 2 n(x a) ( x px q )

讨论积分 2

Mx N ( x px q )2 n

dx ,2 2

p p p t x px q x q , 令 x 2 2 4

记 x 2 px q t 2 a 2 ,

Mx N Mt N

Mp 2

,

(x2

Mx N px q )n

dx

(t 2

Mt a )2 n

dt

(t 2

b a )2 n

dt13

(1 )

0

n 1,

2

Mx N x px q2

dxx arctan an

p 2 C;

0

M 2

ln( x px q )

b a

(2 )

n 1,

(x2M2

Mx N

px q )2 n 1

dx 1 (t a )2 2 n

2 ( n 1 )( t a )

b

dt .

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.14

二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之.一般记为 R (sin x , cos x ) sin x 2 sin x 2 cos x cos x 2 cos x 2 sin x 215

2 tan sec2

x 2 x 2

2 tan 1 tan

x 22

x 2

,

2

2

,

1 tan cos x sec2

2

x 2

1 tan 1 tan

2

x 2 , x 2u (万能置换公式)2 2

x 2

2

令u tansin x

x 22u

x 2 arctan

1 u

2

, cos x

1 u 1 u

,

dx 2

2 1 u2

du

2u 1 u 2 R (sin x , cos x ) dx R 1 u 2 , 1 u 2 1 u 2 du . 16

例7 求积分 解

sin x 1 sin x cos x

dx . 2u 1 u 22 2

由万能置换公式 sin x cos x 1 u 1 u2 2

,

dx dx 2

1 u

du ,2u u )( 1 u )2

1 sin

sin x x cos x2

(1 du

du

2u 1 u 1 u (1 u)(1 u )2

(1 u ) (1 u )2 2

( 1 u )( 1 u )2

du 2

1

1 u u2

du

1

1 u

du

arctan x 2

u

1 2

ln( 1 u ) ln | 1 u | C

u tanx 2

x 2

ln | sec

| ln | 1 tan

x 2

| C .

例8 求积分

1 sin4

dx . x

解(一) u tan

x 2

, sin x 2

2u 1 u4 42

, dx 6

2 1 u2

du ,

sin 4 1 8 [ 1

1

x

dx

1 3u 3u u 8u u3

du

3u

3

3 u

3u

] C3 x3

33

1 x tan tan C. 3 x 8 2 24 2 x 8 tan 24 tan 2 2 119

解(二)修改万能置换公式, 令 u tan xsin x tan x sec x tan x 1 tan2

x4

u 1 u2

,

dx du

1 1 u2

du ,

sin 41 3u

1

dx x

1 2 1 u u

1 1 u2

1 u u4

2

du

3

1 u

C

1 3

cot

3

x cot x C .

解(三) 可以不用万能置换公式.

sin 4 csc

1

x2

dx csc

2

x ( 1 cot

2

x ) dx

xdx cot

2

x csc

2

xdx

d (cot x )

cot x

1 3

cot

3

x C.

结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8i8e.html