1、2-2-1双曲线及其标准方程

高二数学(人教B版)选修1-1全册同步练习

选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程

一、选择题

1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )

A．y＝0

B．y＝0(|x|≥13) D．以上都不对 C．x＝0(|y|≥13)

[答案] C

[解析] ∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，

∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．

2．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( ) 1 2

7 2 3B. 2D．5

[答案] C

[解析] 点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，

37当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋222

故选C.

x2y2

3．已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) 1＋k1－k

A．－1<k<1

C．k≥0

[答案] A

[解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，

∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.

x2y2

4．双曲线1的焦距是( ) m＋124－mA．4

C．8

[答案] C

[解析] ∵a2＝m2＋12，b2＝4－m2，c2＝a2＋b2＝16，

∴c＝4，∴焦距2c＝8.

x2y25．已知双曲线方程为＝1，那么它的焦距为( ) 205

A．10 B．

5 B．22 D．与m有关 B．k>0 D．k>1或k<－1

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15

[答案] A D．15

[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，

∴焦距2c＝10.

6．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值为( )

A．1

65 3 B．－1 D65 3

[答案] B

x2y2[解析] 方程8kx－ky＝8可化为：1， 18

kk22

又它的一个焦点为(0,3)，

819∴a2b2＝－，c2＝－9，∴k＝－1. kkk

7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )

A．16

C．21

[答案] D

[解析] ∵|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，

∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，

∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.

x2y2

8．已知双曲线＝1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为( ) 916

A．2

C．14

[答案] B

[解析]

如图， B．2或14 D．16 B．18 D．26

设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，

由已知得a＝3，b＝4，c＝5，

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∵双曲线右顶点到左焦点F1的距离为a＋c＝8，

∴点P在双曲线右顶点时，|PF2|＝c－a＝5－3＝2，

当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，

∴|PF2|＝|PF1|＋6＝8＋6＝14.

9．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )

A．双曲线的一支

C．抛物线

[答案] A

[解析] 设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，

由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，

∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．

10．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )

x2y2－＝1 23

x22－y＝1 4

[答案] C

[解析] ∵c5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2， ∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.

x22双曲线方程为－y＝1. 4

二、填空题

x2y211．过双曲线1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦43

点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．

[答案] 8

[解析] |MF2|＋|NF2|－|MN|＝(MF2－MF1)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.

x2y212．设一圆过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到916

双曲线中心的距离是________．

[答案] 16 3 x2y2B.1 32y2D．x－＝1 42 B．圆 D．双曲线

c＋a16×7x2y2[解析] 设圆心为P(x0，y0)，则|x0|＝4，代入＝1，得y2＝|OP|029169

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16＝x0＋y0＝. 3

x2y213．过双曲线－1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________． 34

[答案] 33

[解析] ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，

∴c7，弦所在直线方程为x＝7，

x716483由 x2y2得y2＝，∴|y|＝. 3331 34

x2y2x2y2

14．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 4aa2

[答案] 1

[解析] 由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.

三、解答题

x2y2

15．讨论＋1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 25－k9－k

[解析] (1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．

(2)当9<k<25时，25－k>0,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．

(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．

x2y2

16．设双曲线－1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上． 49

(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；

(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？

[解析] 结合双曲线的定义，注意三角形面积公式的应用．

(1)由双曲线的方程知a＝2，b＝3，c13，

设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)

如图所示．

由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4.

2两边平方得r1＋r22－2r1r2＝16，

222因为∠F1MF2＝90°，所以r21＋r2＝|F1F2|＝(2c

)＝52，

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x2y217．设双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的2736

纵坐标为4，求此双曲线的方程．

x2y2[解析] 椭圆＝1的焦点为(0，±3)， 2736

y2x2

由题意，设双曲线方程为：1(a>0，b>0)， abx2y22又点A(x0,4)在椭圆1上，∴x0＝15， 2736

y2x21615又点A在双曲线1上，∴1， abab又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，

y2x2所求的双曲线方程为：－1. 45

118．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB－sinC＝sinA.2

求点A的轨迹．

[解析] 以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－6,0)、C(6,0)，设A(x，y)是所求轨迹上任一点，则y≠0.

11因为sinB－sinC＝sinA，利用正弦定理，我们有|AC|－|AB||BC|，结合双曲线定义，22

动点到两个定点C、B的距离之差为6，动点A位于以B、C为焦点的双曲线上．又注意到，此时A点只能在左支上，并且不能与左顶点重合．

双曲线中，实轴长为6，焦距为12，则a＝3，c＝6，b2＝c2－a2＝27，中心在原点，两

x2y2焦点在x轴上，方程为1. 927

x2y2所以A点轨迹是双曲线－1的左支，并且除去点(－3,0)． 927

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