高中数学必修5人教A教案2.5等比数列的前n项和

2.5等比数列的前n项和

(一)教学目标

1、 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题

2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力

（二）教学重、难点

重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

（三）学法与教学用具

学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题

教学用具：投影仪

（四）教学设想

教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。

一般地，对于等比数列

a1，a2，a3，．．．, an,．．．

它的前n项和是

Sn= a1+a2+a3+．．．+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成

Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1 ①

① 式两边同乘以公比q 得

qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn ②

①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得

(1-q)Sn= a1－a1qn

当ｑ≠１时，

a1(1 qn) Sn= （q≠1） 1 q

又an =a1qn-1 所以上式也可写成

Sn=a1 anq（q≠1） 1 q

推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了

[相关问题]

①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1

a1(1 qn)a1(qn 1)② 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） 1 qq 1

③ 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个

[例题分析]

例1 求下列等比数列前8项的和:

(1)111,,,．．．； 248

(2) a1=27, a9=1,q<0 243

评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.

例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,

那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程

[随堂练习]第1.2.3题

[课堂小结]

(1) 等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子

(2) 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个

(五)评价设计

(1)课后阅读: [阅读与思考]

(2)课后作业: 1,2,4题

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