2010年北京崇文区高三数学理科一模试题含答案

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）

高三数学（理科） 2010.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

2（1）已知全集U?R，集合A?x|x?1?2，B?x|x?6x?8?0，则集合

?????eA??B?

U（A）?x|?1?x?4? （B）?x|?1?x?4? （C）?x|2?x?3? （D） ?x|2?x?3?

（2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为

了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为

(A) 5 (B) 10 （C）15 （D）50 （3）已知PA是?O的切线，切点为A，PA?2，AC是?O

?的直径，PC交?O于点B，?PAB?30，则?O的

C半径为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）23

（4）已知等比数列?an?为递增数列，且a3?a7?3，a2?a8?2，则

（A）2 （B）

OBPAa11? a7431 （C） （D） 322（5）已知m,n是两条不同直线，?,?,?是三个不同平面，下列命题中正确的为

（A）若???,???,则??? （B）若m??,n??,则m?n （C）若m??,n??，则m?n （D）若m??,m??,则???

3x?3y,N?(3)x?y,P?3（6）设M?2xy（其中0?x?y）， 则M,N,P大小关系为

（A）M?N?P （B）N?P?M （C）P?M?N （D）P?N?M （7）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两

位女生相邻，则不同排法的种数为

（A）36 （B）42 （C） 48 （D） 60

?1?x?1,(x?1),（8）设定义在R上的函数f(x)?? 若关于x的方程

?1,(x?1)．?f2(x)?bf(x)?c?0有3个不同的实数解x1，x2，x3，则x1?x2?x3等于

（A） 3 （B）2 （C）?b?1 （D）c

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

2（9）如果复数m?i?1?mi?（其中i是虚数单位）是实数，则实数m?___________．

??（10）若(3x?a12)的展开式中的常数项为?220，则实数a?___________． x（11）将参数方程??x?1?2cos?,（?为参数）化成普通方程为 ．

y?2sin?,?（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出M,N的值分别为 ．

（13）若数列{an}的前n项和为

是 开始 i?1,M?1,N?1 i?5 否 输出M,N i?i?1 M?N?M N?N?M 结束 (n?1),?S1, Sn，则an??S?S,(n?2)．n?1?n若数列{bn}的前n项积为Tn，类比上述结果，则bn=_________； 此时，若Tn?n2(n?N?)，则bn=___________．

（14）定义在R上的函数满足f(0)?0,f(x)?f(1?x)?1,f()?且当0?x1?x2?1时，f(x1)?f(x2)，则f(x51f(x)， 21)?_________________． 2010三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sin为2．

（Ⅰ）求bc的值；

（Ⅱ）若b?c?6，求a的值．

（16）（本小题共13分）

为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为?10,15?，?15,20?，?20,25?,?25,30?，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在?20,25?之间的工人有6位． （Ⅰ）求m；

（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？

（17）（本小题共14分）

三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱与底面垂直，?ABC?90，AB?BC?BB1?2，

?A5，且?ABC的面积?25频率/组距 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 产品数量

0 10 15 20 25 30 35

M,N分别是AB，AC1的中点．

（Ⅰ）求证：MN?平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：MN?平面A1B1C； （Ⅲ）求二面角M?B1C?A1的余弦值．

M B

A C

N A1 B1 C1

（18）(本小题共14分）

已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围．

（19）（本小题共14分）

已知抛物线y2?4x，点M(1,0)关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于

A,B两点．

（Ⅰ）证明：直线NA,NB的斜率互为相反数； （Ⅱ）求?ANB面积的最小值；

（Ⅲ）当点M的坐标为(m,0)(m?0，且m?1)．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题

（不必说明理由）：

① 直线NA,NB的斜率是否互为相反数？ ② ?ANB面积的最小值是多少？

（20）(本小题共13分)

已知数列?an?中，a1?1，a2?a?1(a?0且a?1)，其前n项和为Sn，且当n?2时，

111． ??Snanan?1（Ⅰ）求证：数列?Sn?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）若a?4，令bn?9an，记数列?bn?的前n项和为Tn．设?是整数，

(an?3)(an?1?3)3?7?成立？若存在，求出n和相应的?值；5an?18

问是否存在正整数n，使等式Tn?若不存在，请说明理由．

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）

高三数学（理科）参考答案及评分标准 2010.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号 答案 （1） D （2） C （3） C （4） A （5） B （6） D （7） C （8） A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 2（9）?1 （10）?1 （11）?x?1??y?4 （12）13,21

2?T1?（13）bn??Tn?T?n?1(n?1)?1?2 ；bn??n(n?2)??n?1?2?(n?1)(n?2) （14）

1 32三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分） 解：（Ⅰ）∵sinA5?,0?A?? 25A25. ?25AA4cos?. 225∴cos∴sinA?2sin∵S?ABC?1bcsinA?2， 2∴bc?5. --------------------6分

（Ⅱ）∵sinA5?, 252∴cosA?1?2sinA3?. 25∵bc?5，b?c?6，

2222∴a?b?c?2bccosA?(b?c)?2bc(1?cosA)?20

∴a?25. -----------12分 （16）（共13分）

解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在?20,25?内的人数为

m?5?0.06?6，则m?20（位）． ---------------- 6分

（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在?10,15?，?15,20?，?20,25?,?25,30?，[30,35],

组内的人数分别为2，4，6, 5，3． 设选取这5人不在同组为B事件，则P(B)?2?4?6?5?315． ?5C20323

答：选取这5人不在同组的概率为

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明： 连结BC1，AC1． 在?ABC1中，

15． ---------------- 13分 323?M,N是AB,A1C的中点， ?MN||BC1．

又?MN?平面BCC1B1，

?MN||平面BCC1B1． --------------------4分

（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1?xyz．

则B1(0,0,0)，C(0,2,2)，A1(?2,0,0)，M(?1,0,2)，N(?1,1,1)

??????????BC?(0,2,2)，A1B1?(2,0,0)，NM?(0,?1,1)． 1设平面A1B1C的法向量为n?(x,y,z)．

??????n?B1C?0?x?0 ????????y??z??n?A1B1?0??????令z?1，则x?0,y??1，?n?(0,?1,1)．?n=NM．

?MN?平面A1B1C． --------------9分

（Ⅲ）设平面MB1C的法向量为m?(x0,y0,z0)

z M B A C ????? B1M?(?1,0,．2 )??????x0?2z0?m?B1C?0? ?????????m?B1M?0?y0??z0令z0?1，则x0?2,y0??1

N A1 ?m?(2,?1,1)． ?cos?n,m??n?m23． ??|n|?|m|32?6x

B1 C1 y 所求二面角M?B1C?A1的余弦值为（18）（共14分）

3． --------------------14分 3解：（Ⅰ）f'(x)?3x?12ax?9a?3(x?a)(x?3a)?0

22 （1）当a?3a，即a?0时，f'(x)?3x2?0，不成立．

（2）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(3a,a)．

（3）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(a,3a)．-------------------5分 （Ⅱ）f'(x)?3x2?12ax?9a2?3(x?a)(x?3a)，

f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,??)上递增．

（1）当a?3时，函数f(x)在[0,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)，

?f(3)?4, 若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?解得a??．

a?3,? （2）当1?a?3时，有a?3?3a，此时函数f(x)在[0,a]上递增，在[a,3]上递

减，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)，

若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有??f(a)?4, 解得a?1．

1?a?3,?（3）当a?1时，有3?3a，此时函数f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．

由f(a)?f(3)?(a?3)2(4a?3)， ①0?a?3时，f(a)?f(3)， 4?f(3)?4,?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3

0?a?,??4解得a?[1?②

233,]． 943?a?1时，f(a)?f(3)， 4?f(a)?4,3?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3 解得a?(,1)．

4?a?1,??4 综上所述，a?[1?（19）（共14分）

解：（Ⅰ）设直线l的方程为y?k?x?1?(k?0)．

23,1]． -------------14分 9由???y?k?x?1?,??y?4x,22222 可得 kx?2k?4x?k?0．

??2k2?4,x1x2?1． 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?x2?k2?y1y2??4

?N??1,0?

kNA?kNB?y1y4y4y?2?21?22 x1?1x2?1y1?4y2?4224?yy?4?yy?4?1221???4(?4y2?4y1?4y1?4y2)?0． ?22y12?4y2?4y12?4y2?4????????????又当l垂直于x轴时，点A,B关于x轴，显然kNA?kNB?0,kNA??kNB． 综上，kNA?kNB?0,kNA??kNB． ---------------- 5分 （Ⅱ）S?NAB?y1?y2? =41??y1?y2?2?4y1y2?4?x1?x2??8 1?4． 2k当l垂直于x轴时，S?NAB?4．

∴?ANB面积的最小值等于4． ----------------10分 （Ⅲ）推测：①kNA??kNB；

②?ANB面积的最小值为4mm． ---------------- 14分

（20）（共13分） 解：（Ⅰ）当n?2时，

11111， ????Snanan?1Sn?Sn?1Sn+1?Sn 化简得Sn2?Sn?1Sn?1(n?2)，

又由S1?1?0,S2?a?0，可推知对一切正整数n均有Sn?0， ∴数列?Sn?是等比数列． ---------------- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列?Sn?的首项为1，公比为a， ∴Sn?an?1．

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(a?1)a又a1?S1?1，

n?2，

(n?1),?1,∴an?? ----------8分 n?2?(a?1)a,(n?2). （Ⅲ）当a?4,n?2时，an?3?4n?2，此时

9an9?3?4n?2 bn? ?(an?3)(an?1?3)(3?4n?2?3)(3?4n?1?3)3?4n?211 ?n?2， ??(4?1)(4n?1?1)4n?2?14n?1?1 又b1?9a13?，

(a1?3)(a2?3)8?3,(n?1)??8 ∴bn??

11??,(n?2)??4n?2?14n?1?1 T1?b1?3， 8 当n?2时，

31111Tn?b1?b2???bn??(2?2?2?1)???(n?2?n?1)

84?14?14?14?1 ?71?n?1． 84?153?73?7 ?为??，??不是整数，不符合题意．

25an?188581?753?77????5?， ?为?n?1n?1n?184?15?484?15an?18若n?1，则等式Tn?若n?2，则等式Tn???是整数，∴4n?1?1是5的因数．

∴当且仅当n?2时，

54n?1?1是整数， ∴??4

综上所述，当且仅当??4时，存在正整数n?2，使等式Tn?3?7?成立． 5an?18

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