12秋工程数学复习题

工程数学复习题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．

A ．BA A

B = B ．B A B A +=+

C ．111)(---+=+B A B A

D ．111)(---=B A AB

2．方程组?????=+=+=-3

31232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ． A ．0321=++a a a B ．0321=-+a a a

C ．0321=+-a a a

D ．0321=++-a a a

3．下列命题中不正确的是（D ）．

A ．A 与A '有相同的特征多项式

B ．若λ是A 的特征值，则

O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解

D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量

4．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ A ）．

A ．P A

B P A P B ()()()+=+ B ．P B P A ()()=-1

C ．P A P A B ()()=

D ．P AB P A P B ()()()=

5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ C ）．

A ．55

-x B ．5/15

-x C ．n x /15

- D ．1

5-x 6．若A 是对称矩阵，则等式（ B ）成立．

A. I AA =-1

B. A A ='

C. 1-='A A

D. A A =-1

7．=??????-15473（ D ）．

A. ??

????--3547 B. 7453-????-?? C. 7543-????-?? D. 7543-????-?? 8．若（ A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．

A. r A n ()=

B. A O ≠

C. r A n ()<

D. A 的行向量线性相关

9. 若条件（ C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件．

A. ?=AB 或A B U +=

B. 0)(=AB P 或()1P A B +=

C. ?=AB 且A B U +=

D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P

10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记

∑==3

1

31i i X X ，则下列各式中（C ）不是统计量． A. X B. ∑=31i i X

C. ∑=-31

2)(31i i X μ D. ∑=-312)(31i i X X 11．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( A )．

A ．A

B A B = B ．222()2A B A AB B -=-+

C ．AB BA =

D ．若AB O =，则A O =或B O =

12．向量组????

??????-????????????????????-??????????732,320,011,001的秩是（ B ）． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

13．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．

A. )()(b A r A r =

B. A 不是行满秩矩阵

C. r A n ()<

D. r A n ()=

14. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ D ）． A. 256 B. 103 C. 203 D. 25

9 15．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ C ）是μ无偏估计． A.

3215

15151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 321525252x x x ++ 二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设221

12

112214

A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 2．设4元线性方程组AX =

B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．

3．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 0 ．

4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= np

5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n

i i x n x 11，则~x

_______)1,0(n

N ． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8 ．

7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ___AX X λ= ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．

8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．

9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ．

10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ．

11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ．

12．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???

，则a = 0.3 ． 13．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ．

14．设θ?是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ?()E θ

θ= ． 三、计算题（每小题16分，共64分）

1．设矩阵100111101A ????=-????-??

，求1()AA -'． 解：由矩阵乘法和转置运算得

100111111111010132101011122AA --????????????'=-=-????????????----??????

………6分 利用初等行变换得

111100132010122001111100021110011101----??????????→----???????

??? 10020001112011101????→????-??1002

01011101001112????→---??????→??????????100201010011001112 即 1201()011112AA -????'=??????

………16分 2．求下列线性方程组的通解．

123412341

234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=??-++=??-++=?

解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即

245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? ???

→120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???

方程组的一般解为：1243421x x x x x =+??=

-+?，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分 令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．

方程组的导出组的一般解为：

1243

42x x x x x =+??=-?，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；

令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分

所以方程组的通解为：

22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，

其中1k ，2k 是任意实数． ……16分

3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．

解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)22

31(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分

（2）因为 P （X < a ）=)2323(

-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.12

3=-a ，a = 3 + 28.12? = 5.56 ……16分 4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置

信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )

解：已知2=σ，n = 625，且n x u σ

μ

-= ~ )1,0(N ……5分 因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-α

u

206.06252

576.221=?=-n u σ

α

……10分

所以置信度为99%的μ的置信区间为：

]706.2,294.2[],[2121=+---n u x n u x σ

σ

α

α

. ……16分

5．设矩阵????

??????=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得

????

??????--→??????????--102340011110001011100322010121001011 ????

??????----→??????????----→146100135010001011146100011110001011 ????

??????-----→146100135010134001 即 ????

??????-----=-1461351341A ………10分 由矩阵乘法得

????

??????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A ……16分 6．当λ取何值时，线性方程组

?????+=+++=+++-=--+14796

372224321

43214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

????

??????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ ????

??????----→??????????-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。当1=λ时，方程组有解。 ………7分 此时齐次方程组化为

???+=--=432

43151149x x x x x x 分别令x x 3410==,及x x 3401==,，得齐次方程组的一个基础解系 [][]'-='-=1054

,0111921X X ………10分 令x x 3400==,，得非齐次方程组的一个特解

[]'-=001080X ………13分 由此得原方程组的全部解为

X X k X k X =++01122 （其中k k 12,为任意常数） ……16分

7．设X N ~(,)34，试求：(1)P X ()<1；(2))75(<<X P ．

（已知9987.0)3(,9772.0)2(,8413

.0)1(=Φ=Φ=Φ） 解：(1)P X P X ()(

)<=-<-132132

=-<-=-P X ()()3211Φ =-=-=1110841301587Φ().. ………8分

(2)P X P X P X ()()()5753232732132

2<<=-<-<-=<-< =-=-=ΦΦ()()...21097720841301359 ……16分

8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直

径平均值为15.1mm ，若已知这批滚珠直径的方差为206.0，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间(.).u 0975196=．

解：由于已知σ2，故选取样本函数

)1,0(~N n x U σμ

-= ………4分 已知1.15=x ，经计算得

02.03

06.09==σ

………10分 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为]9,9[975.0975.0σσu x u x +-，又由已知条件

96.1975.0=u ，故此置信区间为]1392

.15,0608.15[ ……16分 9．设矩阵A B =---???????

???=-??????112235324215011,，且有AX B ='，求X ． 解：利用初等行变换得

112100235010324001112100011210012301---??????????→-----???????

??? →-----??????????→-----???????

???112100011210001511112100011210001511 →------??????????→-----???????

???110922010721001511100201010721001511 即 A -=-----???????

???1201721511 ……10分 由矩阵乘法和转置运算得

X A B ='=-----??????????-??????????=--???????

???-12017215112011511111362 ……16分 10．求线性方程组

???????=++-=++--=+-+-=-+-2

28421

2342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．

解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

?????

???????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131 ?????

???????---→????????????---→000000220001010111310660

0022000101011131 方程组的一般解为 x x x x x x 14243

415=+==-????? （其中x 4为自由未知量） ……7分

令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X . ……10分 方程组相应的齐方程的一般解为

?????-===43

42415x x x x x x （其中x 4为自由未知量）

令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X . ……13分 于是，方程组的全部解为

10kX X X +=（其中k 为任意常数） ……16分

11．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ．

（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

解：(1))32

31()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ= ……8分

(2))23723()7(->-=>X P X P

)22

3(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-= ……16分

12．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α==0051960975.,..u ）

． 解： 零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2121

=.，故选取样本函数 U x n

N =-μσ~(,)01 ………4分 已知x =3112.，经计算得

σ

9113037==..，x n

-=-=μσ3112325037373.... ………10分 由已知条件u 0975196

..=，x n u -=>=μσ3731960975... 故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。 ……16分

四、证明题（本题6分）

1．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．

证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2

． 所以，A 为可逆矩阵． ……6分

2．设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．

证明： ))(1)(()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P B A P -=-=-=

)()(B P A P = 所以B A ,也相互独立．证毕． ……6分

3.设B A ,是n 阶对称矩阵，试证：B A +也是对称矩阵．

证明：B A ,是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知

B A B A '+'='+)(

已知B A ,是对称矩阵，故有B B A A ='=',，即

B A B A +='+)(

由此可知B A +也是对称矩阵，证毕． ……6分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8hs1.html