2014数学建模B题论文(国赛二等奖)

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容

请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2014 年 9 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌

摘 要

本文主要讨论了如何根据一定要求，较好的设计出一种可折叠、桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的桌子的程序等问题，主要解决了以下几方面问题：

第一方面，当长方形平板尺寸一定，钢筋位置固定及桌子的高度确定时，利用Maple软件结合空间解析几何的知识，计算出了铰链连接处点的坐标，初始状态时钢筋和每个木条交点的坐标，然后计算出了最终状态时钢筋和每个木条交点的坐标，从而得出每根木条的开槽长度，以及每根木条下端点的坐标，据此利用Matlab软件拟合出了桌脚边缘线的图形及数学表达式，画出了描述此折叠桌动态变化的过程图。

第二方面，根据顾客给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，在考虑产品稳固性好、加工方便及用材最少的条件下，利用高等数学的知识列出了开槽长度总和及平板体积的加权和为目标函数的数学模型：Z??ldw?(1??)?BmCm，然后结合Maple软件算出平

m?1d2k板尺寸、钢筋位置、开槽长度，每根木条的宽度等最优设计加工参数的表达式。并求出了当桌高为70 cm，桌面直径为80 cm时，具体的最优设计加工参数。

第三方面，通过建立模型，设计出了一种一般程序，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。最后，给出几个自己设计的创意平板折叠桌，并给出了当桌面边缘曲线为椭圆时，相应的设计加工参数并画出了8张动态变化过程的示意图。

关键词： 折叠桌；加工参数；桌脚边缘线；Maple；Matlab；Solidworks

1

一、 问题重述

对于桌面呈圆形，桌腿由若干根木条(分成两组)组成，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板可折叠的桌子。通过数学模型的方法，考虑以下问题：

第一，给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

第二，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，结合产品稳固性好、加工方便、用材最少的要求，算出长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。当给定桌高70 cm，桌面直径80 cm时，确定最优设计加工参数。

第三，开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、问题的分析

第一，当长方形平板尺寸一定，钢筋位置固定及桌子的高度确定时，为描述此折叠桌的动态变化过程，可利用空间解析几何的知识，计算出铰链连接处点的空间坐标，初始状态时钢筋和每个木条交点的坐标，然后可计算出最终状态时钢筋和每个木条交点的坐标，从而得出每根木条的开槽长度，以及每根木条下端点的坐标，利用Matlab软件拟合出了桌脚边缘线的图形及数学表达式。

第二，根据顾客给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，在考虑产品稳固性好、加工方便及用材最少的条件下，利用高等数学的知识列出目标函数，结合Maple软件算出平板尺寸、钢筋位置、开槽长度，每根木条的宽度。当给定桌高70 cm，桌面直径80 cm时，确定具体的最优设计加工参数。

第三，通过建立模型，设计一种一般程序，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。最后，给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数并画出至少8张动态变化过程的示意图。

2

三、模型假设

1.文中所有的折叠点都取每根木条折叠边的中点； 2.在计算交点时，将钢筋和木条都近似视为直线。

四、 模型建立及求解

(一) 给定长方形平板尺寸,木条宽,钢筋位置,桌子高度,描述此折叠桌的动态变化过程,给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

首先建立如图1所示的坐标系，设Q,Q'分别是固定钢筋的两端点,Ai表示每根木条与桌面的连接

Bi表示初始状态钢筋与木条交点坐标，点坐标，Ci表

示最终状态时木条各端点的坐标，则由已知长方形

平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm， Q(23.75,15.29271166,25)，Q'(?23.75,15.29271166,25)，利用Maple软件编程(程序见附录1)可得以下点的坐标：

表1 :Ai点的坐标

Ai A1 A2 图1

xi yi zi 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 7.806277498 13.16956719 16.53594569 18.99835519 20.87911636 22.32571387 23.41874249 0 0 0 0 0 0 0 A3 A4 A5 A6 A7 3

A8 A9 A10 6.25 3.75 1.25 24.20614591 24.71714992 24.96873044 0 0 0 表2 :初始状态钢筋与木条交点Bi坐标

Bi B1 B2 xi yi zi 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 33.903127 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 表3 :最终状态时木条各端点Qi的坐标

Qi xi yi zi Q1 Q2 23.75 21.25 18.75 16.25 13.75 22.77917580 17.13241324 14.50714301 12.98654004 12.34771706 50.00000000 46.66246330 43.41040115 40.55850960 38.17929310 Q3 Q4 Q5 4

Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 12.12321341 12.11068959 12.18547864 12.27129624 12.32427000 36.26651945 34.78959512 33.71502812 33.01484220 32.66965480 由于直线QQ'与x轴平行，故其方向向量为：QQ'?S?(1,0,0)。设另一边钢筋固定点为P，则P点坐标为（23.75，-15.29271166, 25）。于是，所以QQ'?QP?0 故四个钢筋固定点构成一个矩形，设此矩形QP?(0,30.58,0)。

所在平面为?。则每根木条与平面?的射影与QQ'垂直。从而由三垂线定理，

QQ'与每根木条垂直，于是可得

表4 :最终状态下钢筋与木条交点坐标： Ci xi 21.25 18.75 16.25 13.75 11.25 8.75 6.25 3.75 1.25 yi 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 15.29271166 25.29271166 zi 25 25 25 25 25 25 25 25 25 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 由几何关系可得第i根木条的开槽长度为AiCi?AiBi，接下来计算槽长：

5

表5 :开槽长度 木条根数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |AiCi| 26.09687625 25.08999177 25.03089418 25.27314565 25.61655839 25.97043134 26.28749873 26.54146837 26.71741535 26.80719292 |AiBi| 26.09687625 20.73355656 17.36717806 14.90476856 13.02400739 11.57740988 10.48438126 9.696977838 9.185973828 8.934393308 开槽长度 0.000000000 4.356453782 7.663766472 10.36845985 12.59266285 14.39315773 15.80327312 16.84466053 17.53162098 17.87298377 利用Matlab软件(程序运行结果见附件1)，拟合出最终状态时木条各端点Ci的曲线及数学表达式：

首先将上面所得到的各个端点的坐标分别投影到xOy平面和yOz平面，利用投影法拟合出参数方程。利用投影点坐标对x, z坐标及y, z坐标分别进行拟合得空间曲线的参数方程如下:

?xk(t)?a1t4?a2t3?a3t2?a4t?c1?432?yk(t)?b1t?b2t?b3t?b4t?c2 ?z(t)?t?kMatlab程序：

format long

a1=[22.7791758 17.13241324 14.50714301 12.98654004 12.34771706 12.12321341 12.11068959 12.18547846 12.27129624 12.324270 12.324270 12.27129624 12.18547846 12.11068959 12.12321341 12.34771706 12.98654004 14.50714301 17.13241324 22.7791758 1.25 3.75 6.25 8.75 11.25 13.75 16.25 18.75 21.25 23.75 26.25 28.75 31.25 33.75 36.25 38.75 41.25 43.75 46.25 48.75

0.000 3.3375 6.5896 9.4415 11.8207 13.7335 15.2104 16.2850 16.9852 17.3303 17.3303 16.9852 16.2850 15.2104 13.7335 11.8207 9.4415 6.5896 3.3375 0.0000 ];

y=a1(1,:); x=a1(2,:); z=a1(3,:);

z1=polyfit(x,z,4) y1 =polyfit(x,y,4) plot3(x,y,z,'ro')

拟合得出：

a1,a2,a3,a4,c1分别为: -0.000002370740056 0.000237074005637 -0.038709051387478 1.639110062327408 -2.109047703094988

6

b1,b2,b3,b4,c2分别为: 0.000053517376559 -0.005351737655853 0.187861045146665 -2.703380187516794 25.483607701325582 图2：空间曲线拟合图

图3：曲线在xOy面的投影

7

我们可以根据木条最低点的空间坐标画出他的三维散点图，和曲线图。

图4：桌脚边缘线三维散点图

图5：桌脚边缘线形状图

它的动态变化图，高度以0.5的步长递增，算出相应的x,y坐标。画出它每一个高度对应的曲线程序如下：

h=0:0.5:50; for i=1:20 b=26.096876;

8

r=25; k=2.5;

a2=[(i-1)*k+k/2;

(sqrt((sqrt(b^2-h^2/4)-(sqrt(r^2-((i-1)*k+k/2)^2)-7.806247498))^2+(h/2)^2)/(l/2-sqrt(r^2-((i-1)*k+k/2)^2)))*sqrt(b^2-(h/2)^2)+sqrt(r^2-((i-1)*k+k/2)^2);

(sqrt((sqrt(b^2-h^2/4)-(sqrt(r^2-((i-1)*k+k/2)^2)-7.806247498))^2+(h/2)^2)/(l/2-sqrt(r^2-((i-1)*k+k/2)^2)))*(h/2);

]; x=a1(1,:); y=a1(2,:); z=a1(3,:); plot3(x,y,z,'k') hold on; End

由上面程序可画出折叠过程中每根桌脚的动态变化趋势图：

图6：桌脚的动态变化图

(二)结合给定条件及产品用材最少等要求，算出设计折叠桌的最优加工参数。

设任意给定的折叠桌高度为h，圆形桌面直径为d，由于可根据顾客要求给出，但一经给出即为确定的数，故都可视为常数。设每根木条宽为k，且最初时钢筋两端固定在桌腿最外侧木条距A1点?处。

设计折叠桌时，主要考虑产品稳固性好、加工方便、用材最少三方面的因素。第一，

9

由于产品稳定性与角度有关，并且与桌面直径越大时相应的木条的宽度更宽，否则承受力太小，加之开槽会破坏稳定性。第二，桌子的加工主要体现在开槽方面，因此，开槽长度总和越小，加工越方便。第三，当长方形平板材料体积最小时，用材最少。

若设计折叠桌的目标记为Z，则Z等于用料量与开槽长度总和的加权和，需要求出Z的

d最小值，设最外侧木条和z轴正向夹角为?，长方形材料的长度为l，则有木条条数为

kd（记?2n）。

k设Ai表示每根木条与桌面的连接点坐标，Bi表示初始状态钢筋与木条交点坐标，Ci表示最终状态时木条各端点的坐标，则可得

?d?kk2??d?3k92??d?5k252???，A3??，A1,?dk,0?，A2?,k?3kd,0,k?5kd,0 ?????2?444?2??2????d??2n?1?k?2n?1?2???，An?,?k???2n?1?kd,0?; ??2?2????d?k??d?3k??d??2n?1?k?k2k2k2?????B1,???dk,0，B2,???dk,0?，Bn,???dk,0??2??2???4424??????22?d?k??d?3k?kk???,?cos???dk,?sin?，C2,?cos???dk,?sin?? ;C1?2??2?44?????d??2n?1?k?k2??，Cn,?cos???dk,?sin?? ??24??则第i木条的开槽长度为:

BmCm?AmCm?AmBm2??k2?2m?1?2???cos???dk??k???2m?1?kd????sin?? ??4?2???2k2?2m?1???k???2m?1?kd????dk4?2?2其中Q1是最外侧桌腿的下端点，sin??hlk??dk242,于是

10

BmCm?AmCm?AmBm????????22hk?h?2m?1?????2?????(1?())??dk?k?2m?1kd?????l?224?2?lkk ??????dk??dk????244???2?k2?2m?1???k???2m?1?kd????dk24??设权重为?,而平板材料体积V?ldw，于是目标函数Z为用料体积和开槽长度总和的加权和，即Z??ldw?(1??)?BmCm。

m?1d2k222利用Maple软件编程，通过调用函数，使用Lagrange乘数法求极值的方法，可计算出Z取最小值时各个设计参数的取值。 Maple主程序如下(输出结果见附件1)：

设桌子的加工参数钢筋位置、木板条数、木板宽度、桌面直径、桌面高度、木板长度、权重，木板厚度分别为?,n,k,d,h,l,?,w错误！未找到引用源。，则桌面边界点的y坐标值的表达式为

输出上述表达式的程序为：

计算错误！未找到引用源。值的程序为：

每个木板上打槽的长度函数表达式为：

则每个木板上打槽长度输出程序是：

11

则槽长总和的表达式是：

在上面程序中当h=70 cm，d=80 cm时，可得出最优设计加工参数。

由于在考虑目标最小时，两方面因素的侧重点可能不同，但一般方面都需考虑，故权重所取得差别不应太大，在此我们取??0.45和??0.55两种情形进行讨论，并且木条宽度k应能被80整除，且k不能太大影响美观。对厚度而言，一般根据市面上的桌子而言厚度一般不会太厚，故对厚度w取2.5和3进行讨论，得出以下结果。记开槽长度为

canchang，桌腿与z轴的夹角为?，钢筋位置距Ai距离为?，平板长度为l。

表6 k=2，w=3，权重=0.45 k=2，w=2.5，权重=0.45 k=2，w=2，权重=0.45 k=2，w=3，权重=0.55 k=2,w=2.5,权重=0.55 n 1 2 3 4 5 6 7 caochang 0 4.634467 7.993483 10.777453 13.189445 15.322029 17.226555 n 1 2 3 4 5 6 7 caochang 0 3.316478 5.736488 7.755697 9.516513 11.083021 12.490187 n 1 2 3 4 5 6 7 caochang 0 3.678339 6.357325 8.588413 10.530808 12.255373 13.802621 n caochang 1 2 3 4 5 6 7 n caochang 1 2 3 4 5 6 7 0 4.819945 8.306347 11.192349 13.689980 15.895249 17.866303 0 6.608278 11.284924 14.103899 16.544322 18.700653 20.625567 12

18.934970 9 20.437407 10 21.783709 11 22.985431 12 24.050513 13 24.984874 14 25.793991 15 26.481324 16 27.049376 17 27.502575 18 27.772904 19 27.952935 20 28.042542 Z值：96.58653 ??17.893（度） 8 13.759376 9 14.904479 10 15.932629 11 16.858618 12 18.063571 13 18.763779 14 19.323885 15 19.888433 16 20.314761 17 20.654463 18 21.010851 19 21.245007 20 21.328374 Z值：95.24883 ??30.377（度） 8 15.190923 9 16.451094 10 17.982254 11 18.942416 12 20.120964 13 21.147142 14 21.763258 15 22.272379 16 22.721607 17 23.067693 18 23.412709 19 23.587695 20 23.672756 Z值：96.25758 ??26.827（度） 8 19.627338 9 21.209465 10 22.626087 11 23.889037 12 25.002603 13 25.987694 14 26.835808 15 27.556023 16 27.997556 17 28.464917 18 28.724369 19 28.896934 20 28.983429 Z值：117.54291 ??16.201（度） 8 22.350652 9 23.899562 10 25.286794 11 26.523799 12 27.619051 13 28.410757 14 29.228203 15 29.918551 16 30.384451 17 30.755266 18 31.086622 19 31.306708 20 31.416284 Z值：116.75502 ??0（度） 8 ?=49.293787 ?=57.130476 l=158.587453 l=174.260029 k=2.5，w=3， 权重=0.45 k=2.5，w=2.5， 权重=0.45 ?=55.089595 l=170.179935 表7 k=2.5，w=2， 权重=0.45 ?=48.659018 l=157.318147 k=2.5，w=3， 权重=0.55 ?=46.388194 l=152.776388 k=2.5，w=2.5， 权重=0.55 n caochang 1 n caochang n 1 caochang n caochang 0 2 5.340307 3 9.194223 4 12.357026 5 15.059095 6 17.405417 7 19.454221 8 21.241700 9 22.792065 10 24.122329 11 25.244838 12 26.168705 13 26.900682 14 27.445703 15 27.715874 16 27.894674 Z值：117.97791 ??16.442（度） ?=49.778101 l=159.556202 1 n caochang 0 2 5.468359 3 9.407102 4 12.634842 5 15.389140 6 17.778459 7 19.863075 8 21.680516 9 23.255931 10 24.607013 11 25.746613 12 26.684227 13 27.239257 14 27.653437 15 28.009965 16 28.145842 Z值：118.37221 ??15.369（度） ?=54.924867 l=155.849735 1 0 1 0 2 6.640048 2 6.608434 3 11.364843 3 11.309652 4 15.197633 4 15.125085 5 17.755542 5 17.696641 6 19.978103 6 19.932720 7 21.923931 7 21.887688 8 23.625918 8 23.595183 9 25.098534 9 25.077614 10 26.366039 10 26.350660 11 27.334286 11 27.425658 12 28.133267 12 28.196191 13 28.797052 13 28.807912 14 29.297994 14 29.264100 15 29.595157 15 29.567032 16 29.746214 16 29.71814897 Z值：97.42081 Z值：97.81231 ??5.829（度） ??6.065（度） ?=47.269802 ?=47.801502 l=154.539605 l=155.603004 0 2 5.192863 3 8.939898 4 13.036979 5 16.489694 6 18.343533 7 19.971113 8 21.398035 9 22.641030 10 23.711594 11 24.617891 12 25.525633 13 26.104102 14 26.630802 15 26.913065 16 27.053897 Z值：97.39409 ??17.616（度） ?=51.267389 l=162.534781 13

表8 k=4，w=3，权重=0.45 k=4，w=2.5，权重=0.45 k=4，w=2，权重=0.45 k=4，w=3，权重=0.55 k=4，w=2.5，权重=0.55 n 1 caochang n caochang n caochang 0 2 5.575706 3 9.549733 4 12.704928 5 15.261414 6 17.912790 7 19.400087 8 20.498575 9 21.418305 10 21.874634 Z值：95.35029 ??23.638（度） ?=86.718154 l=173.436309 1 n caochang 0 2 8.537958 3 14.455301 4 17.964682 5 20.799379 6 23.236241 7 24.885319 8 26.101486 9 26.944745 10 27.333399 Z值：117.29101 ??：3.953（度）?=79.649771 l=159.299542 1 n 1 caochang 0 1 0 2 7.855220 2 5.683953 3 13.344442 3 9.735898 4 17.166447 4 12.952604 5 20.241595 5 15.558384 6 22.698552 6 18.171676 7 24.332457 7 19.687648 8 25.537656 8 21.110814 9 26.388036 9 21.819813 10 26.810352 10 22.274609 Z值：94.48696 Z值：95.07908 ??8.482（度） ??22.924（度） ?=80.230931 ?=85.778024 l=160.461861 l=171.556049 0 2 8.504175 3 14.396489 4 17.924436 5 20.772347 6 23.199124 7 24.855872 8 26.077371 9 26.917189 10 27.334286 Z值：117.90162 ??4.151（度） ?=80.167516 l=160.335032 由上可得最佳设计的加工参数为:?= 54.924867,l=155.849735, ??15.369（度）, k=2.5， w=2.5，权重=0.55.

(三) 给出一种设计折叠桌的程序，根据客户要求，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。给出几个自己设计的创意平板折叠桌，并画出至少8张动态变化过程的示意图。

为了设计一种程序，使得产品满足客户给定的折叠桌高度，桌面边缘的形状大小及桌脚边缘线的大约形状的要求，需要在第二问的基础上将桌面边缘线方程改成任意曲线方程，在第二问程序的基础上求出最终状态的各条桌腿的端点坐标，当然，在此同时，端点坐标与每个木条宽度有关，与平板材料长度有关及钢筋固定点的位置有关，然后将这些点的坐标代入已知的桌脚边缘线的方程中，通过maple软件，利用求极值，得到最佳设计加工参数.具体实现过程如下：

kd假设桌面边缘线满足方程yi?f?xi?，xi??i?1?k? （注i?）

2k2?x?x?t??设桌面边缘线为?y?y?t?，通过对最优宽度，长度的确定，可确定出t的值，从而确定最

?z?z?t???xi?xi?底点的空间坐标。又因为x?t??xi 所以?yi?yx?1?xi?.

??1?zi?zx?xi?????以桌子中心对称的轴线建立空间坐标系，任意桌腿与地面所成图形如图所示，底角为?。

14

可得槽长=AiCi?AiBi 又可写出空间Ci的坐标

2?????????????h??h????y1,Ci?xi,?2??1??? ll???y1????y1???????2????2??故要使材料最省、加工方便、稳固性最好则需要

22???????????2??h??????h????y1?yAi????????y1?yAi?最小。 AiCi?AiBi?????1??ll????y1??y1????????????22????????2k??而y1?yAii?d?f?d?,yAi?f??i?1??k??，考虑对于给定的桌角边缘线，可确定每根??22k???2k?木条在空间中的高度，也就可计算出每根木条与地所成夹角，要使其稳固并且用材最少，??美观，最短木条与地夹角不能小于，最长木条与地夹角不能大于。相比于第（2）

22问，我们知道了任意的h,d,yi?f?x?,z?F?x,y?，我们只需改变第（2）问的yi值，并且改变其约束条件就可求出相应参数。最后，取桌面边缘曲线为椭圆时，将上面程序导入

Solidworks软件，得到了相应的设计加工参数并画出了8张动态变化过程的示意图如下：

15

16

17

五、 结果分析与模型推广

本模型讨论了当桌子长宽高由固定值到顾客随意给不确定值，桌面形状，桌脚边缘线的形状由已知到任意设定，钢筋固定位置不同时，桌子各种变量的最优规划，所得结果对于桌子美观稳固性好且使用材料最省，具有一定的指导设计意义。

通过本模型的计算和分析得出当给定任意高度桌脚边缘线，桌面边缘线的形状时，对于以一些加工参数的最优值筛选，和木板用料最优时的各参量的状态。当然,本模型也存在一些不足，比如在一些步骤上数据本身和算法实现都可能对结果产生一些误差，因此可考虑用其他算法实现，从而尽可能减少误差。

六、参考文献

[1]周建国.AtuoCAD2006 基础与典型应用一册通（中文版）［M］.北京:人民邮电出版社,2006. [2]李心灿．高等数学（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2005年8月． [3]亨塞尔曼，利特菲尔德 .精通Matlab. 出版社：清华大学出版社,2008. [4]詹才浩． Solidworks应用教程［M］．南京：东南大学出版社，2009.

18

附录1

Ai点的y坐标

>

>

>

计算?y?yi?y10的值 >

计算AiBi的过程>

19

>

20

>

>

>

21

计算AiCi的过程

>

22

计算槽长的过程AiCi?AiBi

>

23

24

>

计算折叠后桌腿端点处的y值的坐标

AiDi表示桌腿的长度， r?hAiBi 所以 ?r 推出

2AiDi25

yCi?yAi?r(yDi?yAi)

?y的值为

所以yDi的值为 >

>

所以xA1?7.806247498

因为端点处的y值为xA1??y 其结果为 22.77917580 17.13241324 14.50714301

26

12.98654004

12.34771706 12.12321341 12.11068959 12.18547864 12.27129624 12.32427000

计算折叠后桌腿端点处的Z值的坐标

27

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8hj6.html