湖北省天门中学2008年高三11月月考数学试题(理科)

湖北省天门中学2008年高三11月月考数学试题（理科）

命题人：代成红

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知全集U=},,,,{e d c b a ,集合},,{},,{e b a B c b A ==，则()U C A B ?= （ ）

A ．},{e a

B ．},,{d c b

C ．},,{e c a

D ．}{c 2．条件p q x

q x p ??>->+是则条件,131

:,1|1:|的

（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

3．{a n }为等差数列，a 10=33，a 2=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10= （ ）

A ．40

B ．200

C ．400

D ．20

4．关于x 的不等式ax +b <0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式02

>--x b

ax 的解集为（ ） A ．（1，2）

B ．（－1，2）

C ．（－∞，－1）∪（2，+∞）

D ．（2，+∞）

5．若43sin(),sin(),(,).(,0),sin 25522

ππ

αβαβαβπαββ+=-=-+∈-∈-其中则=

（ ）

A ．

25

7 B ．－

25

7 C ．1

D ．－1

6．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=?-=AB CA CD DC AB ，则该四边形一定是（ ）

A ．矩形

B ．直角梯形

C ．等腰梯形

D ．平行四边形

7．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R ）在4

π=

x 处取得最小值，则

函数)4

3(x f y -=π

是

（ ）

A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(

π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称

D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

8．已知2

2

2

2

2

2

2

,4)(c ab b a c c b a +=+++则的最大值为

（ ）

o x

y

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．如右图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数)(x f y =的部分图像，则)(x f 可

能是 （ ）

A ．x x sin

B ．x x cos

C ．x x cos 2

D ．x x sin 2

10．点O 为△ABC 内一点，且存在正数0,,321321=++OC OB OA λλλλλλ使，设△AOB ，△

AOC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2=

（ ）

A ．λ1：λ2

B ．λ2：λ3

C ．λ3：λ2

D ．λ2：λ1

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11．已知x 、y 满足??

???≤-≥+-≥++020402y x y x y x 则z =2x +y 的最大值为

12.不等式()2

27120x x x -++≥的解集是＿＿＿＿＿＿ 13．已知⊙A ：(x －3)2+(y －5)2=1，⊙B:(x －2)2+(y －6)2=1，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B

的切线，切点分别为D 、E ，若||),0,0(|,|||PO O PE PD 则=的最小值为 .

14．式子???-+-35cos 35sin 20cos 1的值等于 ．

15． 给出下列命题：①()sin cos 02παπα?

?++-= ???；②函数()()

23log 2f x x x =-的单调减区间为(),1-∞；③已知21:231,:

06p x q x x ->>+-，则p 是q 的必要不充分条件；④在平面内，与两圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线。其中所有

正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题12分）

在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )m a B n b A ==u r r ，

//.m n m n ≠u r r u r r 且，

（1）求sin sin A B +的取值范围；

（2）若(),abx a b c =+试确定实数x 的取值范围.

17．（本小题12分）

已知平面上三个向量,,a b c r r r 的模均为1，它们相互之间的夹角均为0120.

(1) 求()

a b c -?r r r 的值； (2) 若()1ka b c k R ++>∈r r r ，求k 的取值范围。

18.设函数()()(),0f x x a g x ax a =-=>

（1）解关于x 的不等式()()f x g x <；

（2）设()()()F x f x g x =-，若()F x 在()0,+∞上有最小值，求a 的取值范围。

19. （本小题满分12分）

已知点(),P a b 到直线：12:(23),:(23)l y x l y x =-=+的距离之和为4，求22a b +的最小值

20. （本小题满分13分）

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将工人分成两组同时开始．．．．

加工，每组分别加工一种装置。设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可以不是整数）.

（Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；

（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

21．（本小题满分14分） 已知数列,21,0,}{11n

n n a a a a -==+中 （1）证明11n a ????-??

是等差数列，并求数列{n a }的通项公式n a . （2）设数列{n a }的前n 项和为S n ，证明S n

（3）设n n n a b )109(=，证明：对任意的正整数n 、m ，均有53||<-m n b b .

参考答案

一、A 、B 、C 、B 、A 、B 、D 、B 、A 、C

二、11：16；12：[){}2,3,4+∞?--；13：

322；14：0 ；15：①③ 三：16.解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且，所以cos cos a A b B =， 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，

又,m n ≠u r r 所以22,A B π+=即/2A B π+= …………3分

(1)sin sin A B +=sin sin(

)sin cos 2sin(/4)2A A A A A ππ+-=+=+

30,,24442244A A A A ππππππππ<<≠∴<+<<+

1,2 …………6分 (2)若(),abx a b c =+则()a b c x ab

+=

,由正弦定理，得 ()sin sin sin cos sin sin sin cos a b c A B A A x ab A B A A

+++===?? …………8分 设sin cos A A +=t ∈(1,2??,则212sin cos t A A =+,所以21sin cos 2t A A -= 即22222221111222

t t x t t t t ===>=----， 所以实数x 的取值范围为()

22,+∞ …………12分 17．解：(1):00()11cos12011cos1200a b c ac bc -?=-=??-??=r r r r r r r …………5分

(2): 2222221,1,2221

200 2.

ka b c ka b c k a b c ka b ka c b c k k k k ++>∴++>∴+++?+?+?>∴->∴<>r r r r r r r r r r r r r r r Q 或

…………12分 18.解：(1)不等式等价于()()()()1010

a x a I a x a II +->???--时，由（I ）得1a x a >+，由（II ）得1a x a >-，此时不等式的解集是|1a x x a ??>??+??

； 当1a =时，由（I ）得1a x a >+，由（II ）得x R ∈，此时不等式的解集是|1a x x a ??>??+??；

B

A

P

o

y x

l 2

l 1

当01a <<时，由（I ）得|1a x x a ??>

??+??，由（II ）得1a

x a

<

-，此时不等式的解集是 |11a a x x a a ?

?<

； …………5分 综合得，当1a ≥时，不等式的解集为|1a x x a ?

?

>

??+??

，当01a <<时，不等式的解集为|

11a a x x a a ??<

…………7分 （2）()()()

()()

110a x a x a F x x a ax a x a

x a --≥??=--=?

-++<≤??

由于0a >，()F x 在(]0,a 上为减函数，因此，要使()F x 在()0,+∞上有最小值， 必须而且只需()F x 在[),a +∞上为常数函数或增函数，因此10,01a a -≥∴<≤

…………12分

19.解：设1l 与2l 的夹角为θ，P 到1l 的射影为A ，P 到2l 的

射

影

为

B

，

POA x

∠=，则

()(

)()

2323tan 3

12323θ+--=

=

++

-，

3

π

θ∴=

…………2分

(1)当P 位于平面区域I ：()()()()

23230y x y x --?-+≤时，

()/34OP Sinx OP Sin x π?+?-=，()

4

4

4/36OP Sinx Sin x Cos x ππ=

=

≥+-?

?- ?

?

?，

2216a b ∴+≥。

…………8分

(2)当P 位于平面区域II ：()()()()

23230y x y x --?-+>时，

()2/34OP Sinx OP Sin x π?+?-=，()

4

44

2/3333OP Sinx Sin x Cos x ππ=

=

≥

+-??- ??

?，

22163

a b ∴+≥。 …………11分 22a b ∴+的最小值是163

。 ………12分 20．解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，x -216人. .3)216(3000)(,64000)(?-==∴x x h x

x g 即*).,2160(2161000)(,32000)(N x x x

x h x x g ∈<<-==……4分 （Ⅱ）.)216(3)5432(1000216100032000)()(x x x x x x h x g --?=--=-

.0216,2160>-∴<

当086,432-50,()-()0,()()x x g x h x g x h x <≤>>>时；

当87216,432-50,()-()0,()().x x g x h x g x h x ≤<<<<时……6分

=∴)(x f ???????∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000N x x x

N x x x ……9分 （Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值.

当860≤

10008632000)86()(=?=≥∴f x f ),86()(min f x f =∴此时216-130,x =

……10分 当21687<≤x 时，)(x f 递增，,1291000872162000)86()(=-=≥∴f x f ),87()(min f x f =∴此时,129216=-x

,129

1000)87()86()(min ===∴f f x f ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129.

…………13分 21．解：（1）因为1

11121211

11

1-+-=--=--=-+n n n n n a a a a a n a n n a a n n 1

1)1()1(1

1111-=-=-?-+-=-所以所以 ………………………………4分

（2）设F (x )=ln(x +1)－x (x >0)

1()10(0)11

()(0)0,ln(1)(0)

1111ln(1)11ln(1),11-1-ln(1)ln ,(1ln 2ln1)(1ln 3ln 2)(1ln(1)ln )ln(1)

n n x F x x x x F x F x x x n n n n

a n n n

n n S n n -'=

-=<>++<=+<>+<∴-<-+=<++<-++-++???+-++<-+n 则故所以所以所以所以S

…………9分 （3）因为n n n n b )10

9(1?-= K

K >>><<<≤<>?-=?-=?+?-=+++654321221221221310,19101410,19101910191011b b b b b b n n n

n b b n n n n b b n

n n n n n b b n n n n n n 所以即时当即时当所以

又因为n ≥2时，b n >0，并且b 1=0，所以40b b n ≤≤.

所以对任意的正整数n 、m ，均有|b n －b m |的最大值为：

14b b -=,5

3400002400040000196830)109(434=<=-? 所以对任意的正整数n 、m ，均有53||<-m n b b ………………14分

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