2019-2020学年高一数学必修一：3.2.1《对数》同步练习（含答案）

2019-2020学年苏教版数学精品资料

2.3 对数函数

2．3.1 对数

1．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是__________． ①100＝1与lg1＝0 1111②27－＝与log27＝－

33331③log39＝2与9＝3

2

④log55＝1与51＝5 ⑤lnx＝2与x2＝e

2．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为__________．

1

3．(1)已知logx＝－4，则x＝__________；

16(2)若5lgx＝25，则x＝__________.

11n4．式子logaa＋logan＋loga(a＞0且a≠1)的化简结果是__________．

ana5．方程9x－6·3x－7＝0的解是__________．

6．(1)4log23＝__________；(2)log3264＝__________.

??log3x， x>0，1

7．已知函数f(x)＝?x则f(f())的值是__________．

9?3， x≤0，?

8．下列结论中，正确的序号是__________．

①lg2·lg3＝lg5 ②lg23＝lg9 11

③5log5＝

22

④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a>0且a≠1) ⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N

9

9．(1)已知log23＝a，log25＝b，则log2＝__________(用a，b表示)；

5(2)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝__________(用a，b表示)． 242

10．若a＞0，a＝，则loga＝__________.

393

11．(易错题)对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的序号为__________．

①若M＝N，则logaM＝logaN

②若logaM＝logaN，则M＝N ③若logaM2＝logaN2，则M＝N ④若M＝N，则logaM2＝logaN2

12．求下列各式的值： (1)log26－log23； (2)lg5＋lg2； (3)log23·log27125·log58.

13．求下列各式的值： (1)log2

71

＋log212－log242； 482

1

(2)8－log23；

3

(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.

14．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg45的值．

15．有以下四个结论：

①lg(lg10)＝0； ②ln(lne)＝0；

③若10＝lgx，则x＝100； ④若e＝lnx，则x＝e2.

其中正确的序号是__________．

16．已知a>0且a≠1，则下列等式中正确的个数是__________． ①loga(M＋N)＝logaM＋logaN(M>0，N>0) ②loga(M－N)＝logaM－logaN(M>0，N>0) ③

logaMM

＝loga(M>0，N>0) logaNN

M

④logaM－logaN＝loga(M>0，N>0)

N

?log2x，x∈?0，＋∞?，?2

17．已知f(x)＝?x，x∈?－1，0]，

??－2x＋3，x∈?－∞，－1]，

则f{f[f(－2－3)]}＝__________.

1

18．(1)若log5·log36·log6x＝2，则x＝__________；

3

x??2， x∈?－∞，1]，1

(2)设f(x)＝?则满足f(x)＝的x值为__________．

4??log81x， x∈?1，＋∞?，

－

11

19．已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，那么－＝__________.

ab

11

20.已知log(log2x)＝log(log3y)＝1，则x，y的大小关系是__________．

2321．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则a2mn＝__________；

(2)已知f(x6)＝log2x，那么f(8)的值为__________．

－

logm7

22．已知＝a，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝__________，

logm561

7＝__________. a

23．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2444)的值等于__________． 1

24．(1)式子2(1＋log25)的值为__________．

2(2)lg5·lg8 000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6＝________. 11

(3)若2a＝5b＝10，则＋＝__________.

ab(4)lg4＋lg9＋2?lg6?2－2lg6＋1＝________.

2

(5)2lg5＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝__________.

311

(6)log2·log38·log27＝__________.

255

25．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．

26．(易错题)(1)已知log89＝a，log25＝b，试用a，b表示lg3；

(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log330； (3)已知log189＝a,18b＝5，则用a、b表示log3645.

27．2009年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)

28．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：logax＋3logxa－logxy＝3，若y有最小值8，求a的值．

29．已知a>0且a≠1，若log2a＋loga8＝4，则 (1)判断函数f(x)＝xa＋3的奇偶性； (2)计算loga27·log364的值；

(3)判断函数g(x)＝ax的单调性．

答案与解析

基础巩固

1．3 ∵log39＝2

1

32＝9,9＝3

2

1

log93＝，∴③不正确；

2

∵lnx＝2e2＝x，x2＝elogxe＝2，∴⑤不正确； ①②④都正确．

2．2 ①③正确；②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，因为log3(－5)无意义．

1－

3．(1)2 (2)100 (1)将已知化为指数式得x4＝，

16∴x4＝16＝24.

又x＞0且x≠1，∴x＝2. (2)∵5lgx＝25＝52，

∴lgx＝2.∴x＝102＝100.

111111－

4．－n 原式＝logaa＋logaan＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.

nnnnnn5．log37 9x－6·3x－7＝(3x)2－6·3x－7＝0，令t＝3x＞0，则有t2－6t－7＝0，解得t

＝7(t＝－1＜0舍去)，

∴3x＝7.∴x＝log37为原方程的解．

6

6．(1)9 (2) (1)4log23＝22log23＝2log232＝32＝9.

5(或4log23＝4log2232＝4log49＝9)

log2646lg646lg26

(2)log3264＝＝(或log3264＝＝＝)．

log2325lg325lg2511

7. ∵＞0， 99

11－

∴f()＝log3＝log332＝－2，

991－

∵－2＜0，∴f(－2)＝32＝.

9

11∴f(f())＝f(－2)＝. 99

8．③⑤ 由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确； 当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；

由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N， MMM

即log2＝log3，上式只有当＝1，即M＝N时成立，

NNN∴⑤正确．

3＋ab99．(1)2a－b (2) (1)log2＝log29－log25＝log232－log25＝2a－b.

51＋ab(2)方法一：由log23＝a，log37＝b，得log23·log37＝ab， ∴

lg3lg7lg7

·＝＝log27＝ab. lg2lg3lg2

log256

∴log1456＝ log214＝

log2?7×8?log27＋log28ab＋3

＝＝.

log2?2×7?log27＋log22ab＋1

方法二：∵log23＝a， 11

∴log32＝＝.

log23a又log37＝b，

log356log37＋log38

∴log1456＝＝

log314log37＋log321b＋3

aab＋3

＝＝. 1ab＋1b＋a

24

10.3 方法一：∵a＞0，a＝，

3942∴loga＝. 93

4222∵loga＝loga()2＝2loga＝，

933321∴loga＝. 3321∴loga＝＝3.

32

loga

3242

方法二：∵a＝＝()2，

3932222

∴loga＝log()2＝2.

3333222

∴loga＝2.∴loga＝3. 333

11．② 在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立；在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，

∴M＝N成立；在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．∴只有②正确．

点评：应用对数的定义及性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，所以在用公式前要特别注意它成立的前提条件，如lgMN＝lgM＋lgN，只有当M>0，N>0时成立，若M<0，N<0，则MN>0，此时lgMN有意义，但lgM与lgN均无意义，

∴lgMN＝lgM＋lgN就不成立．此类题看起来简单，其实做好不易，因为只有每小题都判断准确，才能做对答案，若稍微马虎就会出错，因此要切实打牢基础，把知识学透学好．

6

12．解：(1)log26－log23＝log2＝log22＝1；

3(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1； (3)log23·log27125·log58 ＝＝

lg3lg125lg8

×× lg2lg27lg5lg33lg53lg2××＝3. lg23lg3lg5

1111

13．解：(1)方法一：原式＝(log27－log248)＋log24＋log23－log26－log27＝－

2222111111

log2(16×3)＋2＋log23－log2(2×3)＝－log216－log23＋2＋log23－－log23＝－×4＋2

22222211

－＝－. 22

方法二：原式＝log2(

71

×12×) 4842

7×12×11

＝log2＝log2

43×7×6211＝log22－＝－.

22

122

(2)原式＝(23)(－log23)＝21－3log23＝21－log227＝＝.

32log22727

(3)方法一：(运用立方和公式)原式＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2×lg5＋lg25)＋3lg2×lg5＝lg22

－lg2×lg5＋lg25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.

方法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用两数差的立方公式)

原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg25－lg35＋lg35＋3lg5－3lg25＝1.

11901

14．解：方法一：lg45＝lg45＝lg＝(lg9＋lg10－lg2)

2222111

＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2 2221

＝0.477 1＋0.5－×0.301 0＝0.826 6.

211

方法二：lg45＝lg45＝(lg5＋lg9)

22

111

＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2＝0.826 6. 2221

法三：设lg45＝x，即lg45＝x，

2

∴lg45＝2x. ∴102x＝45.

∵lg2＝1－lg5＝0.301 0， ∴lg5＝0.699 0. ∴100.699 0＝5.① 又lg3＝0.477 1， ∴100.477 1＝3.

∴(100.477 1)2＝32＝9.②

×

由①×②得100.699 0×1020.477 1＝5×9＝45＝102x， ∴0.699 0＋2×0.477 1＝2x. ∴x＝0.826 6.

能力提升

15．①② ①lg(lg10)＝lg1＝0，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正确； ∵10＝lgx，∴x＝1010，∴③不正确； ∵lnx＝e，∴x＝ee.∴④不正确．

16．1 对比对数的运算性质知①②③错，④正确． 17．－4 f(－2－3)＝－2－4.

1

lg

3lg6lgx11

18．(1) (2)3 (1)∵log5·log36·log6x＝××＝2，

253lg5lg3lg6lgx

即－＝2，

lg5

1－

∴lgx＝－2lg5＝lg52＝lg.

25

1lgx

∴x＝.(或由－＝2，得－log5x＝2，

25lg5即log5x＝－2，∴x＝52＝

－

－2－

3＋3111111－

＝－22＝－，f(－)＝(－)2＝，f()＝log2＝

444161616

1

)． 25

1－－

(2)当x≤1时，f(x)＝2x＝＝22，

4

1

∴x＝2与x≤1矛盾(舍去)；当x＞1时，f(x)＝log81x＝，

411

∴x＝81＝(34)＝3，符合x＞1，

44∴x＝3.

11

19．1 方法一：用指数解．由题意11.2＝1 000，0.011 2＝1 000，

ab

11

∴两式相除得1 000－ ab＝

11.2

＝1 000. 0.011 2

11∴－＝1. ab

方法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3， 111

b×lg0.011 2＝3，∴－＝(lg11.2－lg0.011 2)＝1.

ab3方法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000， ∴a＝log11.21 000，b＝log0.011 21 000. 11∴－ ab＝

11

－

log11.21 000log0.011 21 000

11.2

0.011 2

＝log1 00011.2－log1 0000.011 2 ＝log1 000

＝log1 0001 000＝1.

1

20．x

21

∴log2x＝，x＝2.

21

又log(log3y)＝1，

313∴log3y＝.∴y＝3.

3

66663∵2＝23＝8<9＝32＝3， ∴x

41

21．(1) (2) (1)∵loga2＝m，loga3＝n，

32∴am＝2，an＝3. ∴a

2m－n

a2m?am?2224＝n＝n＝＝. aa33

1

(2)方法一：设t＝x6，则x＝t，

61

∴f(t)＝log2t. 6

111

∴f(8)＝log28＝log22＝.

622方法二：∵8＝23＝(2)6，

1

∴f(8)＝f((2)6)＝log22＝(即令已知中的x＝2)．

2

logm7logn8

22．1 56 由换底公式得＝log567＝a，b＝＝log568，

logm56logn56∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1. 1

∵log567＝a，∴＝log756.

a1

∴7＝7log756＝56.

a

23．2 009 ∵f(3x)＝4xlog23＋233. ∴f(3x)＝4log23x＋233， ∴f(x)＝4log2x＋233.

∴f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，令n＝444，则f(2444)＝4×444＋233＝2 009. 24．(1)25 (2)1 (3)1 (4)2 (5)3 (6)18

(1)方法一：原式＝21＋log25＝2log22＋log25＝2log225＝25. 1

方法二：原式＝21·2log25＝2·2log25＝25.

2

(2)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.

(3)方法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，

1111∴＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1. ablog210log510

方法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1， 11

∴＝lg2，＝lg5. ab

11

∴＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1. ab

(4)原式＝2lg2＋2lg3＋2?lg6－1?2

＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2. (5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg22 ＝lg25＋2lg5·lg2＋lg22＋2(lg5＋lg2)＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg210＋2×1 ＝1＋2＝3.

1lg

25lg8lg27

(6)原式＝××

lg2lg31

lg512lg

53lg23lg3＝××＝18. lg2lg31

lg5

25．解：∵二次函数f(x)有最大值， ∴lga<0.

16lg2a－411

又当x＝－时，f(x)有最大值，且f(x)max＝＝4lga－＝3，

lga4lgalga

1

∴4lg2a－3lga－1＝0.令t＝lga，则方程为4t2－3t－1＝0，解得t＝1或t＝－，即lga＝

4

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