上海市（长宁、宝山、嘉定、青浦）四区2016届高三数学4月质量调研测试（二模）试题 文

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷（文科）

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．

2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

21．设集合A?{x|x|?2,x?R}，B?{xx?4x?3?0,x?R}，则AIB?_________．

2．已知i为虚数单位，复数z满足

1?z?i，则|z|?__________． 1?zx?13．设a?0且a?1，若函数f(x)?a?2的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标

是___________．

Pn2?C2n?__________． 4．计算：lim2n??(n?1)5．在平面直角坐标系内，直线l:2x?y?2?0，将l与两条坐标轴围成的封闭图形绕y轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知sin2??sin??0，??????,??，则tan2??_____________． ?2?x7．设定义在R上的偶函数y?f(x)，当x?0时，f(x)?2?4，则不等式f(x)?0的 解集是__________________．

8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(1,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线C:y?2px（p?0）的焦点，则抛物线C的方程为_____________．

2?y?x,?9．已知x、y满足约束条件?x?y?4, 则z?2x?y的最小值为____________．

?y?2?0,?k??310．已知在?x2??（k为常数）的展开式中，x项的系数等于160，则k?_____________．

x??

1

611．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于是______________．

12．已知数列{an}满足a1?a2???an?n2?3n（n?N*），

22ana12a2??L??__________． 则

23n?11的概率213．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________． 14．对于函数f(x)?ax2?bx，其中b?0，若f(x)的定义域与值域相同，则非零实数

a的值为_____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“sin??0”是“cos??1”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．下列命题正确的是（ ）．

（A）若直线l1∥平面?，直线l2∥平面?，则l1∥l2； （B）若直线l上有两个点到平面?的距离相等，则l∥?； （C）直线l与平面?所成角的取值范围是?0,?????； 2?（D）若直线l1?平面?，直线l2?平面?，则l1∥l2.

rrrrrrr17．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c?a)?(c?b)?0，则

r|c|的最大值是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）2 （D）

18．已知直线l：y?2x?b与函数y?2 21的图像交于A、B两点，设O为坐标原点，记 x△OAB的面积为S，则函数S?f(b)是（ ）．

（A）奇函数且在(0,??)上单调递增 （B）偶函数且在(0,??)上单调递增

2

（A）奇函数且在(0,??)上单调递减 （D）偶函数且在(0,??)上单调递减

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，AC?BC?AA1?2，

C1 B1

D为侧棱AA1的中点．

A1 （1）求证：AC?平面BCC1B1；

（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小（结果用

D C B

反三角函数值表示）． A

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)?3sin2x?cos2x?1（x?R）． （1）写出函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)?0，BA?BC?且a?c?4，求b的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x?D，存在常数M?0，都有f(x)?M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．

3，2（1）设f(x)?x?11?，判断f(x)在??,?上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出x?1?22?f(x)的所有上界M的集合；若不是，也请说明理由；

?1??1?（2）若函数g(x)?1?a??????在[0,??)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取

?2??4?值范围．

xx 3

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x2y2设椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到F的距离等

ab于焦距．

（1）求椭圆?的标准方程；

（2）设C、D是四条直线x??a，y??b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆?上任意一点，若OP?mOC?nOD，求证：m2?n2为定值；

（3）过点F的直线l与椭圆?交于不同的两点M、N，且满足△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．

y

BCD

xFO

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{an}、{bn}满足：a1?（1）求b1，b2，b3，b4； （2）求证：数列?1bn，an?bn?1，bn?1?． 241?an?1??是等差数列，并求{bn}的通项公式； b?1?n?*（3）设Sn?a1a2?a2a3???anan?1，若不等式4aSn?bn对任意n?N恒成立，求实数a的取值范围．

4

文科数学参考答案

一．填空题

32? 5． 6．3 7．[?2,2] 23328．y?4x 9．?6 10．2 11． 12．2n2?6n

71．(?2,1] 2．1 3．(3,1) 4．13．{24,27,30} 14．?4

二．选择题

15．B 16．D 17．C 18．B

三．解答题

19．（1）因为底面△ABC是等腰直角三角形，且AC?BC，所以，AC?BC，（2分） 因为CC1?平面ABC，所以CC1?AC， ???????????????（4分） 所以，AC?平面BCC1B1． ????????????????????（5分） （2）取CC1点E，连结DE、B1E，则DE∥AC

所以，?B1DE就是异面直线B1D与AC所成角（或其补角）． ???????（2分） 解法一：由已知，DE?CC1，DE?AC，所以DE?平面BCC1B1，所以△B1DE是直角三角形，且?B1ED?90?， ????????????????（4分）

B1E5， ????????（6分） ?BE25所以，异面直线B1D与BC所成角的大小为arctan． ??????????（7分）

2解法二：在△B1DE中，B1D?3，B1E?5，DE?2，

因为DE?2，B1E?5，所以，tan?B1DE?B1D2?DE2?B1E29?4?52由余弦定理得，cos?B1DE???． ?????（6分）

2?B1D?DE2?3?232所以，异面直线B1D与BC所成角的大小为arccos． ???????????（7分）

3

20．（1）f(x)?2sin?2x???1， ????????????????（3分） 6?所以，f(x)的最小小正周期T??， ????????????????（4分）

????????f(x)的单调递增区间是?k??,k???，k?Z． ???????????（6分）

36??????1??（2）f(B)?2sin?2B???1?0，故sin?2B???，

6?6?2???5???所以，2B??2k??或2B??2k??（k?Z），

6666

5

因为B是三角形内角，所以B??3． ??????????（3分）

而BA?BC?ac?cosB?32，所以，ac?3， ??????????（5分） 又a?c?4，所以，a2?c2?10，所以，b2?a2?c2?2accosB?7，

所以，b?7． ?????????????（8分）

21．（1）f(x)?1?1x?1，则f(x)在??11??1??1???2,2??上是增函数，故f???2???f(x)?f??2??， 即?1?f(x)?13， ?????????????????（2分） 故|f(x)|?1，所以f(x)是有界函数． ?????????????????（4分） 所以，上界M满足M?1，所有上界M的集合是[1,??)． ????????（6分） （2）由题意，?3?g(x)?3对x?[0,??)恒成立，

xx即?3?1?a???1??1??2?????4???3， ?????????????????（1分）

x令t???1??2??，则t?(0,1]，原不等式变为?4?at?t2?2，

故?4?t2t?a?2?t2t， 故??4??2???t?t???a???t??， ????????（3分） max?tmin因为y??4?4?t?t在?(0,1]上是增函数，故???t?t????5， ???????（5分）

max又y?2t?t在t?(0,1]上是减函数，故??2??t?t???1． ?????????（7分）

min综上，实数a的取值范围是[?5,1]． ?????????（8分）

22．（1）由已知，c?1， ???????????????????（1分） 又|BF|?b2?c2?2，故a?2， ??????????????????（2分）

所以，b2?a2?c2?3，所以，椭圆?的标准方程为x2y24?3?1． ?????（4分） （2）C(2,3)，D(?2,3)， ??????????????????（1分）

22设P(xx00,y0)，则4?y03?1， 由已知OP?mOC?nOD，得???x0?2(m?n),??3(m?n), ????????（4分）

?y0所以，

4(m?n)23(m?n)24?13?1，即m2?n2?2为定值． ?????（6分）

6

（3）

S?BFMS?2等价于

|FM|?2， ?????????????????（1分） ?BFN|FN|当直线l的斜斜率不存在时，|FM||FN|?1，不合题意． ???????????（2分）

故直线l的斜率存在，设l：y?k(x?1)， ?由?y?k(x?1),?x2y2消去x，得(3?4k2)y2?6ky?9k2?0， ????????（3分）??4?3?1,

)，N(x6k9k2设M(x1,y12,y2)，则y1?y2??3?4k2，y1y2??3?4k2，

由|FM|y16k|FN|?2，得y??2，则y2?，y29k2223?4k2?2(3?4k2)， 从而3?4k2?8，k??52． ????????????????（5分）所以，直线l的方程为y??52(x?1)． ????????????????（6分）

23．（1）由已知，bbnn?1?(1?a?bn?1， n)(1?an)bn(2?bn)2?bn因为a11?4，所以，b34561?4，b2?5，b3?6，b4?7． ????（4分）（每个1分） （2）b?12?b，b1?1?bn?1n?1n?1?1?， ????????（2分） n2?bn2?bn所以，

12?bnbn?1?1?b?1?1， n?1bn?1所以，数列??1??b?是以?4为首项，?1为公差的等差数列． ????????（4分） n?1?所以，

1n?2b?1??n?3，bn?（n?N*）． ????????????（6分）nn?3（3）因为bn?2n?n?3，从而a1n?1?bn?n?3， ????????????（1分） 所以，S1n?a1a2?a2a3???anan?1?4?5?115?6???(n?3)(n?4) ?14?1n?4?n4(n?4)， ?????????????（2分） 解法一：

7

所以，不等式4aSn?bn化为即a?ann?2?， n?4n?3(n?2)(n?4)当n?N*时恒成立， ????????????????（4分）

n(n?3)令f(n)?(n?2)(n?4)n?2n?4?2??1?212， ????1???1????1??n(n?3)nn?3?n??n?3?nn?3n(n?3)则f(n)随着n的增大而减小，且f(n)?1恒成立． ????????????（7分） 故a?1，所以，实数a的取值范围是(??,1]． ?????????????（8分） 解法二：

ann?2(a?1)n2?3(a?2)n?8， 4anSn?bn???n?4n?3(n?3)(n?4)若不等式4aSn?bn对任意n?N恒成立，则当且仅当(a?1)n?3(a?2)n?8?0对任意n?N恒成立． ????????????（4分） 设f(n)?(a?1)n?3(a?2)n?8，由题意，a?1?0，

当a?1时，f(n)??3n?8?0恒成立； ??????????（5分） 当a?1时，函数f(x)?(a?1)x?3(a?2)x?8图像的对称轴为x??2*2*23a?2??0， 2a?1f(x)在(0,??)上单调递减，即f(n)在N*上单调递减，故只需f(1)?0即可，

15*，所以当a?1时，4aSn?bn对n?N恒成立． 4综上，实数a的取值范围是(??,1]． ??????????（8分）

由f(1)?4a?15?0，得a?

8

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