“切线的判定与性质”教学设计及反思

《切线的判定和性质》教学设计与反思

教材分析：

“切线的判定和性质”是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础。学好它，对今后数学、物理等学科的学习会有很大的帮助。

教学目标：

1、通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）过程，让学生发现切线的判定定理，并能说明方法的正确性。

2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。 3、通过这节内容的教学，使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法。

4、培养学生动手操作的能力，通过直观教具的演示好指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的主动性和积极性。

教学重点：发现并证明切线的判定定理，认识切线在实际生活中的应用。 教学难点：体验圆的切线证明问题中辅助线的添加方法。 教学过程：

一、问题的提出：（多媒体显示问题）

1.直线与圆有哪三种位置关系？判断的标准是什么？

2.什么叫圆的切线？怎样判定一条直线是不是圆的切线？（学生先观察、猜想，在让学生和教师一道用自制教具进行演示）

通过以上演示探究，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。为此，我们有必要学习切线的判定定理。

(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、

相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)

二、定理的发现：

上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线”这一定义。下面请同学们把我们刚刚的实验操作用作图步骤归纳出来：

画出⊙O；在⊙O上任取一点A；连接OA；过点A作直线l⊥OA.（完成后，请同学们猜想，直线l是不是⊙O的切线？它满足哪些条件？）。

学生猜想：一条直线满足：经过半径的外端；垂直于这条半径，那么这条直线是圆的切

OA

线。（让学生试图用文字语言加以概括）

结合所画图形，引导学生分析：因为直线l⊥OA，所以圆心O到直线l的距离等于OA，而OA正好是圆O的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l是圆O的切线。

（设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解。）

(多媒体显示)切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的线．（分析两个条件及几何语言的书写）

提问：生活中你看到哪些现象是直线和圆相切的位置关系的？（学生回答，教师补充）如：下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路；磨砂轮上的火花等。

练一练：判断下列说法是否正确。（多媒体显示） (1)过半径外端的直线是圆的切线．（ ） (2)与半径垂直的直线是圆的切线．（ ）

（3）过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线。（ ） （4）经过直径的端点且与直径垂直的直线是圆的切线（ ） （学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例）

显然，图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)、（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端。在亲身体验的基础上，让学生归纳出：只满足其中一个条件的直线不是圆的切线；因此利用切线的判定定理时，两个条件是缺一不可的；把定理中的“半径”改为“直径”结论也成立。

提问：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？（学生讨论后，请学生代表陈述，再用多媒体显示）

方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

OOOA图1A图2A图3

其中方法1是切线的定义；方法2和方法3本质相同，只是表达形式不同。可根据问题的特点选择适当的判定方法。 三、实践应用

例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

引导学生分组讨论得出：本题已知直线AB与⊙O有一个公共点C，要证明AB是⊙O的切线，只需连接这个公共点C与圆心O，得到半径OC,再证明半径OC与直线AB垂直即可。（学生口述证明过程）

（设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说，可以从数量关系证明，也可以从判定定理入手，旨在体会辅助线的添法（点已知，连半径，证垂直）和判定方法的灵活应用。）

由例题1，我们可以得到：以等腰三角形的顶点为圆心作圆，如果该圆经过底边的中点，那么底边必与此圆相切。若以等腰直角三角形的一腰为直径作圆，那么此圆是否和另一腰也相切呢？请做练习：

已知如图,AB=AT,∠T=45°,以AB为直径作⊙O.求证:AT是⊙O的切线。

BACBO

OOTA

ACB例2 例2：如图，△AOB中，OA＝OB＝10㎝,∠AOB=120°，以O为圆心、5㎝为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。

引导学生分组讨论：

1、例1与例2在内容有什么相同点和不同点？（相同点：三角形OAB都是等腰三角形；都是要证明底边AB与圆O相切。不同点：例1中，已知AB与圆O有公共点C，而例2没有给出。）

2、解决例2应作什么样的辅助线？（例2中直线AB与⊙O没有明确公共点，需要添加辅助线OC ⊥AB于点C。再证明点O到直线AB的距离OC等于圆O的半径即可。）（多媒体演示证明过程。）

（设计意图：加强练习，巩固切线的判定，以及常做辅助线方法。） 四、理论归纳

学生讨论：例1与例2的证明中，所作辅助线有什么不同？（多媒体显示）

归纳：1、当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”。简称为“连半径，证垂直”。

2、当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”。简称为“作垂直，证半径”。

练一练：（学生在规定的时间内独立完成。有困难的学生举手示意，教师给予指导，时间一到，多媒体显示正确答案，同学间交叉批改，并反馈信息。）

变式1：如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E。 求证:DE是⊙O的切线。

变式2：已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：AC是⊙O的切线。

（设计意图：关于练习设计，本着面向全体学生和循序渐进的原则，把需要和可能有机的结合起来。通过学生练习、学生之间、师生之间讨论与交流，及时反馈信息，查漏补缺。让不同层次的学生学有所获。）

五、课堂小结

有关圆的切线证明和计算常用辅助线的添法有哪些？本节课的学习过程中，渗透了哪些思想方法？

（设计意图：综合概括本节课添加辅助线解决圆的切线问题时的不同方法及体现的数学思想方法，使学生用数学的眼光看待圆的切线问题。）

六、达标测试：

已知如图(1),△ABC内接于⊙O,AB为⊙O直径,∠CAD=∠B.求证:AD是⊙O的切线。

BOEDCAADOCB变式1 变式2

（设计意图：达标测试题给学生限定的时间，每一道题都设置分值，目的在于反馈教学的效果。在选题上有梯度，考虑到面向全体学生。主要目的是巩固所学知识，拓展学生思维。）

O

AOBCD

C

设计说明： 由于圆的切线的判定定理在证明与圆有关的很多问题中应用广泛，加之圆的知识综合性强，证明过程中，学生辅助线的添加能力较差，故本课时将定理的掌握及其运用作为重点，而将证明过程中辅助线的添加作为难点。在教学中，抓住兴趣因素，立足思维训练和能力培养，遵循知识内在规律，从知识的内在联系入手，强调教学知识的形成过程、及“变式导学法”为主，辅以讨论、练习、讲述、发现等方法。重视学生活动，以“导”为主线，以“变”为特色。以教与学协调发展为核心，以学生参与，探索为主要特征，由常而变，而向全体学生因学施导，因材施教。定理的得出，让学生画图、观察、讨论发现切线的定理，同时通过两个反例，加强学生对定理的理解和掌握。通过对例题进行各种变式，目的在于拓宽学生视野，培养学生的思维能力和创新能力。

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