导数与函数的单调性、极值和最值

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取_________. 极小值

3.函数的最大值与最小值 在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可

导，f(x)在[a,b]上求最大值与最小值的步骤： 极值 (1)求f(x)在(a,b)内的______; (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其 最大值 中最大的一个是________,最小的一个 最小值 是_________.

1.函数f(x)=x-lnx的单调减区间是________. (0,1) 2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值， 最小值分别是______________. 5,-15 3.函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值 2 4.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数，则a

(-∞,0] 的取值范围是_______________.5. 若函数f(x)=3x3+2x2-1在(m,0)上为减函数，则m的取值范围是________.

4 [ , 0) 9

3 6.已知函数f ( x) ax 3 x 1 a (a R且a 0)3 2

试求函数f ( x)的极大值与极小值。7.已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围；

由题设知 a≠0,f′(x)=3ax2 2 -6x=3ax(x- ). a 2 令 f′(x)=0,解之得 x=0 或 x= . a 当 a>0 时，随 x 的变化，f′(x)与 f(x) 的变化情况如下： 【解】x f′(x) f(x) (- ∞, 0) + ↗ 0 0 极大 值 (0, 2 ) a - ↘ 2 a 0 极小 值 2 ( ,+ a ∞) + ↗

3 2 ∴f(x)极大值=f(0)=1- ,f(x)极小值=f( )= a a 4 3 - 2- +1. a a 当 a<0 时，随 x 的变化，f′(x)与 f(x) 的变化情况如下：x (- 2 ∞, ) a - ↘ 2 a 0 极小 值 2 ( , 0) a + ↗ 0 (0,+ ∞) - ↘

f′(x) f(x)

0 极大 值

3 2 ∴f(x)极大值 =f(0)=1- ,f(x)极小值 =f( )= a a 4 3 - 2- +1. a a 综上， a∈R, a≠0 时， 极大值 =f(0) 当 且 f(x) 3 2 4 3 =1- ,f(x)极小值=f( )=- 2- +1. a a a a

x+1 1 解：(1)f′(x)= +lnx-1=lnx+ , x x xf′(x)=

xlnx+1, 2 ∴xf′(x)≤x +ax+1 等价于 lnx-x≤a. 1 令 g(x)=lnx-x,则 g′(x)= -1. x 当 0<x<1 时，g′(x)>0; 当 x≥1 时，g′(x)≤0, ∴x=1 是 g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)=-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞).

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