第十二讲 等量代换

第十二讲 等量代换

小朋友们一定都知道曹冲（曹操的儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。 为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样。只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，船才会被淹没得一样深。 “曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。 解决数学题，经常会用到这种思考方法。

典型例题 例[1] ◎＋◎＋□=25 ……（1）

□=◎＋◎＋◎ ……（2） ◎=？ □=？

分析 把两个算式编号为（1）式、（2）式。把（1）式中的

□用（2）式中的三个◎代换，可得

◎＋◎＋◎＋◎＋◎=25

也就是 ◎×5=25

解 ◎=25÷（2＋3）=5

□=5＋5＋5=15

例[2] 根据下图，求最大的球的克数。

48克

（1） （2） （3）

分析 先比较上图（1）中天平两端，容易看出：1个小黑求的

重量恰好等于砝码的重量48克。由图（2）可知，3 =2 。这样可求出小白球的重量。算出小白球的重量后，由图（3）又可以算出最大球的重量。

解 由于 =48和3 =2 ，可算出 =48×3÷2=32（克）。

答：最大球的重量为：32×4=128（克）

例[3] 百货店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸

箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

分析 根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”，把木箱

换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装

好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。

解 300÷（2×2＋6）

=300÷10 =30（双） 30×2=60（双）

答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。

例[4] 如下图，淡黄色部分是正方形，求出最大的长方形的

周长。

5厘米

A B E H

C

D

7厘米

F G

分析 因为图的中间是正方形，正方形的4边相等，所以

DF=FE=BE=BD……（1）

长方形ABCD的周长为7×2=14（厘米），长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米），又因为最大的长方形AHGC的周长等于： AB＋AC＋CD＋DF＋FG＋GH＋EH＋BE……（2）

根据（1）对（2）式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABCD的周长加上长方形EHGF的周长。

解 7×2＋5×2=24（厘米）

答：图中最大长方形的周长是24厘米。

例[5] 如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半

的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少千克？

分析 依题意列出下列等式：

尾=4 ……（1） 头=尾＋身÷2 ……（2） 身=头＋尾 ……（3）

由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等，所以把（2）式两边同乘以2得：

2头=2尾＋身 ……（4） 把（3）式代入（4）式得： 2头=2尾+头+尾

解 头=3尾=3×4=12（千克）

身=头＋尾=12＋4=16（千克）、

全鱼=头＋身＋尾=12＋16＋4=32（千克） 答：这条鱼有32千克。

小结 在进行等量代换时，我们通常要把题目中的

等量关系或图中的相等关系（天平平衡就是一种等量关系）转化为等式，并把这些等式按顺序编号，再互相代换。

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