2020湖北麻城高一期中数学

麻城市2020年第一学期期中检测试题

数 学

时间：120分钟 满分：150分

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若集合A={x|0＜x ≤2},B={0,1,2,3},则集合A ∩B= ( )

A.{0,1}

B.{0,1,2}

C.{1,2}

D.{1,2,3}

2.命题“2

0,11x x ?≥-≥-”的否定是（ ）

A. 20,11x x ?≥-<-

B. 20,11x x ?<-<-

C. 20,1x x ?≥-<-1

D. 2

0,11x x ?<-<- 3.

已知点??

在幂函数()y f x =的图象上,则

()f x 的表达式( ) A. ()3x f x = B. 3()f x x = C. 2()f x x -= D. 1()2x

f x ??= ??? 4.

已知函数20()1,0x f x x x x ?≥?=???+

??，则()()3f f ＝（ ） A. 14 B. 4 C. 254 D. 1009

5.函数

y =的定义域为( ) A. {|1x x <-或4}x >

B. {}|14x x -<<

C. {}|41x x -<<

D. {}1|4x x -≤≤

6.已知二次函数f (x ) = x 2－2ax ＋1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a

取值范围是（ ） A. a ≤2或a ≥3 B. 2≤a ≤3

C. a ≤-3或a ≥2

D. -3≤a ≤-2 7. 已知0x >,0y >,且 1x +

2

y =1,则x y +的最小值为( ) A.4 B. 4√2 C.4+√2 D. 3+2√2

8.定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[]1,1x ∈-都有()()f x f x -=-；

②任意的[],0,1m n ∈，当m n ≠，都有

()()0f m f n m n -<-，则不等式(13)(1)f x f x -<-的解集是（ ） A. 10,2??

???? B. 12,23?? ??? C. 11,2?

?-???? D. 2,13??

????

二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分.

9.下列判断正确的是( )

A. 0∈?

B. 1y x

=是定义域上的减函数 C. 1x <-是不等式

10x x ->成立的充分不必要条件 D. 函数11a y x -=+过定点()1,2

10. 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ）

A. “a=b ”是“ac=bc ”的充要条件

B. “22a =b ”是“a=b ”的充分条件

C.“a <5”是“a <3”的必要条件

D.“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件

11.设110b a

<<，则下列不等式恒成立是（ ） A. a b <

B. a a b b <-

C. 33332b a a b +>

D. 11||||b a < 12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄

利克雷定义了一个“奇怪的函数”y =f (x )={1,x ∈Q 0,x ∈?R Q

，其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数 f (x ) 有如下四个命题其中真命题是：(??)

A. 函数 f (x ) 是偶函数

B. ?x 1,x 2∈?R Q ，f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2) 恒成立

C. 任取一个不为零的有理数 T ，f (x +T )=f (x ) 对任意的 x ∈R 恒成立

的

D. 不存在三个点 A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得 △ABC 为等腰直角三

角形

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 集合M=,,1b a a ??????

，集合N={a 2，a +b ，0},且M=N ，则a 2013+b 2014＝____________. 14.若函数2()1f x ax bx =++是定义在[12]--a, a 上的偶函数，则(2 )=f a -b _________.

15.若函数22,1()4,1x a x f x ax x ?-+≤-=?+>-?

在R 上是单调函数，则a 的取值范围为___________. 16.已知定义在 R + 上的函数 f (x ) 同时满足下列三个条件：① f (3)=?1；②对任意 x,y ∈R + 都有 f (xy )=f (x )+f (y )；③ x >1 时 f (x )<0，则不等式 f (6x )

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)在①A∩B=A ，②A∩(C R B)=A ，③A∩B=? 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：

已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{}2|280B x x x =--≤.

（1）当2a =时，求A ∪B ；

（2）若_______________，求实数a 的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)设命题p :实数x 满足3a x a <<,其中0a >,命题q :实数x 满足1x ≤或2x ≥.

（1）若1a =,且,p q 均为真命题,求实数x 取值范围;

（2）若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.

19.(本小题满分12分) 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限

制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ??+ ???

升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

20.(本小题满分12分) 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数．

（1）求和的值；

（2）求满足不等式(2a ?1)

?1<(a +2)?m 2 的实数a 的取值范围．

21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=

mx+11+x 2是R 上的偶函数． (1)求实数m 的值；

(2)判断并证明函数y =f(x)在(?∞,0]上单调性；

(3)求函数y =f(x)在[?3,2]上的最大值与最小值．

22.(本小题满分12分) 已知二次函数 f (x )=x 2+2ax +2．

（1）若x ∈[1,5] 时，不等式f (x )＞3ax 恒成立，求实数 a 的取值范围．

（2）解关于 x 的不等式 (a +1)x 2+x >f (x )（其中 a ∈R ）．

224()(45)()m

m f x k k x m -+=-+∈Z y (0,)+∞m k

参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13.-1 14. 5 15. 50,3??

???

16. (1,3) 四、解答题

17、（1）2a =时，集合{|17}A x x =<<，{|24}B x x =-≤≤，

A ∪B={x|?2≤x ＜7}………………………………4分

（2）若选择①A∩B=A ，则A B ?，

当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =?，满足题意；

当4a >-时，应满足{a ?1≥?22a +3≤4，解得:?1≤a ≤12； 综上知，实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪[?1,1

2].

若选择②A∩(C R B)=A ，则A 是C R B 的子集，C R B=(-∞,-2)∪(4,+ ∞) 当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =?，满足题意；

当4a >-时，{a >?42a +3≤?2或{a >?4a ?1≥4解得：-4＜a ≤?52或a ≥4 综合得：a 的取值范围是：(-∞, ?5

2]∪[5,+ ∞)

若选择③A∩B=?，则当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =?，满足题意；

当4a >-时，应满足{a >?42a +3≤?2或者{a >?4a ?1≥4解得：-4＜a ≤?52或a ≥5 综上知，实数a 的取值范围是：(-∞, ?5

2] ∪[5,+ ∞)

……………………………………………………………………10分 18、（1）当1a =时,命题p :13x <<

命题,p q 均为真命题,

则1312x x x <

或, 解得23x ≤<

∴命题,p q 均为真命题时,实数x 的取值范围是[2,3).…………………………6分 （2）p 是q 的充分不必要条件,

∴集合{|3}x a x a <<是集合{|1x x ≤或}2x ≥的真子集,

∴2a ≥或31a ≤,

解得:2a ≥或13

a ≤……………………………………12分 ∴当p 是q 的充分不必要条件时,实数a 的取值范围是10,[2,)3???+∞ ???

.

19、解析：(1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×22360x ??+ ??

?＋14×130x ，x ∈[50，100].

所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝

13018x ?＋2130360?x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]) …………………………6分 (2)y ＝13018x ?＋2130360

?x

， 当且仅当

13018x ?＝2130360?x ， 即x ＝

时等号成立.

故当x ＝

千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为

元. ……………………………………………………12分

20.解析：（1）∵幂函数，∴，解得， 又因为幂函数在上是增函数，∴，解得， ∵，∴m =1,或，

当时，，图象关于轴对称，符合题意；

224()(45)m m f x k k x -+=-+2451k k -+=2k =()f x (0,)+∞240m m -+>04m <

当m =1 或 m =3时，，图象关于原点对称，不合题意，

综上，，．………………………………6分

（2）由（1）可得，∴(2a ?1)?1＜(a +2)?1

而函数y =x ?1在和上分别为减函数，且当时，y =x ?1＞0， 当，y =x ?1＜0，

∴满足不等式的条件为或或， 解得或． 故满足不等式(2a ?1)?1＜(a +2)?m 2的的取值范围为．

………………………………………………………………………………12分

21. 解析：(1)若函数f(x)=

mx+11+x 2是R 上的偶函数，则f(?x)=f(x)， 即m(?x)+11+(?x)=mx+11+x ，对任意实数x 恒成立，解得m =0．……………………2分

(2)由(1)得：f(x)=11+x 2，

函数f(x)=11+x 2在(?∞,0]上为增函数，下证明：

设任意x 1，x 2∈(?∞,0]且x 10

则f(x 2)?f(x 1)=11+x 22?11+x 12=x 12?x 22(1+x 12)(1+x 22)=?(x 2?x 1)(x 2+x 1)(1+x 12)(1+x 22)

∵x 1，x 2∈(?∞,0]且x 2?x 1>0，

∴?(x 2?x 1)(x 2+x 1)

(1+x 12)(1+x 22)>0，即f(x 2)?f(x 1)>0，

于是函数y =f(x)在(?∞,0]上为增函数．………………………………………………7分

(3)由(2)知，函数y =f(x)在(?∞,0]上为增函数，

又f(x)是偶函数，则y =f(x)在[0,+∞)上为减函数，

又f(?3)=110，f(0)=1，f(2)=15，

所以f(x)的最大值为1，最小值为110．……………………………………12分

22.(1) 不等式f (x )＞3ax 即为：x 2+2ax+2>3ax,

方法一；当x ∈[1,5] 时，可变形为：a 0x <0221a a <+<-2210a a +<-<2102a a -<<+122

a -<<3a >a 1

(2,)(3,)2-+∞

∵x +2x ≥2√x ·2x ＝2√2,当x=√2时取等号，√2∈[1,5] ∴(x +2x )min =2√2

∴a ＜2√2……………………………………………………5分 方法二：分类讨论函数y=x 2-ax+2的最小值，f(x)min ＞0(略)

（2） 不等式 (a +1)x 2+x >f (x )，

即 (a +1)x 2+x >x 2+2ax +2，

等价于 (a +1)x 2+x ?2ax ?x 2?2>0，

即 ax 2+(1?2a )x ?2>0，

所以 (x ?2)(ax +1)>0，……………………………………6分 ①当 a =0 时，不等式 x ?2>0，

即 x >2，

②当 a >0 时，

因为 ?1a <0

所以不等式 (x ?2)(ax +1)>0 的解集为 x 2， ③当 ?12

因为 ?1a >2， 所以不等式 (x ?2)(ax +1)>0 的解集为 2

因为 ?1a =2， 所以不等式 (x ?2)(ax +1)>0 的解集为 ?，

⑤当 a

因为 ?1a <2，

所以不等式 (x ?2)(ax +1)>0 的解集为：?1a

综上不等式的解集为 { (?1a ,2),

a ∈[?∞,?12]?,a =?12(2,?1a ),a ∈(?12,0)(2,+∞),a =0(?∞,?1a

)∪(2,+∞),a ∈(0,+∞)．

………………………………………………12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8g9e.html