2014高中数学文科考点荟萃

高中数学考点荟萃

——献给2014年高三(文科)考生

一.集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如： {x|y lgx}—函数的定义域； {y|y lgx}—函数的值域；

{(x,y)|y lgx}—函数图象上的点集. 2.集合的性质：

①任何一个集合A是它本身的子集,记为A A. ②空集是任何集合的子集,记为 A.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B,在讨论的时候不要遗忘了A 的情况 如：A {x|ax 2x 1 0},如果A R ,求a的取值.(答：a 0) ④CU(A B) CUA CUB,CU(A B) CUA CUB；； （A B） C A （B C） . （A B） C A （B C）

⑤A B A A B B A B CUB CUA A CUB CUA B R. ⑥A B元素的个数：card(A B) cardA cardB card(A B).

⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n 1；非空真子集个数为2n 2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数f(x) 4x 2(p 2)x 2p p 1在区间[ 1,1]上至少存在一个实数c,使 f(c) 0,求实数p的取值范围.(答：( 3,))

23

2

2

2

4.原命题: p q；逆命题: q p；否命题: p q；逆否命题: q p；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sin sin ”是“ ”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p q且q p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).

6.注意命题p q的否定与它的否命题的区别: 命题p q的否定是p q；否命题是

；“p且q”的否定是“ p或 q”. p q.命题“p或q”的否定是“ p且 q”

如：“若a和b都是偶数，则a b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a b是奇数”

否定是“若a和b都是偶数,则a b是奇数”. 7.常见结论的否定形式

二.函数

1.①映射f:A B是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集 B).

②一一映射f:A B： ⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.

2.函数f: A B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:

使函数解析式有意义(如:分母 0; 偶次根式被开方数非负;

对数真数 0,底数 0且 1； 零指数幂的底数 0)； 实际问题有意义；

若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a g(x) b解出； 若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x [a,b]时g(x)的值域. 5.求值域常用方法:

①配方法(二次函数类)； ②逆求法(反函数法)；

③换元法(特别注意新元的范围).

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法 ⑥单调性法；

⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：

⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法：

⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；

⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；

⑵若f(x)是偶函数,那么f(x) f( x) f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0) 0)； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) f( x) 0或

f( x)f(x)

1(f(x) 0)；

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如f(x) 0定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数y log1( x2 2x)的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))

2

8.函数图象的几种常见变换

⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言). ⑵翻折变换：f(x) |f(x)|；f(x) f(|x|). ⑶对称变换：

①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②证明图像C1与C2的对称性,即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上,反之亦然.

③函数y f(x)与y f( x)的图像关于直线x 0(y轴)对称；函数y f(x)与函数 y f( x)的图像关于直线y 0(x轴)对称；

④若函数y f(x)对x R时，f(a x) f(a x)或f(x) f(2a x)恒成立,则y f(x)图像关于直线x a对称；

⑤若y f(x)对x R时,f(a x) f(b x)恒成立,则y f(x)图像关于直线x 称；

⑥函数y f(a x),y f(b x)的图像关于直线x

b a2

a b2

对

对称(由a x b x确定)；

对称；

f(x) A f(x)

2

⑦函数y f(x a)与y f(b x)的图像关于直线x ⑧函数y f(x),y A f(x)的图像关于直线y

A2

a b2

对称(由y 确定)；

⑨函数y f(x)与y f( x)的图像关于原点成中心对称；函数

y f(x),y n f(m x)的图像关于点(,)对称；

22

mn

⑩函数y f(x)与函数y f(x)的图像关于直线y x对称；曲线C1：f(x,y) 0,关于 y x a,y x a的对称曲线C2的方程为f(y a,x a) 0(或f( y a, x a) 0； 曲线C1：f(x,y) 0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a x,2b y) 0. 9.函数的周期性：

⑴若y f(x)对x R时f(x a) f(x a)恒成立,则 f(x)的周期为2|a|； ⑵若y f(x)是偶函数,其图像又关于直线x a对称,则f(x)的周期为2|a|； ⑶若y f(x)奇函数,其图像又关于直线x a对称,则f(x)的周期为4|a|；

⑷若y f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|a b|；

⑸y f(x)的图象关于直线x a,x b(a b)对称,则函数y f(x)的周期为2|a b|； ⑹y f(x)对x R时,f(x a) f(x)或f(x a) 10.对数：

⑴logab loganbn(a 0,a 1,b 0,n R )； ⑵对数恒等式alogaN N(a 0,a 1,N 0)； ⑶loga(M N) logaM logaN;loga

MN

1f(x)

1

,则y f(x)的周期为2|a|；

logaM logaN;logaMn nlogaM；

loga logaM；

n

1

⑷对数换底公式logaN

logbNlogba

(a 0,a 1,b 0,b 1)；

推论：logab logbc logca 1 loga1a2 loga2a3 logan 1an loga1an.

(以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2, an 0且a1,a2, an均不等于1) 11.方程k f(x)有解 k D(D为f(x)的值域)；a f(x)恒成立 a [f(x)]最大值, a f(x)恒成立 a [f(x)]最小值.

12.恒成立问题的处理方法： ⑴分离参数法(最值法)；

⑵转化为一元二次方程根的分布问题； (3)函数方法；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 14.二次函数解析式的三种形式：

①一般式：f(x) ax2 bx c(a 0)；

②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)；

③零点式：f(x) a(x x1)(x x2)(a 0).

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.复合函数：

⑴复合函数定义域求法：若f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式

a g(x) b解出；若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x [a,b]时,求g(x)的值域；

⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17.对于反函数,应掌握以下一些结论：（知道即可） ⑴定义域上的单调函数必有反函数； ⑵奇函数的反函数也是奇函数；

⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数； ⑷周期函数不存在反函数；

⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；

⑹y f(x)与y f 1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有

f[f 1(x)] x(x B),f 1[f(x)] x(x A).

18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：（端点法）

f(a) 0 f(a) 0

f(u) g(x)u h(x) 0(或 0)(a u b) (或 )；

f(b) 0f(b) 0

19.函数y ax b(c 0,ad bc)的图像是双曲线：

cx d

①两渐近线分别直线x d(由分母为零确定)和直线y a(由分子、分母中x的系数确定)；

c

c

②对称中心是点( d,a)； ③反函数为y

b

cc

b dx； cx a

20.函数y ax (a 0,b

0)：增区间为( ,x

),

减区间为[ .

如：已知函数f(x)

ax 1x 2

在区间( 2, )上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：

(, )).

2

1

三.数列

S1(n 1)

1.由Sn求an,an 注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要 *

S S(n 2,n N) n 1 n

54(n 1)

单独列出.如：数列{an}满足a1 4,Sn Sn 1 an 1，求an(答：an ).

3 4n 1(n 2)3

2.等差数列

{an} an an 1 d(d为常数) 2an an 1 an 1(n 2,n N*) an an b(a d,b a1 d) Sn An2 Bn(A ,B a1 )；

2

2

d

d

3.等差数列的性质： ①an am (n m)d,d

am anm n

；

②m n l k am an al ak(反之不一定成立)；特别地,当m n 2p时,有

am an 2ap；

③若{an}、{bn}是等差数列,则{kan tbn}(k、t是非零常数)是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sm,S2m Sm,S3m S2m, 仍是等差数列； ⑤等差数列{an},当项数为2n时,S偶 S奇 nd,S奇 an；项数为2n 1时,

S偶

an 1

S偶 S奇 a中 an(n N*),S2n 1 (2n 1)an,且S奇 n；An f(n) an f(2n 1).

S偶

n 1

Bn

bn

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式

an 0 an 0 (或 ).也可用Sn An2 Bn的二次函数关系来分析.

an 1 0 an 1 0

⑦若an m,am n(m n),则am n 0；若Sn m,Sm n(m n),则Sm n (m n)； 若Sm Sn(m n),则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；Sm n Sm Sn mnd. 4.等比数列{an} 5.等比数列的性质 ①an

amq

n m

an 1an

2

q(q 0) an an 1an 1(n 2,n N*) an a1qn 1.

,q n

②若{an}、{bn}是等比数列，则{kan}、{anbn}等也是等比数列；

na1(q 1) na1(q 1)

③Sn a(1 qn)a aq； a1na1

1n1

q (q 1) (q 1) 1 q 1 q1 q1 q

④m n l k aman alak(反之不一定成立)；Sm n Sm qmSn Sn qnSm. ⑤等比数列中Sm,S2m Sm,S3m S2m, (注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列{an}当项数为2n时,

S偶S奇

q；项数为2n 1时,

S奇 a1S偶

q.

6.①如果数列{an}是等差数列,则数列{Aan}(Aan总有意义)是等比数列；如果数列{an}是等比数

列,

则数列{loga|an|}(a 0,a 1)是等差数列；

②若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；

如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a d,a,a d；四个数成等差的设法：a 3d,a d,a d,a 3d； 三个数成等比的设法：,a,aq；四个数成等比的错误设法：

qa

aq

,,aq,aq3(为什么？) q

a

7.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

S1,(n 1)

⑵已知Sn(即a1 a2 an f(n))求an用作差法：an .

S S,(n 2)n 1 n

S1,(n 1)a ⑶由Sn和an的关系式求an：n

S S,(n 2)n 1 n

(4)已知数列递推式求an

i、累加法、若an 1 an f(n)求an用迭加法.

ii、累乘法。已知

an 1

an

f(n),求an用迭乘法.

f(1),(n 1)

注意已知a1 a2 an f(n)求an用作商法：an f(n),(n 2).

f(n 1)

iii、构造法(构造等差、等比数列)： ①形如an kan 1 b,an kan 1 bn,

an kan 1 a n b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an.

②形如an

an 1kan 1 b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

iv、二阶递推公式（略） 8.数列求和的方法：

①公式法：等差数列,等比数列求和公式； ②分组求和法； ③倒序相加； ④错位相减； ⑤分裂通项法.

公式：1 2 3 n n(n 1)；

21

12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)；

6

1

13 23 33 n3 [

1n(n 1)

1n k

1

n(n 1)21

]2；

1 3 5 n n2；

常见裂项公式

1n(n k)

1n(n 1)(n 1)

n

1n 1

；

(

kn

1

11

)；

1(n 1)(n 2)

[

2n(n 1)

]；

2

常见放缩公式：1

2 .

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题：

①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利 率为r,则n期后本利和为：Sn p(1 r) p(1 2r) p(1 nr) p(n

n(n 1)2

； r)(等差数列问题）

②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额

还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：p(1 r)n x(1 r)n 1 x(1 r)n 2 x(1 r) x(等比数列问题). 四.三角函数

1. 终边与 终边相同 2k (k Z)；

终边与 终边共线 k (k Z)；

终边与 终边关于x轴对称 k (k Z)；

终边与 终边关于y轴对称 2k (k Z)； 终边与 终边关于原点对称 2k (k Z)；

终边与 终边关于角 终边对称 2 2k (k Z).

2.弧长公式：l | |r；扇形面积公式：S扇形 1lr 1| |r2；1弧度(1rad)≈57.3 .

2

2

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“

一全二正弦,三切四余弦”. 注意： tan15 cot

75 2；tan75 cot15 2 4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹

sinx cosx、sinx cosx”的关系.

如(sinx cosx)2 1 2sinxcosx等.

5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视) ．．． ．为锐角．．．．

1

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

sin cos

sin

cos

如： ( ) ；2 ( ) ( )；2 ( ) ( )； 2

2

2

2

2

；

( ) ( )等；“1”的变换：1 sin2x cos2x tanx

cotx 2sin30 tan45 ； 7.重要结论：asinx bcosx x )其中tan 重要公式sin2 1 cos2 ；cos2

2

ba

）；

1

cos2

2

；tan

2

sin 1 cos

1 cos sin

；

|cos sin|.

2

2

万能公式：sin2

2tan 1 tan

；cos2

1 tan 1 tan k

2

2

；tan2

2tan 1 tan

.

k

8.正弦型曲线y Asin( x )的对称轴x

k

(k Z)；对称中心(

2

,0)(k Z)；

k

余弦型曲线y Acos( x )的对称轴x

(k Z)；对称中心(

,0)(k Z)；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180 ,一般用正、余弦定理实施边角互化； 正弦定理：

asinA

2

2

bsinB

2

csinC

2R；

b c a

2bc

2

2

2

余弦定理：a b c 2bccosA,cosA

(b c) a

2bc

22

1；

正弦平方差公式：sin2A sin2B sin(A B)sin(A B)； 三角形的内切圆半径r

1

2S ABCa b c

abc

4R

； ；

面积公式：S absinC

2

射影定理：a bcosC ccosB. 10. ABC中,易得：A B C ,

①sinA sin(B C),cosA cos(B C),tanA tan(B C).

②sin

A2

cos

B C2

,cos

A2

sin

2

B C2

,tan

A2

cot

B C2

.

③a b A B sinA sinB ④锐角 ABC中,A B

,sinA cosB,cosA cosB,a2 b2 c2,类比得钝角 ABC结论.

⑤tanA tanB tanC tanAtanBtanC.

11.角的范围：异面直线所成角(0,]；直线与平面所成角[0,]；二面角和两向量的夹角[0, ]；

2

2

直线的倾斜角[0, )；l1到l2的角[0, )；l1与l2的夹角(0,].注意术语:坡度、仰角、俯角、方位

2

角等.

五.平面向量

1.设a (x1,y1),b (x2,y2).

(1)a//b x1y2 x2y1 0；

(2)a b a b 0 x1x2 y1y2 0.

2.平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向

量a,有且只有一对实数 1、 2,使a 1e1 2e2.

3.设a (x1,y1),b (x2,y2),则a b |a||b|cos x1x2 y1y2；其几何意义是a b等于a的长度

a b 与b在a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影|a|cos |b|

AB

4.三点A、B、C共线 AB与AC共线；与AB共线的单位向量 .

|AB|

a b

5.平面向量数量积性质：设a (x1,y1),b (x2,y2),

则cos

|a||b| 注意: a,b 为锐角 a b 0,a,b不同向； a,b 为直角 a b 0； a,b 为钝角

a b 0,a,b不反向.

0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b|6.a b同向或有；a b反向或有0

|a b| |a| |b| |a| |b| |a b|；a b不共线 |a| |b| |a b| |a| |b|.

7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若a (x1,y1),b (x2,y2),则a b x1x2 y1y2；

2 |AB| ⑵若a (x,y),则a a a x2 y2.

8.熟记平移公式和定比分点公式.

①当点P在线段P1P2上时, 0；当点P在线段P1P2(或P2P1)延长线上时, 1或 1 0.

PP2；且P②分点坐标公式：若PP11(x1,y1),P(x,y)P2(x2,y2)； x1 x2x1 x2

x x 1 2

( 1)( 1). 则, 中点坐标公式：

y y1 y2 y y1 y2

1 2

③P1,P,P2三点共线 存在实数 、 使得OP OP1 OP2且 1.

9.三角形中向量性质：

ABACABAC

①AB AC过BC边的中点：( ) ( )；

|AB|

|AC|

|AB|

|AC|

1

②PG (PA PB PC) GA GB GC 0 G为 ABC的重心；

3

③PA PB PB PC PA PC P为 ABC的垂心；

ABAC

④|BC|PA |CA|PB |AB|PC 0 P为 ABC的内心； ( )( 0)所在直线过

|AB|

|AC|

ABC内心.

⑤设A(x1,y1),B(x2,y2),S AOB

12

xAyB

xByA

1 S ABC |AB||AC|sinA2

⑥O为 ABC内一点,则S BOCOA S AOCOB S AOBOC 0.

x x h

10.P(x,y) (PP a)； P(x,y),有

y y k

按a (h,k)平移

y f(x) y k f(x h). 六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

按a (h,k)平移

①若ab 0,b a,则

1a

.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.

b

1

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.

2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 3.掌握重要不等式,

(1)均值不等式：若a,b 0,

a b 21 1ab

2

(当且仅当a b时取等号)使用条

件：“一正二定三相等 ”

(2)a,b,c R，a2 b2 c2 ab bc ca(当且仅当a b c时,取等号)； (3)公式注意变形如：

a b2

2

2

(

a b2

)2,ab (

a b2

)2；

(4)若a b 0,m 0,则

a

bb ma m

(真分数的性质)；

4.含绝对值不等式：

a,b同号或有0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b|；

a,b异号或有0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.

5.证明不等式常用方法：

⑴比较法：作差比较：A B 0 A B.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小； ⑵综合法：由因导果；

⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；

⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项,

|a|； n. ②将分子或分母放大(或缩小)

③利用基本不等式,

④利用常用结论：

11(k 1)k

1k

n (n 1)

2

.

1

0 20

k1

1k 1

11

；

1k 1

1

(k 1)k

(程度大)；

k

1

30

1k

1k 1

(

1

2k 1

1k 1

)(程度小)；

⑹换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元代数换元.如：知x2 y2 a2,可设x acos ,y asin ；知x2 y2 1,可设x rcos ,y rsin (0 r 1)；知

xa

22

yb

22

co s y, 1,可设x ab s；i已知

xa

22

yb

22

1,可设

x ase c y,b t. a

⑺最值法,如：a f(x)最大值,则a f(x)恒成立.a f(x)最小值,则a f七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角 的范围是[0, ）；

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系k tan ( )(如右图)：

2

3.直线方程五种形式： ⑴点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y y0 k(x0轴的直线. ⑵斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y kx b,它不包括垂直于x轴的直线.

⑶两点式：已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,则直线方程为直于坐标轴的直线.

⑷截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为

ax

yb

y y1y2 y1

x x1x2 x1

,它不包括垂

1,它不包括垂直于坐

标

轴的直线和过原点的直线.

⑸一般式：任何直线均可写成Ax By C 0(A,B不同时为0)的形式.

提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点.

⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线l1:A1x B1y C1 0与直线l2:A2x B2y C2 0的位置关系： ⑴平行 A1B2 A2B1 0(斜率)且B1C2 B2C1 0(在y轴上截距)； ⑵相交 A1B2 A2B1 0；

(3)重合 A1B2 A2B1 0且B1C2 B2C1 0. 5.直线系方程：

①过两直线l1：A1x B1y C1 0,l2：A2x B2y C2 0.交点的直线系方程可设为

A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0；

②与直线l:Ax By C 0平行的直线系方程可设为Ax By m 0(m c)；

③与直线l:Ax By C 0垂直的直线系方程可设为Bx Ay n 0. 6.到角和夹角公式：（文科不作要求） 7.点P(x0,y0)到直线Ax By C

0的距离公式d；

.

两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2

0的距离是d

x x2 x3y1 y2 y3

8.设三角形 ABC三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G(1,)；

33

9.有关对称的一些结论

⑴点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y x的对称点分别是(a, b),( a,b),( a, b),(b,a). ⑵曲线f(x,y) 0关于下列点和直线对称的曲线方程为： ①点(a,b)：f(2a x,2b y) 0； ②x轴：f(x, y) 0； ③y轴：f( x,y) 0； ④原点：f( x, y) 0； ⑤直线y x： f(y,x) 0； ⑥直线y x：f( y, x) 0； ⑦直线x a：f(2a x,y) 0.

10.⑴圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r2.

⑵圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0).

特别提醒：只有当D2 E2 4F 0时,方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为( (二元二次方程

D2

, ),

2

E

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆 A C 0,

且B 0,D2 E2 4AF 0).

x a rcos ⑶圆的参数方程： ( 为参数),其中圆心为(a,b),半径为r.圆的参数方程主要应

y b rsin

用是三角换元：x2 y2 r2 x rcos ,y rsin ；

x2 y2 t2 x rcos ,y rsin (0 r .

⑷以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0；

11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点P(x0,y0)及圆的方程

(x a)2 (y b)2 r2.

①(x0 a)2 (y0 b)2 r2 点P在圆外； ②(x0 a)2 (y0 b)2 r2 点P在圆内； ③(x0 a)2 (y0 b)2 r2 点P在圆上.

12.圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2 y2 r2上,则过点P的切线方程为：x0x y0y r2； 过圆(x a)2 (y b)2 r2上一点P(x0,y0)切线方程为(x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2. 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线.

14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.①d r 相离 ②d r 相切 ③d r 相交

15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d, 两圆的半径分别为r,R： |R r| d R r d R r 两圆相离；d R r 两圆相外切；两

圆相交；d |R r| 两圆相内切； d |R r| 两圆内含；d 0 两圆同心.

16.过圆C1：x2 y2 D1x E1y F1 0,C2：x2 y2 D2x E2y F2 0交点的圆(相交弦)系方程

为(x2 y2 D1x E1y F1) (x2 y2 D2x E2y F2) 0. 1时为两圆相交弦所在直线方程.

17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成

直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理（是什么？？？）等等).

18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标

函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程

1.抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y2 2px(p 0)上任意一点,F为焦点,则 |PF| x0

p2

；y2 2px(p 0)上任意一点,F为焦点，则|PF| x0

b

p2

.

x2y2

2.共渐近线y x的双曲线标准方程为2 2 ( 为参数, 0).

aab

3.两个常见的曲线系方程：

⑴过曲线f1(x,y) 0,f2(x,y) 0的交点的曲线系方程是f1(x,y) f2(x,y) 0( 为参数). x2y2

⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2 2 1,其中k max{a2,b2}.当k min{a2,b2}时,

a kb k

22

表示椭圆；当min{a,b} k max{a2,b2}时,表示双曲线. 4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

或AB

x1 x2|] y1 y2|(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2), y kxc b2

由方程 消去y得到ax bx c 0, 0,k为斜率). 这里体现了解几中“设而不

F(x,y) 0

求”的思想；

5.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为

2ba

2

,焦准距为p

b

2

c

,抛物线的通径为2p,焦准距为p；

x2y2

双曲线2 2 1(a 0,b 0)的焦点到渐近线的距离为b；

ab

6.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2 By2 1(对于椭圆A 0,B 0)；

7.抛物线y 2px(p 0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论： ⑴|AB| x1 x2 p；⑵x1x2

p

2

2

4

,y1y2 p2； ⑶

|AF|

|BF|

112p

.

x2y2

8.椭圆2 2 1(a b 0)左焦点弦|AB| 2a e(x1 x2),右焦点弦|AB| 2a e(x1 x2).

ab

2y02

,y0),以简化计算. 9.对于y 2px(p 0)抛物线上的点的坐标可设为(2px2y2

10.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆2 2 1

ab

b2x0x2y2

中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k 2；在双曲线2 2 1中,以P(x0,y0)为中点

ay0ab

b2x0

的弦所在直线斜率k 2；在抛物线y2 2px(p 0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率

ay0

k

py0

.

11.椭圆与双曲线的焦点弦公式 12.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y) 0,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.

⑶代入法(相关点法或转移法).

⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑

将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 13.解析几何与向量综合的有关结论：

n

⑴给出直线的方向向量u (1,k)或u (m,n).等于已知直线的斜率k或；

m

⑵给出 与AB相交,等于已知 过AB的中点；

⑶给出 0,等于已知P是MN的中点;

⑷给出AP AQ (BP BQ),等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

⑸给出以下情形之一： ①//； ②存在实数 ,使AB AC； ③若存在实数 , ,

且 1；使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线.

OA OB

⑹给出OP ,等于已知P是AB的定比分点, 为定比,即AP PB

1

⑺给出 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出 m 0,等于已 知 AMB是钝角或反向共线,给出 m 0,等于已知 AMB是锐角或同向共线.

MAMB

) MP,等于已知MP是 AMB的平分线. ⑻给出 ( |MA|

|MB|

⑼在平行四边形ABCD中,给出(AB AD) (AB AD) 0,等于已知ABCD是菱形.

⑽在平行四边形ABCD中,给出|AB AD| |AB AD|,等于已知ABCD是矩形.

⑾在 ABC中,给出 ，等于已知O是 ABC的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿在 ABC中,给出OA OB OC 0，等于已知O是 ABC的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点).

⒀在 ABC中,给出OA OB OB OC OC OA，等于已知O是 ABC的垂心 (三角形的垂心是三角形三条高的交点).

ABAC

⒁在 ABC中,给出 ( )( R)等于已知通过 ABC的内心.

|AB|

|AC|

2

2

2

⒂在 ABC中,给出a OA b OB c OC 0,等于已知O是 ABC的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

1

⒃在 ABC中,给出AD (AB AC),等于已知AD是 ABC中BC边的中线.

2

九.直线、平面、简单几何体

1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC.若 AOB AOC,则点A在平面BOC上的射影在 BOC的平分线上； 2.空间距离的求法：

(1)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. (2)求点到平面的距离,

一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键； 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 3.三视图

4.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ,则S侧cos S底. 5.正四面体(设棱长为a)的性质：

①全面积S

2；②体积V

内切球半径r

12

12

a3；③对棱间的距离d

2

；④外接球半径R

3

4

a；⑤

；⑥正四面体内任一点到各面距离之和为定值h a.

6.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).

在直角四面体O ABC中,OA,OB,OC两两垂直,令OA a,OB b,OC c,则 ⑴底面三角形ABC为锐角三角形；

⑵直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心； ⑶S BOC S BHC S ABC；

⑷S AOB S BOC S COA S ABC； ⑸

1OH

2

2222

1a

1b

1c

；

.

⑹外接球半径

R=R

7.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 , , 因此有

cos2 cos2 cos2 1或sin2 sin2 sin2 2；

若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 , , ,

则有sin2 sin2 sin2 1或cos2 cos2 cos2 2. 8.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

9.球的体积公式V R3,表面积公式S 4 R2；掌握球面上两点A、B间的距离求法：

34

⑴计算线段AB的长；⑵计算球心角 AOB的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB的长. 10.判断几何体外接球的方法 (1)三角形 (2)长方体一角 十.概率与统计

1.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵系统抽样,也叫等距 抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点

都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从

含有N个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取n个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为

nN

1N

,第二次被抽到的概率为

1N

,…,故每个个体被抽到的概率为

nN

,即每个个体入样的概率为

.

2.用样本估计总体

① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，

理解它们各自的特点.

② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.

④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.

⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.

⑥学会用样本平均数 (x1 x2 xn)

n1n1

1ni 1

xi去估计总体平均数；

1

n

n

⑦会用样本方差S2 [(x1 )2 (x2 )2 (xn )2] (xi )2

ni 1

2

1

ni 1

22

(xi )去

n

估计总体方差 及总体标准差； 3.变量的相关性

① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.

② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）. 4．概率

(1)事件与概率

① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型

① 理解古典概型及其概率计算公式.

② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型

①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. ②了解几何概型的意义. 十一.导数

1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y

x x0

f (x0) lim

f(x0 x) f(x0)

x

x 0

.

2.函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义是指：曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率, 即曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f (x0),切线方程为

y f(x0) f (x0)(x x0).

3.常见函数的导数公式:C 0(C为常数)； (xn) nxn 1(n Q).(sinx) cosx；(cosx) sinx； (ax) axlna；(ex) ex；(logax) 1logae.(lnx)

x

1x

uv

u v uv v

4.导数的四则运算法则：(u v) u v ；(uv) u v uv ；()

.

5.复合函数的导数：y x yu ux. 6.导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y f(x)在某个区间内可导,如果f (x) 0,那么f(x)为增

函数；如果f (x) 0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f (x) 0,那么f(x)为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数f (x)；②求方程f (x) 0的根；③检验f (x)在方程 f (x) 0根的左右的符号，如果左正右负,那么函数y f(x)在这个根处取得最大值；如果左负

右正,那么函数y f(x)在这个根处取得最小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y f(x)在(a,b)内的极值；②将y f(x)在各极值点

点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

十二.复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.

2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴a bi c di a c且c d(a,b,c,d R)；⑵复数是 实数的条件：①z a bi R b 0(a,b R)；②z R z z；③z R z2 0. 3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi是纯虚数 a 0且b 0(a,b R)； ②z是纯虚数 z z 0(z 0)；③z是纯虚数 z2 0.

4.⑴复数的代数形式：z a bi；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设z1 a bi, z2 c di(a,b,c,d R)

z1ac bdbc ad 2 2i(z2 0). 22z2c dc d

1 i1 i

,则

z1 z2 (a c) (b d)i,z1z2 (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i,

5.注意以下结论：⑴(1 i)2 2i；⑵ ⑷|z| 1 zz 1

1z

i,

1 i1 i

i；⑶in in 1 in 2 in 3 0(n N)；

.

十三.统计案例、算法 十四.答题技巧

1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.

⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌，

影响下面做题的情绪.

⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考.

⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.

2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化.

⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括

号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.

⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论. ⑷任何结果要最简.

如

42

112

2

等.

⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.

⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).

⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.

⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状.

②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x或y的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线. 3.考前寄语：

①先易后难,先熟后生；

②一慢一快：审题要慢,做题要快；

③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做； ④我易人易我不大意,我难人难我不畏难； ⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；

⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；

⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8g91.html