北航机械优化大作业

现代机械优化设计

授课老师： 王春洁

2014-12-17

北京航空航天大学 现代机械优化设计

目录

第一部分

一、 一维优化方法 .................................................................................................................. 2 1. 进退法 ............................................................................................................................... 2 2. 格点法 ............................................................................................................................... 2 3. 牛顿法 ............................................................................................................................... 2 4. 二次插值 ........................................................................................................................... 3 应用原则： ............................................................................................................................ 4 二、 多维无约束优化 .............................................................................................................. 4 1. 梯度法 ............................................................................................................................... 4 2. 二阶牛顿法与阻尼牛顿法 ............................................................................................... 5 3. DFP变尺度法 ..................................................................................................................... 6 4. 单纯形法 ........................................................................................................................... 6 三、 多维约束优化 .................................................................................................................. 6 1. 随机方向搜索法 ............................................................................................................... 8 2. 可行方向法 ....................................................................................................................... 8 3. 惩罚函数法 ....................................................................................................................... 8

第二部分

一、 采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 ................................................ 10 1.1 问题的描述 ................................................................................................................... 11 1.2 多维约束优化 ............................................................................................................... 14 总结与致谢 .............................................................................................................................. 18 参考文献 .................................................................................................................................. 19

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北京航空航天大学 现代机械优化设计

第一部分

本部分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。

一、 一维优化方法

1. 进退法

由单峰函数的性质可知，在极小点xm左边函数值应严格下降，而在极小值右边函数值应严格上升。因此，可从某一个给定的初始点x0出发，以初始步长h0沿着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“高---低---高”变化为止。 2. 格点法

格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把搜索区间等分成n个点x1,x2,…,xn，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标

xm，之后，在xm两侧取临点xm?1,xm?1，作为新的区间并判断xm?1?xm?1?eps是否成立，倘若成立，则xm就是最优解，对应的函数值ym即为最优值；若不成立则以[xm?1xm?1]为新区间重复以上过程直到满足条件为止。 3. 牛顿法

牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。当目标函数f(x)有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线y?f'(x)上作一系列切线，使之与x轴的脚垫x(0),x(1),x(2),x(3)......逐渐趋于f'(x)?0的根x*。

对于一维搜索函数y?f(?)，假定已经给出极小点的一个较好的近似点?0，在?0点附近用一个二次函数?(?)来逼近函数f(?)：

12f?????????f??0??f???0?????0??f????0?????0?

2然后以该二次函数?(?)的极小点作f(?)极小点的一个新的近似点?1。根据极值必要条件：

??????0 即：

f???0??f????0?????0??0

可得：

f???0? ?1??0?f????0?依次继续下去可得到牛顿迭代公式：

f???k??k?1??k?f????k?其具体计算步骤概括为：

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k?0,1,2,...

北京航空航天大学 现代机械优化设计 1) 给定初始点?0，控制误差?，并令k?0; 2) 计算f'(?k)，f''(?k)； 3) 根据牛顿迭代公式求?k?1；

4) 若ak?1?ak??则求得近似解a*?ak?1，停止计算，否则转到5）； 5) 令k?k?1转到1）。 4. 二次插值

二次插值是多项式逼近法的一种。所谓多项式逼近，是利用目标函数在若干点的信息(函数值，导数值等)，构成一个与目标函数值很接近的低次插值多项式，然后利用该多项式的最优解作为函数的近似最优解，随着区间的逐次缩短，多项式函数的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐减小，直到满足一定的精度要求时迭代终止。

设原目标函数在x1?x2?x3的三个点对应的函数值f(x1)?f(x2)?f(x3)则可作出如下多项式：

P(x)?a0?a1x?a2x2 多项式P(x)的极值点可从极值的必要条件求得：

P'(xp)?a1?2a2x?0 即：

xp??a1 2a2又由于：

P?x1??a0?a1x2?a2x22?f?x1? P?x2??a0?a1x2?a2x22?f?x2? P?x3??a0?a1x3?a2x32?f?x3?

根据以上各式可知：

c1?1?xp??x1?x3??

2?c2?式中：

c1?f?x3??f?x1?

x3?x1f?x2??f?x1??c1x2?x1 c2?x2?x3以上是插值法的公式推导过程，根据其基本思想概括其迭代过程如下： 1) 确定初始搜索区间，定出初始插值结点； 2) 利用式与计算xp与f(xp)；

3) 终止条件判断

? 当|x2?xp|??时，如果f(xm)?f(x2)，则xm为所求的极小点；如果

f(xm)?f(x2)，则x2为所求的极小点；

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北京航空航天大学 现代机械优化设计 ? 当|x2?xp|??时，则需比较f(xm),f(x2)的大小，以便在x1,x2,xm,x3中丢

掉x1或x3，得到新的三点，然后再转2)。

应用原则：

一维优化算法是求一维目标函数的最优点和最优值。求单变量的极值问题，但是在很多时候函数的求导很困难，甚至根本不可导，而且计算机不擅长求导，求导是用其他算法实现的，计算量大，需要的时间长。所以在优化过程中一般不采用解析法而采取直接探索法求最优点。这种求优方法称为一维优化方法。

求解一维的最小值一般分为两步。第一步是确定函数值最小值所在的区间[a,b]，称为搜索区间；第二步是在该区间内求出最优步长因子或最优值。

确定搜索区间的方法：进退法、外推法。一维最优化算法分有格点法、二次插值法、三次插值法等。格点法结构和程序很简单，但效率偏低；二次插值法和三次插值法的搜索效率较高，收敛速度较快，调用函数次数少。三次插值法的效率比二次插值法更高，在同样搜索次数下，其精度更高，但程序复杂，可靠性差些，对高维数的优化问题更适宜，经过某些技术处理，方法的可靠度可以大为提高。

二、 多维无约束优化

1. 梯度法

函数的梯度方向是函数值增加最快的方向，则负梯度方向必然是函数值下降最快的方向，所以在优化中采取负梯度矢量作为一维搜索的方向，成为最速下降法，也叫一阶梯度法。（此法属于解析法，既间接求优法）

梯度法的迭代过程简单，对初始点的选择，要求不高。梯度方向目标函数值下降迅速只是个局部性质，从整体来看，不一定是收敛最快的方向。以二维二次函数为例，相邻两次的搜索方向是正交的，所以搜索路径是曲折的锯齿形的；对于高维的非线性函数，接近极值点处，容易陷入稳定的锯齿形搜索路径。 目标函数在点x?k?的梯度为：

?f?x??k??k??k??k???f?f?fx x......x?????x2?xnx1?????k????k??k????? ??? T搜索方向为梯度方向：

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