总体估计方差的计算

总体估计方差的计算法国地质采矿研究局.

克劳德等

摘要

、

本文介绍了由法国地质末扩研究局,

开创的一种自动计算,

总体估计方差的方法了比较。

以

及这种方法的应用举例

并与传统计算方法进行

引“”,

言

若数据分布得比较规整均匀比较简单;

,

则计算,

但若数据不是均匀分布的。。

则,

地质统计学有助于计算储量的精确这是地质统计学者们对估计矿床储量。

用人工计算是十分繁琐的

只能用近似方法。

度

来简化影响范围以使计算简单化遗憾的是在实际中数据通常分布是不均匀的例如,

的传统说法

如果数据量大必须分两步进行·

,

则矿床储量的总体估计

矿床在地表打钻孔取样钻孔取样了。

,

同时又在坑道打

:

,

这样

,

数据分布就不可能均勺不少作者都介绍了基于用〔“、

先用克里格法估计盘块 (二维 )或块段(三维 )的品位,

即局部估计;

有一段时间储量级别的方法。

,

·

然后把局部估计综合起来成为矿床的总体估计。

地质统计学法计算精确度十分重要的问题法,。

”

、

1。〕

来划分

由此可见精度计算是一个

在第一步中得。

,

局部估计的方差亦即克里

格方差很容易在解克里格方程组的同时求但第二步就不可能很容易地从局部估计。

本文介绍一种自动计算总体方差的方它比手工方法要精确得多,

而且便宜

,

的方差来计算总体估计的方差由于这样的事实,

这很明显是,

并且便于与克里格法结合应用

。

即各相邻块段的各个局部所以它。

估计都是用共同的数据进行计算的们之间并不是相互独立的为了计算总体方差,

主

要,

结

果

假定对矿床 G中的一个随机变量 z的平均值 z己.

可采用近似计算。

,

进行方差总体估计并假定矿床的,

法量差

〔1

、

4

〕

。

其计算方法不同于克里格法。

它

边界线是已知的 (下面的例子都是这样的 )那么首先必须对“

们是按数据影响范围把数值加权来估计储,

已知域”

的总体估计进行,

即多角形法,

计算每一个数据的延伸方。

计算Y Z

。

然后把各块段的延伸方差看作是相互独

矿床G被划分为 N个块段。

’

X

N Y

.

N z

=。

N X

立的加以

组合即可得出总体估计方差}

矩阵中的 N G个六面体块段

其

.外众脚矿采矿

平均值舒系根据用克里格法计算的各矿段 v i的平均值进行估算吕“.。

·

*当 v与 v,块段距离超过变异函数 ( v a

-

r

io g

r a

m )的e

变程 (范围 )=

时

,

则

命茗”

“`v’“

i

, ( V: V i )

0,

故在克里格法计算之后

用电算计算。

已知域”总体估计方差的表达式“

质量

”

方差是可行的

,

在计算中已注意要

把各个数据所分配的权重因数储存起来:

从对

随机克里格”N X Y Z

的假设

,

可以看出

对

“

已知域a

的总体估计方差可写成下式N X Y Z

本方法的优点与传统方法比较本方法具有下列优点,·

益二么

z

三-

叉

a;a,

e

(VD

j,

V;)

:

( S L (i )/ N G )

““

(0/V )… ( 1 )

精确

—据的位置,

在计算方差时,

,

考虑了各数

这与用克里格法估算

其中式中

:

a:二

iG IS ( i)

S L (i )

各块段时相同;·

N G:

NG

简单

i G is i ( )

——

矿床范围内的块段占总

—算不论块段数多少,

本方法均可完全自动化计。

块段数的百分比,进行相邻块段的克里格计算时与块段各权系数fa e

·

复现性好

SL ( i )

传统手工方法计算方—结果往往每一次都会不一致的而用本方法时,

差,

V

;

数据有关的(;

无论哪一位地质,

W

e

ighti

n

g

统计师来计算它相同的结果下面对产生公式 (。

都能得出完全

to r si

)之和

n

;

块段—在目;:,

V

中包含有的数据数v;

1 )

的计算和假定条

件作一详细研究

。

(v石

v

,

)

块段—协方差块段—差。

与v;

,

之间的平均计算总体估计方差

D“ (o

/v )

v

中数据的离散方式中

现考虑:

:

a

孟=

E

( ZG

一

Z忿 )

.

“

……

( 2 )

在一矿床数据是均匀分布的情况下(w,

z

G

总体估计中的每一数据都有相同的权e

—2E( Z

未知体积的矿床 G的未知真实

值;被估计的矿床 G的估值可分解为一一:.。

ight)

。

公式 (,。

i

)中的第二项可简化为 D

“

z

含

(o

/ v )/N

这就相当于常规方法所作出

公式 (G=叠

—)G

的近似计算

另一方面数据分布密度很不均。

Z

G, G一

)

“

+

E (Z

G+一

一

` Z乙 )

“

匀

,

则公式中第一项占丰要地位自动计算上述公式中第一项,

+

ZE

〔(

Z

G

Z

) ( ZG一 Z艺 )〕:

上式的三项分别为·

几何

误差 (

Z。G

一

z

G。

)的方差.

。

当注意到下述情况;

·

质量误差 ( z,

一

z

忿 )的方差;。

后即可大大地简化·

:

·

两种误差的协方差。

(v石

;

,

v; )值只取决于 vv e e t o r

j两个块段与Vs a n ce

在实践中为相互独立的

几何误差与质量误差都假设

在空间的距离 (

i l di t;

a

)

,

在作出这个假设时

,

应注意

而与它们的具体位置无关

若某个矿床只用简单的边界品位法而不是因1 9 8 5年第 2

期

地质分析方法进行圈定标准公式〔“”、

,

那是有问题的.

。

2

叉人

;k

e

(v

:

、,

s

V )

〕

·

·

几何误差的方差可用 G7

马塞仑建立的“

一,

( 3 )

〕

来计算,

,

故下面只研究质:

量误差的方差的计算问题a

如果事先没有对各块段中的数据的随机 k v L v、k v i)的 (v位置作出假设则乙与石(,:

,

,

者=

Z

E ( z

e

一

z

“之 )

计算是无法解算的

,

这个假设包括在各不。

同块段的两点的协方差值与这两个块段之间

计算质量误差的方差

的协方差值之间建立等式关系G

这就是,

“

随

考虑估计的矿床 G划分为 N小的块段Q

’

个同样大

机克里格法

”

的典型假设,

。

V

i

则r

:

我们知道与严格的克里格法相比随机一

_

`

z

一

l-

E.

定俞三(v )i

瞥

_

,

、

_ _

_

,

、

_

`〔Z ( V )

一 Z

’

了 (、 )〕

】

1

:-

克里格法不太适用于局部估计计则一般是足够的注意假设,。

,

但对总体估

全

假设 2值,

是用克里格法的局部估L

:

在克里格法估算时不需要上述k一

所用邻域中的数据数为 N,

个块段v中

i

(权系数入可以用严格克里格法计。

的数据

即

:

算出 )而只在乡 I算方差时才用上述假设入石

z

竺甲

=

;艺久K z ( v,一`

K

根据上述假设)eK

,

可写成k,

:

l

土公

~

工

(v、:

k

v,

i:

)望C (V,l、

Vk,

。

) (若K年 L )v;

(在实际中i v:

,

绝大多数凡

二

。 )n K

e v

vv,

)丝,

eK

(v

),

(若今 j )

代表位于第 K个邻域块段内的的组合。

个点

对

c

(

V:

)

这一项

可能会误用前

数据 X

; k二

在对块段 V

,

用克里格法计

面的近似值e

但v:

算时

:

(v

,

k,

k

)

二卫二些nK

~

+

V

s、

=

U X

: k。

卫茎二 1 n K一+

~

一 C

,

,

,

气V

k

注意

:

位于单个块段中的所有数据 x、。。

ik。

V

K

)z

丝

e

(V

攻

,

V

K

)

D

么

( 0/VK )n K

都

赋于相同的权系数入格法时的一般功能

这反映了三维克里

其中:

:

D义

( o/ V: )

二

e

( o)

-

C

展开上面的总体估计方差公式a

(Vl

K k二

,

V

K

)

资

1

N Gz

r研 C

假定数据 XZ (v;

是点数据 (或在实际。

N G

{I N G

万乏〔E (

) z (V,) )

应用中等于变异函数的正则化支集让我们考虑:

)

宁

E (艺人* Z ( vK一

上

I

k

)到几; 12 ( vL~ 1

;,

))S L (k )=

N G

乏几k;,

Z E (乏久i

j

K

Z (

v,K

)Z (V i)〕

}v

S L (k )

代表克里格法估算其他块段时。

,块段 v与 v之间的平均协方差用毛(

对块段 k所赋予的权重因数值之和iG IS ( k )==

1

v j )表示

,

则上面展开式可写成1 N GN G N G

:

k (若 V C G )

o=

(若 V k不在矿床 G中 )·

e万万〔 (V

N G

,

,

v

;

N X Yz

N X

N Y

·

N z

(矿床 G中的平

行六面体块段数 )N G;k

+

久乞艺 k I L 1.一

几i, e ( v

; k v jL

)

这样

,

a

孟的表达式可简化成用 N xG

z

y z

来代替 N

求和

。

.外盘目矿采矿

盖

赤兰言0、

“

`

“

〔``

(`’

一

“’〕

=

(即叉 a1

、

=

0 )。

,

故若偏离均值越多则第一,

项的值越大(〕石 (~

〔

(

一

,

v

i

)

}

4 ) i is

若有一个矿床js L

{

L

,

层次的随机网络分布的 (任何块段都有几个

j

v

i

其数据分布是按有:

+

赤一

D

Z

(o

N/v )

茸竿

王

数据 )

,

同时块段数量大a i

全 0

SL ( i)宝 1

上述公式可简化为传统的近似计算式〔1,

或

瓶卫毕品到: N X YZ

旦代入上式

4〕:

得o:

可N X Y Z

z

望:

D

“

(0/ V ),

叠

一

、

耳恩DZ

“

l

a,

e

(V

;,

V,)么 ( i )/N G〕

注意

由于随机克里格的假设。

不可能

a ( O/V )求得对一个完全与规则化的网格〔是

+

N X Y Z〔S ( 0/V )艺 i~1

L

l

i

/ N〕的传统近似值5 )

若矿床边界与块段 v的边界不一致is i (

i

( 4 )

时则给 i G,

)以相当于包含在矿;

床中的块

段占全部块段 V的百分比的真实值即足

公式1 )

( 4 )的注释

够3.

。

为写公式 (。

)必须是平稳假

设的条件

事实上t,

,

G

马瑟仑曾指出〔e

7

〕

,

计算机计算程序用计算机计算质量误差方差只需要把克里格法局部估计的程序作一点小的修改

由于可迁性 (

r a n s

i t iv

)论与内蕴论之

间有相似的地方

所以如果用平均协方,

差 (数学期望 )进行计算平稳现象仍然是真实的2 )。

所得结果对于非

公式 (

4

)中

,

从理

论上假定矿床。

这 (改包一个段的系不个修括能存储每块权数论采用严格的克里格法或随机克里格法都可以)。

。

任意两点之间的协方差值是已知的际中之,,

而在实,

变异函数对一定的距离是已知

而超

过范围 (变程 )的数据则都是独立的(变程 ),

。

换言

在介绍计算方差的程度之前顾一下公式 (异函数在 x程),、

,

先简单回P Z

, i之间的距离超过了范围若块段 V与v

4 )、

。

令P XD Z

、

P Y

、

表示变

则石( v

:

,

j ) V

二

。

。

这样在计算,

Y、

z

三个方向上的范围 (变、

公式中第一项就大大地简化了

这是因为只

令。

Dx

DY:

为某一基本块段

要计算相应于小范围 (变程项。

)之差

额的各)

的尺寸

假设=

iNX3 );;系数 a代表用块段 V ( i GJ

PX

:

IS ( i )/N G

DX

1到

丫

=

-,

不二二厂一

P YX

UP Z

所表示的部分与矿床总体估计中的内数据假定值的共用部分值。

s L (i )

/N

G

之间的差

iN Z

一

D Z:

方差计算公式中第一项可写成

对系数的分布研究a;

,

可提供对数据分。

iN X

iN Y

布一致性的定量概念

。

这些系数的均值为

2

艺艺艺i X~1 iy~1笼

e

(V

:工,,

V

,二

、,

、:

)S

,二

;,

1 98 5年第 2期

其中』 x

:

一

~

厅 -一

气一,~

|| ._0

1目白 .

了:

`

畔艺艺艺1 j N z肤 1 i 1 k:

于. . .

I口. .. . .

、::主

~ 1

一

,l

一七 _

.

y:工主

,+k+

i:

+

」二几」二少几_I J、 1一 O.一

~

叫一一一 -

| 1 1一

假设’

M

=

iNX

·

iN Y

·

iN Z:

ù,

一 -

-

.

1

.

一

一

,

一一0.

e w

计算方差的程序有四大步骤

用存储在计算机文件中的权重因数计

一仁仁_ _

心

0

0

, 1 1

a;算每个块段的 S L ( i )和两项;·

一

一,

一

一下一一}一一了一一

ǐl

`|

一牛下. o

)巨一

1一

1

一丫, l l|,O

一.

一下一0么

〕6

一 l

1叮

0 0

一 0

一0

J一

一一,

t

叶一一一一

一

一一一气 -

一,

一

了;| rl|扣

,|,|一

1

】

f

:

计算M项 Se

:

x

: Y:

:

;

一一

写一

一

花一丁一

一下一

一

一一 _、1 T l,介ù丁 Jù一1i 1 t I

0今

·

用离散型计算方法计算 M项块段间的O

一卜

一一

.

一

平均协方差 ( V川·

,

V

: x

I Y:

z

);

,

并考,

L

l一 -

气

一菩-

一。

懊o

二0

t1 -

虑协方差模型的可能对称性:

,r尸

。

0

d

o

O .

I l 1产归1

。

J

O

O

城ó. 1飞 1 1

-

兮ù、, !1 . 1

。。。

.

0

0

G计算孟 (指出两项各共同部分。

以

,~

一一

便与传统方法相比较 )·

卜 l【`

一一一

一一一 lO

l o

!

| !I,一

1 1 .。厂:ù刁

;

!

本程序还可用来进行下列工作计算一部分矿床的方差;·

:

介

一.

!O

,

{.`

且一 1 .吸 1O

1 r一二 x . I

_

一一

一

一一

ù` ll

}

,

. .

. .

.

.

一

.

.

尸.

~

,

~

一一

~`

统计分析或显示 s。

L (i )

、

艺a

i,

a je

(v

;

,

图

1

第一批钻孔 ( C ) I..

v )各项 j

这有助于测定数据分布的均匀性或确定某些数据的影响大小 (如边缘的数据或那些不可靠的数据程序运行时间(从略)。

“

”

「一

.

户;:兰三竺竺;::r

_`

)

应、

用

例

子。

现用一二维矿床作为计算例子两次勘

探孔数

:

6第一次为 1,

7个

,

分布如图2

1

所示

;

第二次为 1 3 8 2个度。

分布如图

所示

,

被估计

)的平均矿化厚的变量为每一个盘块 ( a P e n l

使用的赋范的变异函数模型为Y(h丫`

:

)

=

0 20

.

+

0 7 O Y`.

(h )。

+

0

。

10 Y。 ( h )

。 ( )与丫 ( h )为两个各向同性球形变异 h

群, .

袱 .{;二 iii ii:.廷 i{}万死:

r`二巴:里:芯:

i-

,,. )

·

:;

:

};卜 l: !`,, .

_

州巴性竺竺二勺 r`,`

`

}

。

:

。

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全吧下{.

.

,

孰!..

i{三二r:r

甲

月

r二

艺:1r,

二竺几

之:万了】 .,,口 .

址{1·一

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~

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_

1

全竺

_

,

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0

J .

_

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分}{一-

`

r

下

l

.

0

0

r

.

,

,

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,

,

.

l

一

拼二班一;匕::{::;; !;;;:歹l二;兰幕 l三 i;} l}!尸刹亡比认州 l任… l万:厂:;:;;;月{{万 l:三}:}:皿二二二: ) i一睡 !拱;}二}蕊熬于… !弈;i三}{);吮::;二三币;:丁{…一 i三三::{}11三{)}二门犷…互一{一脚汗…绍二里」j ! i二’

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」

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到之二只芍 r二。 .甘.

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,

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一

里几万引一

亘贫族,口,

-

.

.

一

【弓三,

:

.

0

,, r,门

,

}

。

~

~

气亡:

二:几“

阅.

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1 0

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0

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l。,

二

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:

`石 .`亡。

。

0一 o

一

·

一

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·

一

二

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,

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」

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.

,

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弓r~

~口

~

{

卜

0

o

`l

一

~

,

L

:

…

o

二;f二

`

.

二

,

甲 -

,

1

广:二:几:丁了叹 L二

门r~一一石。

’

。

.

今r

,

,

川 l。卜。

`

.

0

姿

:

二 . 0J唯毛护

二

。了 !劝卜

“.

.

一

亡犷〕

卜~口卜吸

时

卜..

.

0

1

尸

呢.~,

,.

一一

一

百卜 r』二竺J二言二荡荡

:

, O口 9

6

一,

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击一

1 . 11

.

`

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.

~

1

一

一

丁 .一 1

甲

l二丁 1门一

,

.

~

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一

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.

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_

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于.之 .尸月一

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`

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,

份-

.

弓

,

,

{:公二。。’

力I丁丁 1

::

;三

{ )二

_

_

工j

图.

2

第二批钻孔 ( C

Z)

函数1。

,

其范围分别为

4

与

8

川,

=

。

8

X

0 1

一“

(用于第一次勘探各钻

矿床可划分为 1

2个盘块

尺寸为

l

x

孔)毗=

5个盘块组成的邻各个盘块都是根据对 2。

o

。

7 8

X

1

0一咤

(用于第二次勘探各钻

域进行的钻孔勘探单独用克里格法估计的质量误差方差的计算得出下述结果口井全月矿采矿:

孔)计算方差公式中第二项约占总方差的 9 0。

13

·

,

这表明在本例中传统的 D念( O/ v )/ N近“

方图

。

从图

3

可见。

,

对第二次钻孔比第一次

似值将提供很好的

数量级

”

。

这是因为钻。

钻孔更加靠近计算时间

孔分布比较均匀 (特别是第二次勘探钻孔 )在本例子中是很简单的0 93 0 50. .

用传统方法计算 (即把各盘块误差组合起来 ),

计算结果是,

:

方差计算时间如下

:

X X

1 0一

3

(对第一批钻孔 )

对第一批钻孔

:

占克里格法总时间的16

0 1

一`

(对第二批钻孔

块段尺寸:

%;

为0,

.

25

x

0

.

25)

( 8到 5 0秒 C P U时间 )

近似值对第一批钻孔来讲可以满足要求但第二批钻孔则相差一些。

对第二批钻孔占克里格法总时间的 1%( 9到 1000秒)。

,

这表明各盘

块误差不完全是独立的

上述时间是在计算

8。

X

S

项c用的离散c

把各盘块的克里格方差组合起来对于第二批钻孔就可得出有偏方差`贵弓0i:

点为少到

6 5

Xx

6

时获得的结果,

若把计算

项减

s

(块段间距离大于 5时即认为是

=

”

·

Z

x

`”一

3

相互独立的 )上,

则计算时间可减少一半

以:

而计算精确度并不差多少0。.

对第一批钻0.

用

G

.

马瑟仑的公式计算本矿床的几何.

孔0 1

;

879 6

X

1 0一

“

代替原来的8

879 2

只

误差方差的结果大约为 0

5

x

0 1,

一 4,。

这一项:

一“

这是一种由于范围,

1 (

o

% )的结构。

对于第一批钻孔是不能略去不计的

成分少

M因数可能减小的情况

对s·

L (

) i

各项的总体研究,

可观察到

对第一批钻孔=;。

5个块段没有中除了1o )外,

结

论

)心孔数据 ( ( S L ( i

其他块段的值介.

与传统标准方法相比较

于 0 8 0与 1 8 4之间·。

.

标准方法是基于直接组合各基本单元的,

对第二批钻孔。

所有的值都介于 0,

7

1

误差

,

假设各误差是相互独立的这一原理;,

,

~

1 42

另外还基于组合各分项的原理

它们都是用。

从上面的分析可知

权系数的扩展范围。

非克里格法估值

计算其总体估计误差的,

很窄

,

这就反映出数据分布均匀,

除了它们系统地忽略了基本单元误差之

为提供一个例子钻孔敬

图

3

示出一~~

a了i

值的直

间存在的相关性之外

对许多矿床它们还有。

一

CZ

(第二批钻孔

C I

计算十分繁复的重大缺点分布是不规则的性的,

如果三维数据

)

(第一批钻孔 )

,

以及变异函数是各向异

则手工计算将成为永远做不完的工,

日曰月| 1 U

.

1训 L几川

I

作

。

故地质统计学者趋于使月失真的极端简这意味着计算结果包含有很大成。

化的方法相反点:·

分的主观性,

本文推荐的方法则具有下述特

计算总计方差是基于有效的克里格估

一

10

一

S

Q

而

a·

值;完全自动化而且计算费用低;

图

3

( a i六 10 00 )

的直方图

19 85年第 2

期

帕拉博拉公司铜的生产获得盈利英国虽然铜的景况不佳石仍可盈矛JI。

《I

·

a

l

a

io

l

g》 i

i辑部编

,

但帕拉博拉公司又一次证明

,

品位为 0 5%的犷.

继印度尼西亚自由港矿

19 8 3年产量,

创纪1984

划检修

,

上一年有些阳极转到 1 9 8 3年处理,

,

录的报道之后 (见英国

`

《一

国际采矿》

从而使 1 9 8 3年的精铜产量创造了最高记录铜的销售量也达到历年的最高水平了 1 8 6 6吨,

。

年第

5

期第

3 0页 )

,

现庄另一巨型铜矿。

帕拉博拉采矿公司也达到了高产纪录19 8 3午,

—

即达到

高于

2 9 8 2年的,

销售记录1 9 8 4年铜

。

尽管继续受到通货膨胀的沉重一一

据市场预测家估计过需求量30万吨,

产量将超,

压力和商品价格仍在 l降的影响:

,

帕拉博拉

因此

,

在这期间

铜价格

公司还是获得了大笔纯利润

。

几乎不可能上涨,

。

但是存在着一个未知的因,

纳税后的利润为。

2 5 7 0万美元

这笔收益

素可能推翻这种预测大约3 0万吨

那就是中国是否会在。

是在六台电铲及其备件的帐面纯价值消去后

这一年再次进入铜市场

中国

19 8 3年购买,

了

获得的作为汽车队合理化计划的台电铲中有五台已经退役,,

一部分六

,

铜

,

这一数量相当可观,。

有助于

并已由更大型的。

保持铜价格的稳定1983年

但还不能据此就肯定他

电铲所取代另一台电铲因逾龄而报废消耗品库存和某些其它材料也已从收入财务报表

们会继续进行大量购买的。

的生产情况总的说来是令人满意,

中支付

。

5 3 0万美元这些消帐金额共 j卜

一

。

大多数生产指标已经完成。

成本指标也

19 8 3年公司

阴极铜的生产费用从1 2 1。

19 8 2年

已达到

19 8 2年开始进,

行的改进矿山维修和在1983年已

的每吨 1 1选5美6 5%.

元增至,

美元

,

提高了

其它生产机能的工作效,

大见成。

。

如果考虑同年南非消费品物价指数这样的产胜产费用还是。

并对降低生产成本起了重大作用这一年,.

提高了 1 1%这一情况令人满意的

采矿设备的生产率得到全面提6万吨矿

高

,

日采 3

2

石的计划也得以实现7.

。

由于有一部分工厂要停产一个月进行计八声八户产声产八、、.

选矿量全年平均每天为六八、

9 298

万吨矿

,

八

切

协刀人

六、

、

八

、

人声八八勺

占

、

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、

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、

八、

、

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八几

、

刀办了

·

计算结果具有客观性

,

故可参用

。

·

用新增数据使总体估计方差最优化。

;

·

发展目前法国地质采矿研究局,

应用储量分类程序计算各种不同级别《 18ti l 19 8 4一

矿量的精确度,

正在利用本:

摘译自

A P CO4 5 7~

M》

,

程序进行以下三方面的开发研究工作计算几何形状方差与总方差;

466

陈仁宪

译

李显靖

校

闻 .外全肠矿采矿

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8g6m.html