2016-2017学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（文科）（解

2016-2017学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（ ） A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）

2．（5分）甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）

A． B． C． D．

3．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A． B． C．1 4．（5分）已知双曲线

D． ﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准

，则

线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为p=（ ） A．1

B． C．2

D．3

5．（5分）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“loga＜1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，则2α﹣β的值是（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

7．（5分）等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=3DC，则（

?

+）=（ ）

1页

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（5分）设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为（ ） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，ln） C．（ln，0） D．（﹣∞，﹣1）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）i为虚数单位，复数

= ．

10．（5分）曲线y=lnx在与x轴交点的切线方程为 ．

11．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x+4y﹣7=0相切的圆的标准方程是 ． 12．（5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=b2，则

= ．

13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i= ．

14．（5分）设函数f（x）=若f（a）=f（b）=c，f′（b）＜0，则a，b，c的

大小关系是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（13分）设函数f（x）=sinxcosx﹣sin2（x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x﹣

）．

）在[0，]上的最大值与最小值．

2页

16．（13分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE．

18．（13分）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）设数列{cn}满足cn=19．（14分）已知点P（

，求{cn}的前n项和Tn． ，1）和椭圆C：

+

=1．

（1）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率； （2）若直线l：

x﹣2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，设直线PA与PB

的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2=0． 20．（14分）已知函数f（x）=x3+（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．

3页

x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．

4页

2016-2017学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2014?陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（ ） A．[0，1] B．（0，1） C．（0，1] D．[0，1）

【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．

【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}， ∴M∩N=[0，1）． 故选D．

【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．

2．（5分）（2016秋?红桥区期末）甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ） A． B． C． D．

【分析】利用互斥事件概率加法公式求解．

【解答】解：∵甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是，甲获胜的概率是， ∴甲不输的概率为P=故选：B．

【点评】本题概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．

3．（5分）（2016?朝阳区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

=．

5页

A． B． C．1 D．

【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB． 该几何体的体积V=×故选：A．

×1=．

【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．（5分）（2013?天津）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px

（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为A．1

，则p=（ ） B． C．2

D．3

的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出

，列出方程，由此方程求出

【分析】求出双曲线

A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为p的值．

【解答】解：∵双曲线

，

6页

∴双曲线的渐近线方程是y=±x

又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣， 故A，B两点的纵坐标分别是y=±∴

则

， =

，

，双曲线的离心率为2，所以

，

A，B两点的纵坐标分别是y=±又，△AOB的面积为∴故选C．

，x轴是角AOB的角平分线

，得p=2．

【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．

5．（5分）（2015?浙江）设a＞0，且a≠1，则“a＞1”是“loga＜1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【解答】解：∵loga＜1=logaa，

当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，

当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜， 综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞）， 故“a＞1”是“loga＜1”的充分不必要条件， 故选：A．

【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．

7页

6．（5分）（2016秋?红桥区期末）已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，则2α﹣β的值是（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

【分析】先根据题设条件，利用正切的两角和公式求得tanα的值，进而利用tan（2α﹣β）=tan（α﹣β+α）根据两角和公式求得tan（2α﹣β）的值，进而根据α和β的范围确定2α﹣β的值． 【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tanβ=﹣， ∴tanα=tan（α﹣β+β）=

∴tan（2α﹣β）=tan（α﹣β+α）=∵tanα=＜∴0＜α＜

，

，tanβ=﹣＞﹣

＜β＜π， ，

=，

=1，

，α，β∈（0，π）

∴﹣π＜2α﹣β＜﹣∴2α﹣β=﹣故选：B．

．

【点评】本题主要考查了两角和公式的正切函数．解题的关键是通过α和β的范围确定2α﹣β的值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

7．（5分）（2016秋?红桥区期末）等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=3DC，则A．2

B．3

C．4

?（

+

）=（ ）

D．5

用

表示，展开后得答案．

【分析】由题意画出图形，利用向量的加法与减法法则把【解答】解：如图，

∵A=90°，AB=AC=2，且BD=3DC， ∴

?（

+

）=

8页

==

故选：C．

=

=4．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法及减法法则，是中档题．

8．（5分）（2015?山西一模）设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，ln） C．（ln，0） D．（﹣∞，﹣1） 【分析】由条件求得x1，x2，x3，x4，得到（x4+x1）﹣（x3+x2）=ln原式=lnt，利用不等式的基本性质求得的范围，可得t的范围， 从而求得lnt的范围，即为所求．

【解答】解：由方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根为x1，x（，可得2x1＜x2）求得x1=ln

，x2=ln

．

，

，

，

．令t=

，则

由方程|ex﹣1|﹣m=0的两根为x3，x4（x3＜x4），可得求得x3=ln（1﹣m），x4=ln（1+m）． ∴（x4+x1）﹣（x3+x2）=lnm﹣ln令t=

，则原式=lnt，且

=ln

．

．

由m∈（0，），可得 0＜＜，，

∴，则0．

故原式=lnt∈（﹣∞，ln）， 故选：B．

【点评】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了

9页

转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2016秋?红桥区期末）i为虚数单位，复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数【解答】解：故答案为：1+i．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

10．（5分）（2016秋?红桥区期末）曲线y=lnx在与x轴交点的切线方程为 x﹣y﹣1=0 ． 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程． 【解答】解：函数的导数为y′=，

由y=lnx=0，解得x=1，即y=lnx在与x轴交点坐标为（1，0）， 则对应的切线斜率k=f′（1）=1，

即y=lnx在与x轴交点的切线方程为y﹣0=x﹣1， 即x﹣y﹣1=0， 故答案为：：x﹣y﹣1=0

【点评】本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．

11．（5分）（2015?揭阳二模）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x+4y﹣7=0相切的圆的标准方程是 （x﹣2）2+（y+1）2=1 ．

【分析】要求圆的方程，已知圆心坐标，关键是要求半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线3x+4y﹣7=0的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可． 【解答】解：因为点（2，﹣1）到直线3x+4y﹣7=0的距离d=由题意得圆的半径r=d=1，

则所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1， 故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1．

10页

= 1+i ． 得答案．

=，

=1，

【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件是圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

12．（5分）（2015?揭阳二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=b2，则

= ．

【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得要求式子的值．

【解答】解：△ABC中，∵c（acosB﹣bcosA）=b2，故由余弦定理可得 ac?bc?化简可得

=b2， =2，∴=

． =

，

﹣

再利用正弦定理可得故答案为：

．

【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．

13．（5分）（2016秋?红桥区期末）执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i= 6 ．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，N，i的值，当M＞N时退出循环，输出i的值即可．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=3，M=100，N=1，i=1

满足条件M＞N，M=103，N=3，i=2

11页

满足条件M＞N，M=106，N=9，i=3 满足条件M＞N，M=109，N=27，i=4 满足条件M＞N，M=112，N=81，i=5 满足条件M＞N，M=115，N=243，i=6

不满足条件M＞N，退出循环，输出i的值为6． 故答案为：6．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i的值是解题的关键，是基础题．

14．（5分）（2016秋?红桥区期末）设函数f（x）=若f（a）=f（b）=c，f′

（b）＜0，则a，b，c的大小关系是 b＞a＞c ． 【分析】由题意b≥4，0＜a＜4，再由f（8）=b=8，c=，由此能求出结果．

，f（2

）=log2

=，得到a=2

，

【解答】解：∵f（x）=，f（a）=f（b）=c，f′（b）＜0，

∴b≥4，0＜a＜4， ∵f（8）=f（2∴a=2

）=log2

， =，

，b=8，c=，

∴b＞a＞c．

故答案为：b＞a＞c．

【点评】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（13分）（2016?西城区一模）设函数f（x）=sinxcosx﹣sin2（x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

12页

）．

（Ⅱ）求函数f（x﹣）在[0，]上的最大值与最小值．

【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简f（x），得到最小正周期． （Ⅱ）得到f（x﹣

）后可以由x的范围得到f（x﹣

）的值域，由此得到最大最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx﹣sin2（x﹣∴函数f（x）的最小正周期T=π； （2）由（1）得f（x﹣∵x∈[0，∴﹣

]，

≤）∈[﹣

， ，1]， ，]，

]上的最大值是， ）=sin（2x﹣

）﹣，

）=sin2x﹣，

≤2x﹣

∴sin（2x﹣∴f（x﹣∴f（x﹣最小值是﹣

）∈[﹣）在[0，

．

【点评】本题考查由三角恒等变换以及由x的范围得到f（x﹣

）的值域．

16．（13分）（2016秋?红桥区期末）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

【分析】设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；从而可得；

z=1600x+2400y；利用线性规划求解．

【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元； 则由题意得，

13页

；z=1600x+2400y；

故作平面区域如下，

故联立解得，x=5，y=12；

此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元． 【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．

17．（13分）（2012?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE．

14页

【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．

【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD

∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE．

【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂

15页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8g4.html