高代选讲第二章（一）

高代选讲第二章（一）

一﹑填空题

1．A是一个n(?2)级方阵，A的行列式A?0，B是与A等价的矩阵，则矩阵B的行列式B?（ ）.

a12. 行列式

111a1111a111?0, 则a=( ). 1a3. 在n级行列式D中,若零元素的个数大于(n2?n),则D=( ).

a114. A?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44,a11A41?a12A42?a13A43?a14A44?( )，其中A4j是a4j的代数余子式。

a21a31a41

二、选择题

a111. 若行列式D?a21a12a22a32a134a112a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13a23，则D1?（ ） a33a31a23?1，D1?4a21a334a31A.8 B. ?12 C.24 D. ?24 2. 若D?a11a12a21a22a12a22?ax?ax?b?0的解. ?1, 则下列( )是方程组?1111221ax?ax?b?0?2112222a11b1 B. x1??A. x1?b1b2b1b2,x2??b1b2a12a22a12a22a21b2a11,x2?a11b1a21b2b1

C. x1??a12a22,x2??b1a21b2 D. x1?b1b2,x2?a11a21b2?3x?ky?z?0?3. 若线性方程组?4y?z?0有非零解, 则k的可能值为 ( )

?kx?5y?z?0?A.0 B. ?1 C.2 D. ?2

4.设Dn?10012012n,则它的所有元素的代数余子式之和为( )

A.0 B. n! C. ?n! D. 2n!

5. 设A为4阶行列式，且A??3，则AA?（ ）. A.9; B.35; C.(?3)5; D.12. 6. 设A,B是n(?2)阶方阵，则必有（ ）.

A.A?B?A?B; B.AB?BA; C.AB?BA D.A?B?B?A

.;7. 行列式|A|为零的必要条件是（ ）.

A.A中有两行（列）元素对应成比例; B. A中必有一行为其余行的线性组合;

C.A中有一行元素全为零 ； D. A中任意一行为其余行的线性组合. 8.若?1,?2,?3,?1,?2都是4维列向量,且4级行列式|?1?2?3?1|?m,|?1?2?2?3|?n, 则4级行列式

|?3?2?1?1??2|?（ ）.

A. m?n; B.?(m?n); C.n?m D.m?n

.;

9．设A为n(?2)阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则（ ） A.A?B; B.A?B; C.若A?0,则一定有B?0 D.若A?0,则一定有B?0 . ;10．行列式|A|非零的充分条件（ ）

A. |A|的所有元素非零; B. |A|至少有n个元素非零； C. |A|的任意两行元素之间不成比例; D.以A为系数

;矩阵的线性方程组有唯一解。

三.计算题

111. 设D4?21

5102713381,求A41?A42?A43?A44.其中A4j为a4j(j?1,2,3,4)的代数余子式. 640101010100000000000000110.

2. 计算n级行列式D?

四、证明

1. 证明：n级行列式Dn?a111a111111ax1?2?(a?n?1)(a?1)n?1

x1?12． 证明: n(?3)级行列式Dn?x1?nx2?nxn?n?0

x2?1x2?2xn?1xn?2

五、行列式计算典型类型题

类型I ：“两条线”型行列式

anan?1a101．D?0b40a2b300b2a30b10。 2．D2n?0a4bnbn?1a1c1cn?1b1d1dn?1dnyx000y000000

cna3．D?b1a 4．Dn?x00yba4x0yx

类型II ：“三条线”行列式

（1）“三对角”行列式

21000121001．Dn?01210 2．Dn?0012100012

????0?????0????000000000000

????????（2）“爪型”行列式

211．Dn?131111n111（替换）

11

1n?1（3）Hessenerg型行列式

x01．Dn??1x00?1000xa200

0an

?1x?a1an?1an?2类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。

x?aaaaax?aaaax?aa 1．Dn?aa

aax?a类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。

1?a11111xa11?a2111?ax11?a311 2．Dn??a?a1．Dn?11

aaxaaa?aaaa x1111?an?a?a?a类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。

1x11．Dn?1x22x21x32x31xn2xn2n?22n?1?2 2．Dn?1?23?233?323

x12x1n?2x1n3n?33n?1?3n?2x2nx2n?2x3nx3n?2xnnxnnn?nnn?1?nn3?nn2?n类型六：其他形式行列式

1112?x21．D?23a123 2．Dn?xa1a1xa2a2a2xan?1an?1an?1111

23152319?x2a1a2a3x1a1a2a3an1adaa11(t)a1n(t)11(t)a12(t)1n(t)dta1j(t)a2n(t)n3．

da21(t)a22(t)??ad21(t)dta2j(t)a2n(t)dt

j?1an1(t)an2(t)ann(t)a)dn1(tdtanj(t)a1n(t)

a11?xa1?2xan1?xa11a12an1a114．⑴

a21?xa2?2xan2?x?a21a22an2nn?x??Aij，其中Aij是

a21i?1j?1an1?xan2?xann?xan1an2annan1数余子式。

a11?a12a12?a13a1,n?1?a1n1nn（2）

??Aa21?a22a22?a23a2,n?1?a2n1ij?

i?1j?1an1?an2an2?an3an,n?1?ann1a12a22an2a1na2n中aij的代

ann

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