农作物施肥效果分析

农作物施肥效果分析

摘要

本文通过观察实验数据及考虑现实情况，先放弃进行全因素试验，只在部分因素水平下进行试验，观察能否较全面的求出尽可能最大产量对应的N、P、K的施肥量。即首先进行了忽略相关性，对作物进行单一因素分析，将N肥P肥和K肥三种因素两定一变，通过matlab软件将散点图汇出并通过最小二乘法拟合最相关的函数图像，分析找到产生最佳产量对应的最佳施肥量，建立出模型一。

鉴于三种营养素有相关性，可能存在1+1>2的效果，我们利用多元回归分析模拟出三元二次函数，并利用matlab编程求出最值，从而进行实验数据检验分析。

关键词：最小二乘法回归分析三元二次函数 matlab

一、问题重述

某研究所为了研究N、P、K三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10

个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将另二种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价．

表1-1 施肥量对土豆产量的实验数据

土 豆 N 施肥量 (kg/ha) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 P K 产量 (t/ha) 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22 产量 施肥量 产量 施肥量 (t/ha) (kg/ha) (t/ha(kg/ha) ) 15.18 0 33.46 0 21.36 24 32.47 47 25.72 49 36.06 93 32.29 73 37.96 140 34.03 98 41.04 186 39.45 147 40.09 279 43.15 196 41.26 372 43.46 245 42.17 465 40.83 294 40.36 558 30.75 342 42.73 651 生 菜 表1-2 施肥量对生菜产量的实验数据 N P K 施肥量 产量 施肥量 产量 施肥量 产量 (kg/ha) (t/ha) (kg/ha) (t/ha(kg/ha(t/ha) ) ) 0 11.02 0 6.39 0 15.75 28 12.70 49 9.48 47 16.76 56 14.56 98 12.46 93 16.89 84 16.27 147 14.38 140 16.24 112 17.75 196 17.10 186 17.56 168 22.59 294 21.94 279 19.20 224 21.63 391 22.64 372 17.97 280 19.34 489 21.34 465 15.84 336 16.12 587 22.07 558 20.11 392 14.11 685 24.53 651 19.40 二、问题的分析

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在实际生活中，化肥对农作物具有二重性。结合所学的初等函数，可以使用二次函数对数据进行初步的拟合。做出数据散点图，利用matlab软件使用最小二乘法拟合找到相关函数，并进行初步的分析和判断。

生活中，考虑到N、P、K肥对农作物的影响，具有1+1>2的效果，所以不能仅仅考虑单一因素对其的影响，还需要进一步进行回归分析。所以我们队决定拟合三项二次函数，将三者因素结合在一起。进行数据回归分析和观察，并将模型一中的结果进行相关的检验。

三、建立模型

（一）基本假设

1.气候、温度等外界自然条件适宜作物生长，且处于稳定的状态。 2.作物水分充足，生长良好，其他营养素(除氮、磷、钾)都充足，不对作物生长造成影响；且忽略所喷洒的农药对作物生长的影响；

3.模型一是在单一因素中考虑，认为其他因素对产量的影响达到最大，且N、P、K不相互影响。

4.模型二认为各种肥料施放的效果是互相影响 （二）符号表示

xi表示N、P、K分别对农作物土豆的施用量（i=1,2,3） yi表示N、P、K分别对农作物生菜的施用量（i=1,2,3）

zi表示单一N、P、K对农作物产量的影响 （i=1,2,3为土豆的产量；i=4,5,6为生菜的产量）

ci表示拟合散点图的残差模

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??,??,??表示模型二中N、P、K分别对农作物生菜的施用量

y表示模型二中农作物的产量

（三）模型

模型一

使用matlab分别将N、P、K对农作物土豆的影响数据描绘出散点图。如图3-1

图3-1 N、P、K对农作物土豆效果的散点图

拟合选择二次函数，得到相对应的图象。如图3-2

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图3-2 拟合二次函数

得到的二次函数分别为

2

z1=?0.00034?x1+0.2?x1+15c1=3.37 2z2=?0.00014?x2+0.072?x2+33c2=4.01 2z3=?7?10?5?x3+0.075?x3+24c3=10.47

产量最大值对应的自变量分别为

x1=294.12 x2=257.14 x3=535.71

经分析可以得到，在仅考虑N、P、K肥单一因素对作物产生影响，即可得到每公顷土豆对其分别使用294.12kg,257.14kg,535.71kg的

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肥料，可使作物产生最大。

同理得到N、P、K对农作物生菜的拟合二次函数为

2

z4=?0.00024?y1+0.1?y1+10c4=3.09 2z5=?5.5?10?5?y2+0.061?y2+6.9c5=3.83 2z6=?7.2?10?7?y3+0.0051?y3+16c6=3.46

产量最大值对应的自变量分别为

y1=208.33 y2=554.55 y3=3541.7

即在仅考虑N、P、K肥单一因素对作物产生影响，即可得到每公顷土豆对其分别使用208.33kg,554.55kg,3541.7kg的肥料，可使作物产生最大。

同时通过对拟合函数的分析，含K肥料对作物影响可能会存在单一性，K含量越多，作物产量越大。

模型二

在实际施肥过程中，不同的肥料之间往往相互影响，使得各自的作用并不完全独立。因此考虑采用三元二次多项式函数来拟合肥料施放实验的数据。仍然使用matlab自带的语句拟合数据，考虑到施放肥料的量级比起产量太小，所以将肥料施放量级更改为百千克。

对于土豆，得到的函数为

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y=?3.2578??2+8.2752???1.7121??2+2.7090???0.6781??2

+2.7913??+2.1748????+1.7440????+0.0198????+15.1518

计算得产量最大时，各肥料释放量如下：

对于生菜，得到的函数为

y=?2.1910??2+2.5148???0.3423??2+2.0551???0.3018??2

+1.4469??+1.1907????+0.5801?????0.0433????+7.1369

计算得产量最大时，各肥料释放量如下：

使用matlab实现函数求解最值程序如下 （1）土豆产量最值

函数文件

function f=fun1(x)

f= -3.2578*x(1)^2+8.2752*x(1)+

15.1518-1.7121*x(2)^2+2.7090*x(2)-0.6781*x(3)^2+2.7913*x(3)+2.1748*x(1)*x(2)+1.7440*x(1)*x(3)+0.0198*x(2)*x(3);

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f=-f;

MATLAB求解步骤： x0=[1;1;1];

Aeq=[];Beq=[];A=[];B=[]; vlb=[0;0;0];vhb=[];

[x,fval]=fmincon('fun1',x0,A,B,Aeq,Beq,vlb,vhb)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,

and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

x =

4.7680 3.8671 8.2461

fval =

-51.6266

-fval =51.6266

(2)生菜产量最值

函数文件

function f=fun2(x) f=

-2.1910*x(1)^2+2.5148*x(1)+7.1369-0.3423*x(2)^2+2.0551*x(2)-0.3018*x(3)^2+1.4469*x(3)+1.1907*x(1)*x(2)+0.5801*x(1)*x(3)-0.0433*x(2)*x(3); f=-f;

MATLAB求解步骤： >> x0=[1;1;1];

Aeq=[];Beq=[];A=[];B=[]; vlb=[0;0;0];vhb=[];

7 / 16

[x,fval]=fmincon('fun2',x0,A,B,Aeq,Beq,vlb,vhb)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,

and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

x =

3.8132 9.2929 5.3953

fval =

-25.3838 -fval=25.3838

（四）模型扩展

建立模型，还需要考虑肥料的价格及农作物的经济价格，从而可以得到最有利于农民生产农作物的最佳施用量。使其能够更贴近实际生活，而广泛使用。

四、模型分析及优缺点

模型一无论在拟合还是预测上都较为简单易懂，然而并未考虑各肥料施放量对于结果影响的独立性，仅仅适用于只能施放某一种肥料，且其他两种肥料土壤含量较为理想的情况；

模型二较为复杂，但是拟合与预测较精准，效果较好，适用情况

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广泛。不过对于各肥料施放效果独立性的体现，较为初级。

模型一二都是基于肥料施放的效果与肥料施放量的函数曲线变化率不断减少这一特征，选择了二次多项式函数来拟合数据，实际上对肥料施放效果的产生原理生疏，无法利用合乎原理的函数，是本模型的最大缺憾。

五、参考文献

?1?赵东方 . 数学模型与竞赛. 湖北： 华东师范大学出版社 . 2014 ?2?中国牧草产业网， 施肥量确定方法之四—肥料效应函数法

http://www.forage.org.cn/front/article/716.html，2016年8月17日。

?3?姜启源 谢金星 叶俊.数学模型[M] . 北京：高等教育出版社 .

2011

?4?戴朝寿 .数理统计简明教程 . 北京：高等教育出版社 . 2010

?5?周品 赵新芳 .MATLAB

2009

数理统计分析 . 北京：国防工业出版社 .

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六、附录

1.土豆对作物残差图

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2.对生菜的产量影响拟合二次函数图像。

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3.模型二拟合函数代码

>> [beta,r,j]=nlinfit(yy,pp,@zuoye1,a)

警告: The Jacobian at the solution is ill-conditioned, and some model parameters may not be estimated well (they are not identifiable). Use caution in making predictions.

> In nlinfit (line 376)

beta =

1 至 8 列

-3.2578 8.2752 15.1518 -1.7121 2.7090 -0.6781 2.7913 2.1748

9 至 10 列

1.7440 0.0198

12 / 16

r =

0.1512 0.2391 -0.5935 1.3687 -0.7460 -0.7173 0.6986 1.2845 2.1103 -1.6180 0.9256 -1.9855 -0.1868 0.1948 1.9028 -1.1154 -1.1914 -0.7053 -2.1171 1.4402 -5.5235 -0.4569 4.1101 5.0595 2.6166 -1.9939 -4.0214 -0.1360 -1.6176 2.6238 j =

1 至 8 列

0 0.1156 0.4489 1.0201 1.8225 4.0804

0 1.0000 0.3400 1.0000 0.6700 1.0000 1.0100 1.0000 1.3500 1.0000 2.0200 1.0000 3.8416 1.9600 3.8416 1.9600 3.8416 1.9600 3.8416 1.9600 3.8416 1.9600 3.8416 1.9600 13 / 16

13.8384 13.8384 13.8384 13.8384 13.8384 13.8384 3.7200 0 3.7200 0.6664 3.7200 1.3132 3.7200 1.9796 3.7200 2.6460 3.7200 3.9592

6.7081 2.5900 1.0000 3.8416 1.9600 13.8384 3.7200 5.0764 11.2896 3.3600 1.0000 3.8416 1.9600 13.8384 3.7200 6.5856 16.3216 4.0400 1.0000 3.8416 1.9600 13.8384 3.7200 7.9184 22.1841 4.7100 1.0000 3.8416 1.9600 13.8384 3.7200 9.2316 6.7081 2.5900 1.0000 0 0 13.8384 3.7200 0 6.7081 2.5900 1.0000 0.0576 0.2400 13.8384 3.7200 0.6216 6.7081 2.5900 1.0000 0.2401 0.4900 13.8384 3.7200 1.2691 6.7081 2.5900 1.0000 0.5329 0.7300 13.8384 3.7200 1.8907 6.7081 2.5900 1.0000 0.9604 0.9800 13.8384 3.7200 2.5382 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900 6.7081 2.5900

9 至 10 列

0 7.2912 1.2648 7.2912 2.4924 7.2912 3.7572 7.2912 5.0220 7.2912 7.5144 7.2912 9.6348 7.2912 12.4992 7.2912 15.0288 7.2912 17.5212 7.2912 9.6348 0 9.6348 0.8928 9.6348 1.8228 9.6348 2.7156 9.6348 3.6456 9.6348 5.4684 9.6348 7.2912

1.0000 2.1609 1.4700 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 6.0025 2.4500 1.0000 8.6436 2.9400 1.0000 11.6964 3.4200 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 1.0000 3.8416 1.9600 14 / 16

13.8384 13.8384 13.8384 13.8384 13.8384 0 0.2209 0.8649 1.9600 3.4596 7.7841 13.8384 21.6225 31.1364 42.3801 3.7200 3.8073 3.7200 5.0764 3.7200 6.3455 3.7200 7.6146 3.7200 8.8578 0 5.0764 0.4700 5.0764 0.9300 5.0764 1.4000 5.0764 1.8600 5.0764 2.7900 5.0764 3.7200 5.0764 4.6500 5.0764 5.5800 5.0764 6.5100 5.0764 9.6348 9.1140 9.6348 10.9368 9.6348 12.7224 0 0 1.2173 0.9212 2.4087 1.8228 3.6260 2.7440 4.8174 3.6456 7.2261 5.4684 9.6348 7.2912 12.0435 9.1140 14.4522 10.9368 16.8609 12.7596

%以上为拟合函数代码

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9.6348 9.1140 9.6348 10.9368 9.6348 12.7224 0 0 1.2173 0.9212 2.4087 1.8228 3.6260 2.7440 4.8174 3.6456 7.2261 5.4684 9.6348 7.2912 12.0435 9.1140 14.4522 10.9368 16.8609 12.7596

%以上为拟合函数代码

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