实验2：线性代数实验

撰写人姓名： 邓阳春 撰写时间： 2009-11-08 审查人姓名： 侯兆欣

实 验 全 过 程 记 录

时间 实验 线性代数实验 名称 姓 名 同实验者 邓阳春 侯兆欣 学 号 学 号 0705020305 0705020125 地点 室 安全07-3班 安全07-1班 数学实验2学时

一、实验目的

1、熟练掌握矩阵的基本运算；

2、熟练掌握一般线性方程组的求解；

3、掌握最小二乘法的MATLAB实现，矩阵特征值、特征向量的求解以及化二次型为标准型。

二、实验内容：

1、利用MATLAB实现矩阵的基本运算；

2、利用MATLAB求解一般线性方程组，利用最小二乘法求解超定方程组； 3、利用MATLAB化二次型为标准型。 三、实验用仪器设备及材料

软件需求：

操作系统：Windows XP或更新的版本； 实用数学软件：MATLAB 7.0或更新的版本。 硬件需求：

Pentium IV 450以上的CPU处理器、512MB以上的内存、5000MB的自由硬盘空间、 CD-ROM驱动器、打印机、打印纸等。

四、实验原理：

线性代数理论

五、实验步骤：

1、计算下列行列式：

41241202⑴ ；

105200117

>> A=[4 1 2 4;1 2 0 2;10 5 2 0;0 1 1 7]; >> det(A)

ans =

0

a10?1b1⑵

0?1c00?1001d。

>> syms a b c d;

>> A=[a 1 0 0;-1 b 1 0;0 -1 c 1;0 0 -1 d]; >> det(A) ans =

a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1

?212??，求?(A)?A10?6A9?5A8。 1222、设A??????221??

>> A=[2 1 2;1 2 2;2 2 1]; >> A^10-6*A^9+5*A^8

ans =

2 2 -4 2 2 -4 -4 -4 8

3、求下列矩阵的逆矩阵：

?12?1??； 34?2⑴ ?????5?41??

>> A=[2 1 2;1 2 2;2 2 1]; >> A^10-6*A^9+5*A^8

ans =

2 2 -4 2 2 -4 -4 -4 8

>> A=[1 2 -1;3 4 -2;5 -4 1]; >> inv(A)

ans =

-2.0000 1.0000 -0.0000 -6.5000 3.0000 -0.5000 -16.0000 7.0000 -1.0000

??⑵ ??0??01?00?1??。 ???>> syms a

>> A=[a 1 0;0 a 1;0 0 a]; >> inv(A) ans =

[ 1/a, -1/a^2, 1/a^3] [ 0, 1/a, -1/a^2] [ 0, 0, 1/a]

?0,?1,2??1?4、给定线性方程组：Ax?b，A??3,5,7?，b??2?，利用A\\b或inv(A)*b求出其解。

???????0,1,8???3??

>> A=[0 -1 2;3 5 7;0 1 8]; b=[1 2 3]; x=A\\b' x =

0.0667 -0.2000 0.4000

>> x=inv(A)*b' x =

0.0667 -0.2000 0.4000

?4,2,3?5、设A??1,1,0?，AB?A?2B，求B。

?????1,2,3??>> A=[4 2 3;1 1 0;-1 2 3];

B=A/(A-2*eye(3)) B =

3.0000 -8.0000 -6.0000 2.0000 -9.0000 -6.0000 -2.0000 12.0000 9.0000 6、把下列矩阵化为行最简形：

?102?1??； 2031⑴ ?????304?3??>> A=[1 0 2 -1;2 0 3 1;3 0 4 -3]; >> rref(A)

ans =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

?231?3?7??120?2?4??。 ⑵ ??3?283?4???2?3743??>> A=[2 3 1 -3 -7;1 2 0 -2 -4;3 -2 8 3 -4;2 -3 7 4 3]; >> rref(A)

ans =

1 0 2 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

7、利用MATLAB求向量组?1??2?135?，?2???4313?，?3??3?234?，

?4??4?11517?，?5??76?70?的极大线性无关组，并将其余向量用该极

大线性无关组线性表示。

>> a1=[2 -1 3 5]; >> a2=[-4 3 1 3]; >> a3=[3 -2 3 4]; >> a4=[4 -1 15 17]; >> a5=[7 6 -7 0];

>> A=[a1' a2' a3' a4' a5']

A =

2 -4 3 4 7 -1 3 -2 -1 6 3 1 3 15 -7 5 3 4 17 0 >> [R,j]=rref(A) R =

1.0000 0 0 0 37.6667 0 1.0000 0 0 -14.0000 0 0 1.0000 0 -43.6667 0 0 0 1.0000 1.6667 j =

1 2 3 4

37.6667*a1+(-14.0000)*a2+(43.6667)*a3+1.6667*a4=a5

?x1?x2?x3?x4?0?x?2x?2x?134?28、a、b取何值时，方程组?有唯一解，无解，无穷多组解，并

?x?a?1x?2x?b?34?2??3x?2x?x?ax??1?1234 求有无穷多组时的一般解。

>> syms a b;

A=[1 1 1 1;0 1 2 2;0 -1 a-1 -2;3 2 1 a]; det(A) ans = a^2-1

>> a=solve('a^2-1','a') a = 1

-1

当a不等于正负1时，有唯一解; 当a=1或-1时有无穷多解.

9、某一种甲虫最多可活两年，且其年龄群体分配数的矩阵如下：

06??0?A??1/200????01/30??

如果有600只在第一年龄群体，300只在第二年龄群体，100只在第三年龄群体，则

年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变，从数学上给以解释。

>> x0=[600;300;100];

>> A=[0 0 6;1/2 0 0;0 1/3 0]; >> x1=A*x0 x1 = 600 300 100

>> x2=A*x1 x2 = 600 300 100 x3 = 600 300 100

>> x4=A*x3 x4 = 600 300 100

>> eig(A) ans =

-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 1.0000

>> x=[600;300;100];d1=1.0000; >> A=[0 0 6;1/2 0 0;0 1/3 0]; >> y=A*x; >> y1=d1*x; >> k=1;

>> while max(abs(y-y1))>0.1 x=y; y=A*x; y1=d1*x; k=k+1; end

可知，当k为正整数时，x^(k+1)=x^k .所以，年复一年各年龄群体的甲虫数目不改

变

10、设定两个一般的4阶上三角矩阵，用MATLAB验证其乘积还是上三角矩阵，其逆矩阵 还是上三角矩阵。

>> a=[1 5 7 6;0 5 6 7;0 0 4 6;0 0 0 9]; b=[1 8 1 7;0 7 7 4;0 0 1 9;0 0 0 8]; a*b

ans =

1 43 43 138 0 35 41 130 0 0 4 84 0 0 0 72

>> inv(a)

ans =

1.0000 -1.0000 -0.2500 0.2778 0 0.2000 -0.3000 0.0444 0 0 0.2500 -0.1667 0 0 0 0.1111

11、求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断能否对角化，若能，则将其对角化。

??120??；

?230⑴ A??????302??>> a=[-1 2 0;-2 3 0;3 0 2];

>> [v d]=eig(a) v =

0 0.3015 0.3015 0 0.3015 0.3015 1.0000 -0.9045 -0.9045 d =

2 0 0 0 1 0 0 0 1

>> rank(v)

ans =

2

V不满秩，不可相似对角化。

??211??? ⑵ A?020； ?????413??

>> a=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; >> [v d]=eig(a) v =

-0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 d =

-1 0 0 0 2 0 0 0 2

>> rank(v)

ans =

3

V满秩，可相似对角化。

?54?2??? ⑶ A?452。 ?????228??>> a=[5 4 -2;4 5 2;-2 2 8];

>> [v d]=eig(a) v =

-0.6667 -0.6464 0.3712 0.6667 -0.7398 -0.0909 -0.3333 -0.1868 -0.9241 d =

-0.0000 0 0 0 9.0000 0 0 0 9.0000

>> rank(v)

ans =

3

V满秩，可相似对角化。

12、 将下列二次型化为标准型：

22?3x3?4x1x2?4x2x3； ⑴ f(x1,x2,x3)?x12?2x2>> a=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3];

>> [v d]=eig(a) v =

-0.6667 -0.6667 0.3333 -0.6667 0.3333 -0.6667 -0.3333 0.6667 0.6667 d =

-1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 5.0000

⑵ f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x2x3。

>> a=[0 1 0;1 0 -1;0 -1 0]; >> [v d]=eig(a) v =

-0.5000 0.7071 -0.5000 0.7071 -0.0000 -0.7071 0.5000 0.7071 0.5000 d =

-1.4142 0 0 0 -0.0000 0 0 0 1.4142

成绩评定： 指导教师：

年 月 日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8fgo.html