同济大学(高等数学)_第十章_重积分

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且f?x,y??0所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,?,??n,

1

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

?ξ1,ε1?, ?ξ2,ε2?, ?, ?ξn,εn? 对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f(ξi，εi)而底为Δσi的平顶柱体的体积来近似代替.

(3)这n个平顶柱体的体积之和

?f(?,?)??iii?1ni

就是曲顶柱体体积的近似值.

(4)用λ表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，即λ?maxd?Δσi?.当λ?0 (可理解为Δσi1?i?n收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：

V?lim?f(?i,?i)??i.

??0i?1n1.1.2 平面薄片的质量

设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点(x，y)处的面密度是π?π(x,y).设?(x,y)?0且在D上连续，求薄片的质量(见图10-3).

图10-3

先分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,?,??n

在每个小闭区域上任取一点

?ξ1,ε1?, ?ξ2,ε2?, ?, ?ξn,εn?

近似地，以点(ξi,εi)处的面密度π(ξi,εi)代替小闭区域Δσi上各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为π(ξi,εi)Δσi，于是整个薄片质量的近似值是

??(?,?)??iii?1ni

用λ?maxd?Δσi?表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，当D无限细分，即当λ?0时，

1?i?n上述和式的极限就是薄片的质量M，即

M?lim?π(ξi,εi)Δσi.

λ?0i?1n以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z?f(x,y)在D上有界.将D分为n个小区域

2

??1,??2,?,??n

同时用Δσi表示该小区域的面积，记Δσi的直径为d?Δσi?，并令λ?maxd?Δσi?.

1?i?n在Δσi上任取一点(ξi,εi), (i?1,2,?,n)，作乘积

f?ξi,εi?Δσi

并作和式

Sn??f(ξi,εi)Δσi.

i?1n若λ?0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点(εi,εi)的取法)，则称这个极限值为函数z?f(x,y)在D上的二重积分，记作??f(x,y)d?，即

D?f(?,?)Δ???f(x,y)d??lim?D?0iii?1ni， (10-1-1)

其中D叫做积分区域，f(x,y)叫做被积函数，dσ叫做面积元素，f(x,y)dσ叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，?f(ξi,εi)Δσi叫做积分和.

i?1n在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和x=常数)把区域D分割成

小矩形，它的边长是?x和Δy，从而Δσ?Δx?Δy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d??dx?dy，二重积分也可记作

?f(?,?)????f(x,y)dxdy?lim?D?0iii?1ni.

有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函

数z?f(x,y)在区域D上的二重积分

V???f(x,y)d?；

D薄片的质量M是面密度π?π(x,y)在区域D上的二重积分

M????(x,y)d?.

D因为总可以把被积函数z?f(x,y)看作空间的一曲面，所以当f(x,y)为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f(x,y)为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果f(x,y)在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称f(x,y)在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.

如果f(x,y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f(x,y)在D上可积.

我们总假定z?f(x,y)在闭区域D上连续，所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.

3

性质1 常数因子可提到积分号外面.设k是常数，则

??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?.

DD性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即

???f(x,y)?g(x,y)?d????f(x,y)d????g(x,y)d?.

DDD性质3 设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D分为区域D1和D2(见图10-4)，则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?. (10-1-2)

DD1D2图10-4

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.

性质4 设在闭区域D上f(x,y)?1，σ为D的面积，则

??1d????d???.

DD

从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质5 设在闭区域D上有f(x,y)?g(x,y)，则

??f(x,y)d????g(x,y)d?.

DD由于 ?f(x,y)?f(x,y)?f(x,y) 又有

??f(x,y)d????DDf(x,y)d?.

这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.

性质6 设M、m分别为f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有

m????f(x,y)d??M?.

D上述不等式是二重积分估值的不等式.因为m?f(x,y)?M，所以由性质5有

??md????f(x,y)d????Md?，

DDD即 m????md????f(x,y)d????Md??M?.

DDD性质7 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,ε)使得

??f(x,y)d??f(?,?)??.

D 4

这一性质称为二重积分的中值定理. 证 显然??0.

因f(x,y)在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点?x1,y1?使f?x1,y1?等于最大值M，又存在一点(x2,y2)使f(x2,y2)等于最小值m，则对于D上所有点(x,y)，有

m?f?x2,y2??f?x,y??f?x1,y1??M.

由性质1和性质5，可得

m??d????f(x,y)d??M??d?．

DDD再由性质4得

m????f(x,y)d??M?，

D或

m?1???f(x,y)d??M．

D根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点(ξ,ε)，使得

1?即

??f(x,y)d??f(?,?)，

D??f(x,y)d??f(?,?)?， (ξ,ε)?D.

D证毕.

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当S:z?f(x,y)为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点(ξ,ε)的函数值f(ξ,ε)为高的平顶柱体，它的体积f(ξ,ε)?σ就等于这个曲顶柱体的体积.

习题10—1

1.根据二重积分性质，比较??ln(x?y)d?与???ln(x?y)?d?的大小，其中

D2D（1,1）（0,1）（1,0）(1)D表示以、、为顶点的三角形；

(2)D表示矩形区域??x,y?|3?x?5,0?y?2?. 2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)??a?x2?y2d?，D?{?x，y?|x2?y2?a2}；

D??(2)??a2?x2?y2d?，D?{?x，y?|x2?y2?a2}.

D3.设f?x,y?为连续函数，求lim1r?0πr2??f(x,y)d?,

DD?{?x,y?|?x?x0???y?y0??r2}.

4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：

(1)I???4+xyd?，D?{?x，y?|0?x?2，0?y?2}；

D22 5

选择适当的次序进行积分.

例4 设f(x,y)连续，求证

?证 上式左端可表为

badx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx.

aayxbb?badx?f(x,y)dy???f(x,y)dσ，

aDx其中D:a?x?b，a?y?x (图10—12)区域D也可表为：a?y?b，y?x?b，

图10—12

于是改变积分次序，可得

??Df(x,y)d???dy?f(x,y)dx

aybb由此可得所要证明的等式.

例5 计算二重积分??Dsinxdσ，其中D是直线y?x与抛物线y?x2所围成的区域. x解 把区域D表示为x型区域，即D=?x,y?|0?x?1,x2?y?x.于是

1xsinx1?sinxsinxdσ?dxdy?y???dx 2?????0x0?xxx?x2Dx?????1?x?sinxdx

01???cosx?xcosx?sinx?

0?1?sin1?0.1585

1注：如果化为y型区域即先对x积分，则有

1ysinxsinxdσ?dydx. ????0yxxD由于sinx的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，

x

除了要注意积分区域D的特点（区分是x型区域，还是y型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.

2.2 二重积分的换元法

与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分

?f?x?dx作变量替换x?φ(t)时，要把f?x?变成f?φ?t??，dx成对应t的值.同样，对二重积分??f?x,y?d?作变量替换

ab变成φ?(t)dt,积分限a,b也要变

D?x?x?u,v?,? ?y?yu,v,???? 11

f?x,y?fx?u,v?,y?u,v??时，既要把变成?，还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区

域Duv，并把D中的面积元素dσ变成Duv中的面积元素dσ*.其中最常用的是极坐标系的情形.

2.2.1 极坐标系的情形

下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标P?r,ζ?与该点的直角坐标P?x,y?有如下互换公式：

x?rcosζy,?rsζin;?r0????ζ,?0π； 2y;???x,y???. x我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分

??f?x,y?d?

r?x2?y2,ζ?arctanD用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z?f?x,y?在区域D上连续.

在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域D为一系列小矩形，从而得到面积元素dσ?dxdy.

在极坐标系中，与此类似，我们用“r?常数”的一族同心圆，以及“ζ?常数”的一族过极点的射线，将区域D分成n个小区域?σij?i,j?1,2,?,n?，如图10—13所示.

图10—13

小区域面积

21?σij???ri??ri??ζj?ri2?ζj?

?2?1?ri?ri?ζj??ri2?ζj.

2

记 ?πij?则有

r??ζ??j,?i,j???i221?,?2,n, ?，

?σij?ri?ri?ζj?ο?πij,

故有

dσ?rdrdζ.

??则

??f?x,y?dσ???f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ.

DD这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函

数中的x,y分别换成rcosζ,rsinζ，并把直角坐标的面积元素dσ?dxdy换成极坐标的面积元素

12

rdrdζ即可.但必须指出的是：区域D必须用极坐标系表示.

在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论： (1) 极点O在区域D外部，如图10—14所示.

图10—14

设区域D在两条射线ζ?α,ζ?β之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B，将区域D的

［α,β］边界分为两部分，其方程分别为r?r1?ζ?,r?r2?ζ?且均为上的连续函数.此时

D???r,ζ?|r1?ζ??r?r2?ζ?,α?ζ?β?.

于是

??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?Dαβr2?ζ?r1?ζ?f?rcosζ,rsinζ?rdr

(2) 极点O在区域D内部，如图10—15所示.若区域D的边界曲线方程为r?r?ζ?，这时积分区域D为

D???r,ζ?|0?r?r?ζ?,0?ζ?2π?，

且r?ζ?在??0,2π??上连续.

图10—15

于是

??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?D02πr?ζ?0f?rcosζ,rsinζ?rdr.

(3) 极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图10—16所示.

图10—16

13

D???r,ζ?|α?ζ?β,0?r?r?ζ??,

且r?ζ?在??0,2π??上连续，则有

??f?rcosζ,rsinζ?rdrdζ??dζ?Dαβr?ζ?0f?rcosζ,rsinζ?rdr.

在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来决定.

?y?一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为fx2?y2或f??等形式时，

?x?常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.

例6 计算二重积分

??I???D1?x2?y2dxdy，

1?x2?y2其中D??x,y?|x2?y2?a2?0?a?1?.

解 在极坐标系中积分区域D为

D???r,ζ?|0?r?a,0?ζ?2π?,

??则有

I???D2πa1?r21?x2?y2dxdy?d??0?01?r2rdr 1?x2?y2?π?a0a1?r21?t2rdr令t?rπdt 2?021?r1?t2?πarcsint?1?t?2?a20?πarcsina2?1?a2?1.

??例7 计算二重积分??xy2d?，其中D是单位圆在第I象限的部分.

D解 采用极坐标系. D可表示为0?ζ?π， 0?r?1（图10-17），

2图10-17

于是有

22??xyd???d??rcos??rsin??rdr D002π21??cosζsin2ζdζ?r4dr?00π211. 15

14

例8 计算二重积分??x2d?，其中D是二圆x2?y2?1和x2?y2?4之间的环形闭区域.

D解 区域D：0?ζ?2π，1?r?2，如图10—18所示.

图10—18

于是

222??xd???d??rcos??rdr??D012π22π0

21?cos2?15d??r3dr?π.

1242.2.2. 直角坐标系的情形

我们先来考虑面积元素的变化情况.

设函数组x?x(u,v)，y?y(u,v)为单值函数，在Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式

?(x,y)?0,

?(u,v)则由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数

u?u(x,y)，v?v(x,y).

这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为

J?xOy面上的曲线u(x,y)?u0，v(x,y)?v0.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线

u?ui，v?vj (i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)

将区域Duv分割成若干个小矩形，则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网（图10—19）.

图10—19

在Duv中任取一个典型的小区域ΔDuv (面积记为Δσ*)及其在D中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.

15

图10—20

设ΔD的四条边界线的交点为P1(x0,y0)，P2(x0??x1,y0??y1)，P3(x0??x2,y0??y2)和

??????????P4(x0?Δx3,y0?Δy3).当Δu,Δv很小时，Δxi,Δyi?i?1,2,3?也很小，ΔD的面积可用P1P2与P1P4构成的平行四边形面积近似.即

??????????Δσ?P1P2?P1P4.

而

?????P1P2??Δx1?i??Δy1?j

?［x?u0?Δu,v0??x?u0,v0?］i?［y?u0?Δu,v0??y(u0,v0］j ?［x?u?u0,v0?Δu］i?［y?u?u0,v0?Δu］j.

同理 从而得

?????P1P4?［x?v?u0,v0?Δv］i?［y?v?u0,v0?Δv］j.

?y?x???????????uΔu?uΔu的绝对值 Δσ?P1P2?P1P4??y?xΔvΔv?v?v?(x,y)?(x,y)??ΔuΔv?Δσ*. ?(u,v)?(u,v)因此，二重积分作变量替换x?x(u,v),y?y(u,v)后，面积元素dσ与dσ*的关系为

d???(x,y)d?*, ?(u,v)?(x,y)dudv. ?(u,v)或

dxdy?由此得如下结论：

定理1 若f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续，变换T：x?x(u,v),y?y(u,v)，将uOv平面上的闭区域Duv变成xOy平面上的D,且满足:

(1)x(u,v),y(u,v)在Duv上具有一阶连续偏导数， (2)在Duv上雅可比式

?(x,y)?0；

?(u,v)(3)变换T：Duv?D是一对一的，则有

J? 16

??f(x,y)dxdy???f?x(u,v),y(u,v)?Jdudv.

DDuv例9 计算二重积分??eDy?xy?x其中D是由x轴，y轴和直线x?y?2所围成的闭区域. dxdy，

解 令u?y?x,v?y?x，则

v?uv?u. ，y?22在此变换下，xOy面上闭区域D变为uOv面上的对应区域D?(图10—21).

x?图10—21

雅可比式为

11?(x,y)1J??22??，

?(u,v)21122?则得

??eDy?xy?xdxdy???e?D?uv1dudv 2uv1212??dv?evdu??(e?e-1)vdv

?v2020=e?e?1.

例10 设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域：x2?ay,x2?by,y2?px，

y2?qx，其中0＜a＜b, 0＜p＜q，求D的面积.

解 由D的构造特点，引入两族抛物线y2?ux,x2?vy，则由u从p变到q，v从a变到b时，这两族抛物线交织成区域D?（图10—22）.

图10—22

雅可比行列式为

J??(x,y)1 ??(u,v)?(u,v)?(x,y)

17

?1?yx22xy21??， 32yx2?x2y则所求面积

11S???dxdy???dudv??b?a??q?p?.

33DD?

习题10—2

1.画出积分区域，把??f(x,y)d?化为二次积分：

D(1)D?{?x,y｜?x?y?1,y?x?1,y?0}； (2)D?{?x,y｜?y?x?2，x?y2}. 2.改变二次积分的积分次序： (1)?dy?022yy22xf(x,y)dx； (2)?dx?1elnx0f(x,y)dy；

(3)?dx?02xf?x,y?dy； (4)?dx?-1D11?x2?1?x2f(x,y)dy.

3.设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(x,y)d?，其中D是由直线y?0,x?1及曲线y?x2所围成的区域，求f(x,y). 4.计算下列二重积分：

(1)???x2?y2?d?，D???x,y?|x?1,y?1?；

D(2)??Dsinxdσ，其中D是直线y?x与抛物线y??x所围成的区域； x(3)??xd?，D??x,y?|x2?y2?x；

D?? (4)??x2e-ydxdy，D是顶点分别为O?0,0?，A?1，1?，B?0,1?的三角形闭区域.

D25.求由坐标平面及x?2,y?3,x?y?z?4所围的角柱体的体积.

6.计算由四个平面x?0,y?0,x?1,y?1所围的柱体被平面z?0及2x?3y?z?6截得的立体的体积.

7.在极坐标系下计算二重积分：

(1)??sinx2?y2dxdy, D?{?x,y?|π2?x2?y2?4π2}；

D(2)??(x?y)dxdy， D?DD??x,y?|x2?y2?x?y?；

(3)??xydxdy，其中D为圆域x2?y2?a2；

(4)??ln(1?x2?y2)dxdy，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

D区域.

18

8. 将下列积分化为极坐标形式： (1)

?2a0dx?2ax?x20(x2?y2)dy; (2)

?a0dx?x0x2?y2dy.

9.求球体x2?y2?z2?R2被圆柱面x2?y2?2Rx所割下部分的体积. 10.作适当坐标变换，计算下列二重积分：

x2(1)??2dxdy,由xy?1，x?2，y?x所围成的平面闭区域；

yD(2)??eDyx?ydxdy，D?{?x,y?|x?y?1,x?0,y?0}；

(3)??DD22y2x2yx1?2?2dxdy, 其中D是椭圆2?2?1所围成的平面闭区域；

abab(4)???x?y?sin?x?y?dxdy, D?{?x,y?|0?x?y??,0?x?y??}. 11.设闭区域D由直线x?y?1，x?0，y?0所围成，求证：

?dxdy?2sin1. ??cos??x?y?D?x?y?112.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

(1) 曲线xy?4,xy?8,xy3?5,xy3?15所围成的第一象限的平面闭区域；

（0?a?b,0????）(2) 曲线x?y?a,x?y?b,y??x,y??x所围的闭区域.

19

第3节 三重积分

3.1 三重积分的概念

三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.

在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω，在Ω中每一点(x,y,z)处的体密度为π(x,y,z)，其中π(x,y,z)是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量.

先将空间区域Ω任意分割成n个小区域

Δv1, Δv2, ?, Δvn

(同时也用Δvi表示第i个小区域的体积).在每个小区域Δvi上任取一点(ξi,εi,δi)，由于

π(x,y,z)是连续函数，当区域Δvi充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点(ξi,εi,δi)处的密度，因此每一小块Δvi的质量近似等于

π(ξi,εi,δi)Δvi，

物体的质量就近似等于

?π(ξ,ε,δ)Δviiii?1ni.

令小区域的个数n无限增加，而且每个小区域Δvi无限地收缩为一点，即小区域的最大直径λ?maxd?Δvi??0时，取极限即得该物体的质量

1?i?nnM?lim?π(ξi,εi,δi)Δvi.

λ?0i?1由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：

定义1 设Ω是空间的有界闭区域，f(x,y,z)是Ω上的有界函数，任意将Ω分成n个小区域Δv1,Δv2,?,Δvn，同时用Δvi表示该小区域的体积，记Δvi的直径为d?Δvi?，并令?,n)，作乘积f(ξi,εi,δi)Δvi，把这些λ?maxd?Δvi?，在Δvi上任取一点(ξi,εi,δi)，(i?1,2,1?i?nnn乘积加起来得和式?f(ξi,εi,δi)Δvi，若极限lim?f(ξi,εi,δi)Δvi存在(它不依赖于区域Ω的分

i?1λ?0i?1法及点(?i,?i,?i)的取法)，则称这个极限值为函数f(x,y,z)在空间区域Ω上的三重积分，记作

???f?x,y,z?dv,

?即

?f(?,?,?)?v???f?x,y,z?dv?lim???0iiii?1ni,

其中f(x,y,z)叫做被积函数，Ω叫做积分区域，dv叫做体积元素.

在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号???f?x,y,z?dxdydz来表示，即在直角坐

?标系中体积元素dv可记为dxdydz.

有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数π(x,y,z)在区域Ω上的三重积分表示，即

M??????x,y,z?dv,

?如果在区域Ω上f(x,y,z)?1，并且Ω的体积记作V，那么由三重积分定义可知

???1dv????dv?V.

?? 20

这就是说，三重积分???dv在数值上等于区域Ω的体积.

?三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述. 3.2 三重积分的计算

为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 三重积分???f(x,y,z)dv表示占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域，其上、下分别

?由连续曲面z?z1(x,y),z?z2(x,y)所围成，它们在xOy平面上的投影是有界闭区域D；Ω的侧面由柱面所围成，其母线平行于z轴，准线是D的边界线.这时，区域Ω可表示为

Ω???x,y,z?|z1(x,y)?z?z2(x,y), (x,y)?D? 先在区域D内点(x,y)处取一面积微元dσ?dxdy，对应地有Ω中的一个小条，再用与xOy面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10—23).

图10—23

于是以dσ为底，以dz为高的小薄片的质量为

f(x,y,z)dxdydz.

把这些小薄片沿z轴方向积分，得小条的质量为

?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dxdy. ????z1(x,y)?然后，再在区域D上积分，就得到物体的质量

?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dxdy. ??????z1(x,y)?D

也就是说，得到了三重积分的计算公式 z2(x,y)z2(x,y)??f(x,y,z)dzdxdy=f?x,y,z?dv????z(x,y)???dxdy?f(x,y,z)dz.  (10-3-1) ????z(x,y)1??1 ?DD例1 计算三重积分???xdxdydz，其中Ω是三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的区域

?（图10—24）.

图10—24

21

解 积分区域Ω在xOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线x?y?1围成的区域：0?x?1，0?y?1?x，所以

???xdxdydz???dxdy??D101?x?y01?xxdz??dx?011?x0dy?1?x?y0xdz

??dx?10x(1?x?y)dy

(1?x)21 ??xdx?. 02242 x?0，y?0，z?0，x2?y2?z2?R（见图例2 计算三重积分???zdv，其中Ω:10—25）.

?图10—25

解 区域Ω在xOy平面上的投影区域D:x?0，y?0，x2?y2?R2.对于D中任意一点(x,y)，相应地竖坐标从z?0变到z?R2?x2?y2.因此，由公式(10-3-1)，得

R2?x2?y2

???zdv???dxdy??D0zdz???D12R?x2?y2?dxdy ?2R1??2dζ?(R2?π2)πdπ

0202π4?1π?2ππ4. ???R???R??22?2416??0Rπ三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方

［A,B］法计算.若积分区域Ω如图10-26所示，它在z轴的投影区间为，对于区间内的任意一点

z，过z作平行于xOy面的平面，该平面与区域Ω相交为一平面区域，记作D(z).这时三重积分可以化为先对区域D?z?求二重积分，再对z在?A,B?上求定积分，得

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy. (10-3-2)

AD(z)B图10—26

22

我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分.

［0,R］区域Ω在z轴上的投影区间为，对于该区间中任意一点z，相应地有一平面区域

D?z?:x?0，y?0与x2?y2?R2?z2与之对应.由公式(10-3-2)，得

???zdv??dz??zdxdy.

?0D?z?R求内层积分时，z可以看作常数：并且D?z?:x2?y2?R2?z2是1个圆，其面积为

4π?R2?z2，所以 4?????zdv=?z?4π?R?0R12?z2?dz?2π4R. 1622yxz例3 计算三重积分???zdv，其中Ω:2?2?2?1. abc?解 我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z轴上的投影区间为［?c,c］，对于区间内任意一点z，相应地有一平面区域D?z?：

2?1 2zb(1?2)c?z2?与之相应，该区域是一椭圆(图10—27)，其面积为πab?1?2?.所以

c??2za(1?2)c22x2?y2ccz2?222?zdv=zdzdxdy?πabz1?dz?4πabc3?4πabc3. ??2????????c?c1515?c??D(z)图10—27

3.3 三重积分的换元法

对于三重积分???f(x,y,z)dv作变量替换：

?

?x?x(r,s,t)??y?y(r,s,t) ?z?z(r,s,t)?它给出了Orst空间到Oxyz空间的一个映射，若x?r,s,t?,y?r,s,t?,z?r,s,t?有连续的一阶偏导

?(x,y,z)?0,则建立了Orst空间中区域Ω*和Oxyz空间中相应区域Ω的一一对应，与二

?(r,s,t)重积分换元法类似，我们有

数，且

23

?(x,y,z)drdsdt.

?(r,s,t)dv?于是，有换元公式

????f(x,y,z)dv????f?x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)???*?(x,y,z)drdsdt.

?(r,s,t)作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换. 3.3.1 柱面坐标变换

三重积分在柱面坐标系中的计算法如下： 变换

?x?rcosζ,??y?rsinζ, ?z?z?称为柱面坐标变换，空间点M?x,y,z?与(r,ζ,z)建立了一一对应关系，把(r,ζ,z)称为点柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r,ζ为点M在xOy面上的M?x,y,z?的柱面坐标.不难看出，

0?ζ?2π，??＜z＜??（图10—28）. 投影P的极坐标.0?r＜??，图10—28

柱面坐标系的三组坐标面为

(1)r?常数，以z为轴的圆柱面； (2)ζ?常数，过z轴的半平面； (3)z?常数，平行于xOy面的平面.

cosζ?rsinζ0?(x,y,z)?sinζrcosζ0?r，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：由于

?(r,ζ,z)001dxdydz?rdrdζdz.

于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：

???f(x,y,z)d z (10-3-3) xdydz=f(?rcos?r,sinz?,r. )r??????至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向

xOy面投影得投影区域D，以确定r,ζ的取值范围，z的范围确定同直角坐标系情形.

例4 计算三重积分???zx2?y2dxdydz，其中Ω是由锥面z?x2?y2与平面z?1所围成

?的区域.

0?r?1，0?ζ?2π (图10—29). 解 在柱面坐标系下，积分区域Ω表示为r?z?1， 24

图10—29

所以有

2π1

222???zx?ydxdydz??d??dr?z?rdz ?00r1例5 计算三重积分?????122r(1?r2)dr?π. 0215x2?y2dxdydz，其中Ω是由曲线y2?2z，x?0绕z轴旋转一周而

?2π?1?成的曲面与两平面z?2，z?8所围之区域.

解 曲线y2=2z，x?0绕z旋转，所得旋转面方程为x2?y2?2z.

设由旋转曲面与平面z?2所围成的区域为Ω1，该区域在xOy平面上的投影为

D1,D1??x,y?|x2+y2?4.由旋转曲面与z?8所围成的区域为Ω2,Ω2在xOy平面上的投影为D2，D2?{?x,y?|x2+y2?16}.则有Ω2?Ω?Ω1,如图10—30所示.

??图10—30

8????x?2?y2?dxdydz???drd??r3dz???drd??r2r3dz

D12D22232π008??dζ?6rdr??02π?r2?dζ?r?8??dr?336π. 22??433.3.2 球面坐标变换

三重积分在球面坐标系中的计算法如下： 变换

25

?x?rsinφcosζ,??y?rsinφsinζ, ?z?rcosφ?称为球面坐标变换，空间点M?x,y,z?与(r,φ,ζ)建立了一一对应关系，把(r,φ,ζ)称为点M?x,y,z?的球面坐标(图10-31)，其中

0?r＜??,0?φ?π,0?ζ?2π.

图10-31

球面坐标系的三组坐标面为：

(1)r?常数，以原点为中心的球面；

(2)φ?常数，以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为φ的圆锥面；

(3)ζ?常数，过z轴的半平面.

由于球面坐标变换的雅可比行列式为

sinφcosζrcosφcosζ?rsinφsinζ?(x,y,z)?sinφsinζrcosφsinζrsinφcosζ?r2sinφ，

?(r,φ,ζ)cosφ?rsinφ0则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:

dxdydz?r2sinφdrdζdφ.

于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为

???f(x,y,z)dxdydz=???f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)?rsin?drd?d?. (10-3-4)

???2例6 计算三重积分

???(x?2，其中Ω表示圆锥面x2?y2?z2与球面?y2?z2)dxdydzx2?y2?z2?2Rz所围的较大部分立体.

解 在球面坐标变换下，球面方程变形为r?2Rcosφ，锥面为φ?π(图10—32).这时积分

4区域Ω表示为

π0?ζ?2π， 0?φ?， 0?r?2Rcosφ，

4 26

图10—32

所以

???(x?2ππ42?y2?z2)dxdydz=???r2?r2sin?drd?d?

??285. πR00015例7 计算三重积分???(2y?x2?z2)dxdydz，其中Ω是由曲面x2?y2?z2?a2，

??dζ?dφ?2Rcosφ42Rcosφ02π4rsinφdr?sinφ(r5)?50πdφ??x2?y2?z2?4a2，x2?z2?y所围成的区域.

解 积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为

x?rsinφcosζ,z?rsinφsinζ,y?rcosφ，

这时dv?r2sinφdrdφdζ，积分区域Ω表示为a?r?2a,0?φ?π,0?ζ?2π (图10—33).

4图10—33

所以

222ππ4

2a1515?4. (2y?x?z)dxdydz=d?d?(2rcos??rsin?)r2sin?dr???π?aπ???????00a816???值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积

分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域Ω的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算.



27

习题10-3

1.化三重积分I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域Ω分别是.

?(1) 由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0，z?0所围成的闭区域； (2) 由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的闭区域. 2.在直角坐标系下计算三重积分：

(1)????xy+z2?dxdydz，其中???-2,5???-3,3???0,1?；

?(2)???xy2z3dxdydz,其中Ω是由曲面z?xy与平面y?x，x?1，和z?0所围成的闭区域；

?(3)????dxdydz?1+x+y+z?3，其中Ω为平面x?0，y?0，z?0，x?y?z?1所围的四面体；

(4)???ycos?x?z?dxdydz，其中Ω为y?x,y?0,z?0和x?z???所围成的闭区域. 23.利用柱面坐标计算下列三重积分：

(1)???zdv，其中Ω是由曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域；

?(2)????x2?y2?dv，其中Ω是由曲面2x2?y2?z及平面z?4所围成的闭区域.

???4.利用球面坐标计算下列三重积分：

(1)????x2?y2?z2?dv，其中Ω是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域；

?x2yz2(2)???zdv，其中Ω为由2?2?2?1与z?0所围区域.

abc?5.选用适当的坐标计算下列三重积分：

(1)???xydv，其中Ω为柱面x2?y2?1及平面z?1，z?0，x?0，y?0所围成的在第一卦

?2限内的闭区域；

(2)???x2?y2?z2dv，其中Ω是由球面x2?y2?z2?z所围成的闭区域.

?6.利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积： (1)z?6?x2?y2及z?x2?y2； (2)z?x2?y2,z?2x2?y2,y?x,y?x2.

?? 28

第4节 重积分的应用

我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题，这种元素法也可以推广到重积分的应用中，如果所考察的某个量u对于闭区域具有可加性(即：当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量u相应地分成许多部分量，且u等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dΩ时，相应的部分量可近似地表示为f?M?dΩ的形式，其中M为dΩ内的某一点，这个f?M?dΩ称为所求量u的元素而记作du，以它为被积表达式，在闭区域D上积分

u??f(M)d?, (10-4-1)

D这就是所求量的积分表达式，显然当区域D为平面闭区域，M为D内点(x，y)时，dΩ?dσ即为面积微元，则(10-4-1)式可表示为

u???f(x,y)d?.

D当区域D为空间闭区域，M为D内点(x,y,z)时，dΩ?dv即为体积微元，则(10-4-1)式可表示为

u????f(x,y,z)dv.

D下面讨论重积分的一些应用.

4.1 空间曲面的面积

设曲面S的方程为z?f(x,y)，曲面S在xOy坐标面上的投影区域为D，f(x,y)在D上具有连续偏导数fx(x,y)和fy?x,y?,我们要计算曲面S的面积A.

在D上任取一面积微元dσ，在dσ内任取一点P(x,y)，对应曲面S上的点M(x,y,f(x,y))在xOy平面上的投影即点P，点M处曲面S有切平面设为T(图10—34)，以小区域dσ的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，其面积记为ΔA，柱面在切平面上截下一小片平面，其面积记为dA，由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可近似代替曲面S上相应的那一小片曲面的面积ΔA，即

ΔA?dA.

图10—34

设点M处曲面S的法线(指向朝上)与z轴正向的夹角为γ，则根据投影定理有

dσ. dA?cosγ1因为 cosγ?，

221?fx(x,y)?fy(x,y)

29

所以 dA?1?fx2(x,y)?fy2(x,y)dσ,

这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域D上积分，得

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?

D或

A???D?z1??x??2??z????dxdy, ??y?2这就是曲面面积的计算公式.

设曲面方程为x?g(y,z)［或y?h(z,x)］，则可把曲面投影到yOz面上(或zOx面上)，得投影区域Dyz(或Dzx)，类似可得

A???Dyz2??x??x1????dydz,

?z??y???2或

A=??Dzx??y???y?1??????dzdx. ??x???z?22例1 求半径为a的球的表面积.

解 取上半球面方程为z?a2?x2?y2，则它在xOy面上的投影区域D可表示为

x2?y2?a2. ?z?x?由 ，

222?xa?x?y?y?z?,

222?ya?x?y?z???z?a得 1??. ??????222??x???y?a?x?y因为这函数在闭区域D上无界，不能直接应用曲面面积公式，由广义积分得

aA?2??dxdy.

222a?x?yD用极坐标，得

A?2a?dζ?02πa22ra2?r20dr?4πa2.

例2 求旋转抛物面z?1x2?y2被圆柱面x2?y2?R2所截下部分的曲面面积S.

2解 曲面的图形如图10—35所示.

?? 30

图10—35

曲面的方程为z?1x2?y2，它在xOy坐标面上的投影区域为D:x2?y2?r2?R2，即

2r?R.

由 ?z?x，?z?y，

?x?y??得 S???D?z1??x??2??z????dxdy ??y?2???1?x2?y2dxdy.

D用极坐标，则

S???1?r2rdrd???d??r1?r2dr

D002?R2?1R?2π??1?r2d(1?r2)?π?1?R23?20??32??1?. ?4.2 质心

设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)处，质量分别为m1,m2,?,mn.由力学知识知道，该质点系的质心的坐标为

Mx?y?Mn?mxii?1nni?mi?1Mx??i?1n, y?Mnnmiyi,

iin?mi?1其中M??mi为该质点系的总质量. My??mixi，Mx??miyi分别为该质点系对y轴和xi?1i?1i?1轴的静矩.

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，π(x,y)在D上连续，现在要找该薄片的重心坐标.

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ (这个小闭域的面积也记作dσ)，(x,y)是这个闭区域上的一个点.由于dσ直径很小，且π(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出静矩元素dMy及

dMx分别为：

dMy?xπ(x,y)dσ,dMx?yπ(x,y)dσ.

31

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

My???x?(x,y)d?,Mx???y?(x,y)d?.

DD又由第一节知道，薄片的质量为

M????(x,y)d?.

D所以，薄片的重心的坐标为

Myx??M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D,My?x?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，于是便得到均匀薄片质心的坐标为

11x???xd?,y???yd?， (10-4-2)

ADAD其中A???dσ为闭区域D的面积.这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定.我们把均匀

D平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此平面图形D的形心，就可用公式

(10-4-2)计算.

例3 求在r?1，r?2之间的均匀半圆环薄片的质心(图10—36).

图10—36

解 因为闭区域D对称于y轴，所以质心C?x,y?必位于y轴上，于是x?0，D的面积为

113A??22π??12π?π.

222而

??yd???D?0sin?d??rdr???cos??0212???13r32?114， 3所以，由公式(10-4-2)得

y?111428，

yd????3A??Dπ39π228?即质心为??0,?. ?9π?4.3 转动惯量

(x2,y2),?,(xn,yn)处，质量分别为设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1),m1,m2,?,mn.由力学知识知道，该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为：

Ix??ymi,Iy??xi2mi.

2ii?1i?1nn 32

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，假定π(x,y)在

D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy.

应用元素法.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ(这个小闭区域的面积也记作dσ)，(x,y)是这小闭区域上的一个点.因为dσ的直径很小，且π(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于dσ部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素：

dIx?y2π?x,y?dσ，dIy?x2π?x,y?dσ.

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

Ix???y2?(x,y)d?,Iy???x2?(x,y)d?. (10-4-3)

DD例4 求由y2?4ax，y?2a及y轴所围成的均质薄片(面密度为1)关于y轴的转动惯量(图10—37).

图10—37 y2解 区域D由不等式0?y?2a,0?x?所确定.根据转动惯量Iy的计算公式，得

4a Iy???xd???dy?D022ay24a0

x2dx

2a11172a 6ydy??y0192a3?0192a372?a4. 21类似的，占有空间有界闭区域?，在点?x,y,z?处的密度为??x,y,z?（假定??x,y,z?在?上

?连续）的物体对于x,y,z轴的转动惯量为：

Ix?????y2?z2??(x,y,z)dv,??

Iy?????x2?z2??(x,y,z)dv,

Iz?????x2?y2??(x,y,z)dv.

?4.4 引力

设有一平面薄片，占有xOy平面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，假定

π(x,y)在D上连续.现在要计算该薄片对位于z轴上的点M0(0,0,a)(a?0)处的单位质量的质点的引力.

我们应用元素法来求引力F??Fx,Fy,Fz?.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ (这小闭区域的面积也记作dσ)，(x,y)是dσ上的一个点.薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)处，于是，按两质点间的引力公式，可得出

33

π(x,y)dσ0?a)，引力的方向与(x,y,2r一致，其中r?x2?y2?a2，G为引力常数.于是薄片对该质点的引力在三个坐标轴上的投影

薄片中相应于dσ的部分对该质点的引力的大小近似地为GFx,Fy,Fz的元素为：

π(x,y)xdσ， 3rπ(x,y)ydσ， dFy?G3rπ(x,y)(?0adσ) dFz?G. 3r以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得到

?(x,y)xFx?G??d?， 3222D(x?y?a)2

?(x,y)yFy?G??d?， (10-4-4) 3D(x2?y2?a2)2

?(x,y)Fz??Ga??d?. 3D(x2?y2?a2)2dFx?G例5 求面密度为常量、半径为R的匀质圆形薄片：x2?y2?R2，z?0对位于z轴上点M0(0,0,a)(a＞0)处单位质量的质点的引力.

解 由积分区域的对称性易知，Fx?Fy?0.记面密度为常量π，这时

Fz??Ga???Dd?(x2?y2?a)R322d???Ga??d??02?Rrdr(r2?a)3220

??πGaπ?d(r2?a2)0?11??2πGaπ???3??， 22a222?R?a?(r?a)??11??. 故所求引力为?0,0,2πGaπ????????22a?R?a???习 题 10-4

1.求曲面xy?az含在圆柱面x2?y2?a内部的那部分面积.

2.求球面x2?y2?z2?a2含在圆柱面x2?y2?ax内部的那部分面积. 3.求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所割下部分的曲面面积. 4.求密度均匀的上半椭球体的质心..

5.求位于两圆??2sin?和??4sin?之间的均匀薄片的质心..

6.设薄片所占的闭区域D由y?2px，x?x0，y?0所围成，求均匀薄片的质心. 7.设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.

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8.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

2y2x(1)D:2?2?1，求Iy； ab(2)D由抛物线y2?9x与直线x?2所围成，求Ix和Iy；

29.求密度均匀的半径为R的圆形平面薄板关于其切线的转动惯量.

10.求均匀薄片x2?y2?R2,z?0对于轴上一点?0,0,c??c?0?处的单位质量的引力. 11.求均匀柱体x2?y2?a2,0?z?h对于点P?0,0,c??c?h?处的单位质量的引力.

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