2009年145套中考试卷精品分类19.特殊平行四边形(解答题)

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 19．特殊平行四边形（解答题）

三．解答题

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG

于点E ，BF ⊥AG 于点F .

(1) 求证：DE －BF = EF ．

(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似

【答案】(1) 证明:

∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG

∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE

∴ △ABF ≌ △DAE

∴ BF = AE , AF = DE

∴ DE －BF = AF －AE = EF

(2）EF = 2FG 理由如下：

∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FG

BF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG

由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG

(3) 如图

DE + BF = EF

说明:第（2）问不先下结论，只要解答正确，给满分.若只有正确结论，.

2．（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD

中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿

BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．

(1）求证：BE DG =；

(2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 【关键词】全等

三角形的性质与判定、菱形的性质与判

定 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB CD =．

∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．

∴CG AD ⊥．

∴90AEB CGD ∠=∠=°．

∵AE CG =，

∴Rt Rt ABE CDG △≌△．

∴BE DG =．

(2）当32

BC AB =

时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥，

∴四边形ABFG 是平行四边形．

∵Rt ABE △中，60B ∠=°，

∴30BAE ∠=°， ∴12

BE AB =． ∵32

BE CF BC AB ==，， ∴12

EF AB =． ∴AB BF =．

∴四边形ABFG 是菱形．

3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的

长．

【关键词】正方形知识的综合应用

【答案】解（略）．

注：证明BCE CDF △≌△，给5分；根据三角形全等得10DF =，给1分． D

F C B

E

A A D

G C B

F E

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

4．（2009 年佛山市）（1）列式：x 与20的差不小于0；

(2）若（1）中的x （单位：cm ）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加2cm ， 则正方形的面积至少增加多少？

【关键词】正方形的性质，及不等式综合应用

【答案】（1）20x -≥0；（化为20x ≥扣1分）（2）面积增加222(2)4484(c m )x x x +-=+≥．（列式2分，整理1分，不等关系1分）

答：面积至少增加284cm ．

5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位

置，AB ′与CD 交于点E .

(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.

(2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由

.

【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

【答案】（1）△AED ≌△CEB ′

证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴BC =B ′C =AD ，∠B =∠B ′=∠D

又∠B ′EC =∠DEA

∴△AED ≌△CEB ′

(2）延长HP 交AB 于M ，则PM ⊥AB

∵∠1=∠2，PG ⊥AB ′

∴PM =PG

∵CD ∥AB

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴AE =CH =8-3=5

在Rt △ADE 中，DE =3

AD =2

235-=4

∵PH +PM =AD

∴PG +PH =AD =4.

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

6． (2009年达州)如图7，在△ABC 中，AB ＝2BC ，点D 、点E 分别为AB 、AC 的中点，连

结DE ，将△ADE 绕点E 旋转180?

得到△CFE .试判断四边形BCFD 的形状，并说明理由.

【关键词】菱形的判定

【答案】

解：四边形BCFD 是菱形，理由如下：

∵点D 、点E 分别是AB 、AC 的中点

∴DE ∥＝ 12BC

又∵△CFE 是由△ADE 旋转而得

∴DE =EF

∴DF ∥＝ BC

∴四边形BCFD 是平行四边形

又∵AB =2BC ，且点D 为AB 的中点

∴BD =BC

∴ BCFD 是菱形

7．（2009年中山）如图所示，在矩形ABCD 中，12AB AC =，=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，再以11A B 、1AC 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推．

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

（1）求矩形ABCD 的面积；

(2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．

【关键词】矩形、平行四边形有关的计算

【答案】（1）在Rt ABC △中，

16BC ==， 1216192ABCD S AB BC ==?= 矩形．

(2） 矩形ABCD ，对角线相交于点O ， 4ABCD OBC S S ∴=△．

四边形1OBB C 是平行四边形， 11OB CB OC BB ∴∥，∥，

1

1OBC BCB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，． 又BC CB = ，

1OBC B CB ∴△≌△，

112962

OBB C OBC ABCD S S S ∴==

=△， 同理，111111148222

A B C C OBB C ABCD S S S ==??=， 第6个平行四边形的面积为6132ABCD S =．

8．（2009肇庆）如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 （1）求证：△ABD 是正三角形；

(2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

【关键词】菱形

【答案】

(1）证明：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，

∴AC 平分∠BCD ．

又∠ACD=30°，∴∠BCD =60°．

∵∠BAD 与∠BCD 是菱形的一组对角，

∴∠BAD =∠BCD =60°．

∵AB 、AD 是菱形的两条边，∴AB AD =．

∴△ABD 是正三角形．

(2）解：∵O 为菱形对角线的交点， ∴123902AC OC OD BD COD ==

=∠=，，°． 在Rt COD △中，

tan tan 30OD OCD OC =∠=°，

∴tan 30OD OC ===°

∴2AC OC ==AC

的长为

9．（2009肇庆）如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于

F ．

（1）求证：ABF DAE △≌△；

(2）求证：DE EF FB =+．

【关键词】正方形

【答案】证明：（1）∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，

∴∠AED =∠AFB =90°．

∵ABCD 是正方形，DE ⊥AG ，

A D

E

F C

G B O

D

B A

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 ∴∠BAF +∠DAE =90°，∠ADE +∠DAE =90°，

∴∠BAF =∠ADE ． 又在正方形ABCD 中，AB =AD ．在△ABF 与△DAE 中，∠AFB =∠DEA =90°，

∠BAF =∠ADE ，AB =DA ，

∴△ABF ≌△DAE ．

(2）∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ．

又 AF=AE+EF ，∴AF=EF+FB ，∴DE=EF+FB ．

10．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定 A D B

图1

【答案】

证明：∵AF ＝BE ，EF ＝EF ，∴AE ＝BF ．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ．

∴△DAE ≌△CBF ．

11．（2009年广西梧州）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于

点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．

(1）求证：AD ＝CE ；

(2）填空：四边形ADCE 的形状是 ★ ．

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

【答案】

(1）证明：∵MN 是AC 的垂直平分线

∴OA ＝OC ∠AOD ＝∠EOC =90°

∵CE ∥AB

∴∠DAO ＝∠ECO

∴△ADO ≌△CEO

∴AD ＝CE

(2）四边形ADCE 是菱形．

∴DE ＝CF ；

12． (2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，

交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .

(1）求证：AM =DM ； D B A

E

N

M O

e1f8423467ec102de2bd89a0

(2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．

第21题图A

B

C D E F M

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

【答案】（1）略证：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ∥CD ,AB =AD . ∵AC ⊥EF ,

∴AM =AE . ∵AE =21AB , ∴AM =2

1AD . ∴AM =DM .

(2）提示:证明△AME ≌△DMF .DF =AE =2.菱形ABCD 的周长为16.

13．（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交

BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

(1）求证：EG =CG ；

(2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问

（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

【关键词】正方形,图形的全等，

【答案】解：（1）证明：在Rt △FCD 中，

∵G 为DF 的中点，∴ CG =

12FD ． 同理，在Rt △DEF 中，

EG =12

FD ． ∴ CG =EG ．

(2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．

证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．

在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ，

∴ △DAG ≌△DCG ．

D 第24题图① D D 第24题图② 第24题图③ D 图 ②（一）

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 ∴ AG =CG ．

在△DMG 与△FNG 中，

∵ ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ，

∴ △DMG ≌△FNG ．

∴ MG =NG

在矩形AENM 中，AM =EN ．

在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，

∵ AM =EN ， MG =NG ，

∴ △AMG ≌△ENG ．

∴ AG =EG ．

∴ EG =CG ． 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，

连接MF ，ME ，EC ，

在△DCG 与△FMG 中，

∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ． ∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ．

∴MF ∥CD ∥AB ． ∴EF MF ⊥．

在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，

∵ MF =CB ，EF =BE ，

∴△MFE ≌△CBE ．

∴MEF CEB ∠=∠．

∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°．

∴ △MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ，

∴ EG =21MC ． ∴ EG CG =．

(3）（1）中的结论仍然成立， 即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．

14．（2009年河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC

的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点

D .过点C 作C

E ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；

(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

D 图③

D 图 ②（二）

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

【关键词】动态四边形

【答案】（1）①30，1；②60，1.5；

(2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.

∵∠α=∠ACB =900，∴BC //ED .

∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形.

在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,

∴∠A =300.

∴AB =4,AC

∴AO =12

AC

在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.

∴BD =2.

∴BD =BC .

又∵四边形EDBC 是平行四边形，

∴四边形EDBC 是菱形

15．（2009年孝感） 三个牧童A 、B 、C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合

理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离．．．．（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B 和牧童C 又分别提出了新的划分方案．牧童B 的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C 的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．

请回答：

(1）牧童B 的划分方案中，牧童 ▲ (填A 、B 或C ）

在有情况时所需走的最大距离

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 较远；（3分）

(2）牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）

【关键词】方案设计

【答案】（1） C ； (3)

分

(2）牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则． ………………… 4分

理由如下：如图，在正方形DEFG 中，四边形HENM 、MNFP 、DHPG 都是矩形，且HN =NP =HG ．可知EN=NF ，S 矩形HENM ＝ S 矩形MNFP ． ……………………… 5分

取正方形边长为2，设HD =x ，则HE =2－x.

在Rt △HEN 和Rt △DHG 中，

由HN =HG 得：EH 2+EN 2=DH 2+DG 2 ，

即：2222(2)12x x -+=+． 解得，14x =．∴17244

HE =-=． ……………… 7分 ∴S 矩形HENM = S 矩形MNFP =7

7

144?

=，S 矩形DHPG =11242?=．∴S 矩形HENM ≠ S 矩形

DHPG ． ∴牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则．

16．（2009年娄底）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延

长线上取一点E ，连结BE ，CE .

(1）求证：△ABE ≌△ACE

(2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是

菱形？并说明理由.

【关键词】全等、四边形

【答案】（1）证明：∵AB =AC

点D 为BC 的中点

∴∠BAE =∠CAE

AE =AE

∴△ABE ≌△ACE （SAS ）

(2）当AE =2AD （或AD =DE 或DE =12

AE ）时，四边形ABEC 是菱形 理由如下：

∵AE =2AD ，∴AD =DE

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

又点D 为BC 中点，∴BD =CD

∴四边形ABEC 为平行四形边

∵AB =AC

∴四边形ABEC 为菱形

17．（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF ，

求证：四边形BNDM 为菱形．

【关键词】菱形的判定、全等

【答案】

证明: ∵四边形ABCD 、BFDE 是矩形

∴BM ∥DN ,DM ∥BN

∴四边形BNDM 是平行四边形

又∵AB =BF =ED ,∠A =∠E =90°∠AMB =∠EMD

∴△ABM ≌△EDM

∴BM =DM

∴平行四边形BNDM 是菱形

F E

D

C B A

18．(2009年义乌)如图，在矩形ABCD 中，AB =3,AD =1,点P 在线段AB 上运动，设AP =x ，

现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

(1）当x=0时，折痕EF 的长为 # .；当点E 与点

A 重合时，折痕EF 的长为 # .；

C D

E

M A

B F

N

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

(2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长； (3）令2y EF =，当点E 在AD 、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式。当y 取最大值时，判断EAP 与PBF 是否相似？若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。

温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【关键词】矩形、菱形与函数的综合 【答案】 解：（1）3，

(2）13x ≤≤．

当2x =时，如图1，连接DE PF 、， EF 为折痕，DE PE ∴=， 令PE 为m ，则2AE m =-，

在Rt ADE △中，2

2

2

AD AE DE +=，

221(2)m m ∴+-=，

解得54

m =

，此时菱形边长为54．

(3）如图2，过E 作EH BC ⊥， 易证EFH DPA △∽△， FH AP EH AD

∴=，3FH x ∴= 2222

99y EF EH FH x ∴==+=+

当F 与点C 重合时，如图3，连接PF ，

3PF DF ==

，PB ∴==

03x ∴-≤≤

D C (F ) H B

A E

O

D C F B A

E O

H D

C

B

A

E

F

图1

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 显然，函数299y x =+的值在y 轴的右侧随x 的增大而增大，

当3x =-y 有最大值．

此时90EPF ∠=°，EAP PBF △∽△．

综上所述，当y 取最大值时，EAP PBF △∽△

，3x =-90EPF ∠=°不写不扣分）．

19． (2009年金华市) (本题10分)

在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.

(1)已知点A (3,1)，连结OA ，平移线段OA ，使点O 落在点B .设点A 落在点C ,作如下探究： 探究一：若点B 的坐标为(1，2)，请在图1中作出平移后的像，则点C 的坐标是 ▲ ；连结AC ，BO ，请判断O ，A ，C ，B 四点构成的图形的形状，并说明理由；

探究二：若点B 的坐标为(6，2)，按探究一的方法,判断O ，A ，B ,C 四点构成的图形的形

(温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．．

喔!） (2)通过上面的探究，请直接回答下列问题：

①若已知三点A (a ，b )，B (c

，d )，C (a +c ，b +d )，顺次连结O ，A ，C ，B ，请判断所得到的图形的形状；

②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a ，b ，c ，d 应满足的关系式.

答案：(1)探究一： C (4，3)，……………………………………………………1分

图正确得2分，图略…………………………………………2分

四边形OACB 为平行四边形，………………………………1分

理由如下：

由平移可知，OA ∥BC ，且OA =BC ，

所以四边形OACB 为平行四边形.…………………………2分

探究二：线段…………………………………………………………1分

图1

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网

(2) ①平行四边形或线段………………………………………2分 ②菱形：a 2+b 2=c 2+d 2 (a =－c ，b =－d 除外）

正方形：a =d 且b =－c 或b =c 且a =－d ……………………………1分 (写出菱形需满足的条件或写出正方形需满足的条件其中一种即可给分)

20．(2009年营口市)如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使PC ＝P A ，PD ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，连接CD ，点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ． (1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答．．．．

，不必说明理由； (2)当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90o，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．

答案：（1）四边形EFGH 是菱形． ········· 2分 (2）成立．··················································· 3分 理由：连接AD BC ，． ····························· 4分 APC BPD ∠=∠ ，

APC CPD BPD CPD ∴∠+∠=∠+∠．

即APD CPB ∠=∠．

又PA PC = ，PD PB =，

APD CPB ∴△≌△（SAS ） AD CB ∴=． ························································································································ 6分 E F G H ，，，分别是AC AB BD CD ，，，的中点，

∴EF FG GH EH ，，，分别是ABC △，ABD △，BCD △，ACD △的中位线．

12EF BC ∴=

，12FG AD =，12GH BC =，1

2

EH AD =． EF FG GH EH ∴===．

∴四边形EFGH 是菱形． ·

······················· 7分 (3）补全图形，如答图． ···························· 8分

判断四边形EFGH 是正方形． ················· 9分 理由：连接AD BC ，．

（2）中已证APD CPB △≌△． PAD PCB ∴∠=∠． 90APC ∠= °，

190PAD ∴∠+∠=°． 又12∠=∠ ．

290PCB ∴∠+∠=°．

A B P 图1 图2 图3

C H D

G

B

P F E A 第25题（2）答图 3 2 1

C

H

D

G

E

A

P

F

B

第25题（3）答图

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 390∴∠=°． ······················································································································· 11分

（2）中已证GH EH ，分别是BCD ACD △，

△的中位线， GH BC ∴∥，EH AD ∥．

90EHG ∴∠=°．

又 （2）中已证四边形EFGH 是菱形，

∴菱形EFGH 是正方形．

21．（2009山西省太原市）如图，A 是MON ∠边OM 上一点，AE ON ∥．

(1）在图中作MON ∠的角平分线OB ，交AE 于点B ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

(2）在（1）中，过点A 画OB 的垂线，垂足为点D ，交ON 于点C ，连接CB ，将图形补充完整，并证明四边形OABC 是菱形．

【关键词】菱形的判定

【答案】 解：（1）如图，射线OB 为所求作的图形．

(2）方法一：OB 平分MON AOB BOC ∠∴∠=∠，．

AE ON ABO BOC ∴∠=∠ ∥，．

AOB ABO AO AB ∴∠=∠=，．

AD OB BD OD ⊥∴= ，．

在ADB △和CDO △中ABD COD BD OD ADB CDO ∠=∠??=??∠=∠?

，，， ADB CDO AB OC ∴=△≌△，．

AB OC ∥，∴四边形OABC 是平行四边形．

AO AB = ，∴四边形OABC 是菱形．

方法二：同方法一， AOB ABO ∠=∠，AO AB =．

AD OB ⊥ 于点D ，∴90OD DB ADO CDO =∠=∠=，°．

在AOD △和COD △中AOD COD OD OD ADO CDO ∠=∠??=??∠=∠?

，，， ∴AOD COD AD CD =△≌△，．

A O E N M A O

B

C D

E N M

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 ∴四边形OABC 是平行四边形．

AO AB = （或AC OB ⊥），∴四边形OABC 是菱形．

22． (2009山西省太原市）

问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D

重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN

的值．

类比归纳

在图（1）中，若

13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN

的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设

()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

问题解决

图（1） A B

C D

E

F M N 方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） N A B C D E F M

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．

由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．

∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．

∵1

12CE

CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．

在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．

∴()22221x x =-+．解得54x =，即5

4BN =．

在Rt ABM △和在Rt DEM △中，

222AM AB BM +=，

222DM DE EM +=，

∴2222AM AB DM DE +=+．

设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．

解得1

4y =，即1

4AM =．分

∴1

5AM

BN =．

方法二：同方法一，5

4BN =．

如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．

∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．

∴NG CD BC ==．

N 图（1-1） A B C

E

F M N 图（1-2）

A B

C

D

E

F M G

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54

AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．

90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，．

在BCE △与NGM △中

90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠??=??∠=∠=?

，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ∵114AM AG MG AM =--=5，=

．4 ∴15

AM BN =． 类比归纳 25（或410）；917； ()2211

n n -+ 联系拓广

2222211

n m n n m -++ 23． (2009襄樊市）如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时

针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ．

(1）求证：四边形AFCD 是菱形；

(2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

【关键词】菱形的判定、矩形的判定

【答案】

(1）证明：Rt DEC △是由Rt ABC △绕C 点旋转60?得到，

∴60AC DC ACB ACD ===?，∠∠

∴ACD △是等边三角形，

A D

F C E

G B A D F C E

G B

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 ∴AD DC AC ==

又∵Rt ABF △是由Rt ABC △沿AB 所在直线翻转180?得到

∴90AC AF ABF ABC ===?，∠∠

∴FBC ∠是平角

∴点F 、B 、C 三点共线

∴AFC △是等边三角形

∴AF FC AC ==3分

∴AD DC FC AF ===

∴四边形AFCD 是菱形．

(2）四边形ABCG 是矩形．

证明：由（1）可知：ACD △是等边三角形，DE AC ⊥于E

∴AE EC =

∵AG BC ∥

∴EAG ECB AGE EBC ==∠∠，∠∠

∴AEG CEB △≌△

∴AG BC =

∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC =?∠

∴四边形ABCG 是矩形．

24． (2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作

BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

(1） 求证：BD =CD ；

(2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

【关键词】矩形判定

【答案】（1）AF BC ∥，AFE DCE ∴=∠∠

E 是AD 的中点，AE DE ∴=．

(3')AFE DCE AE DE AEF DEC AEF DEC ∠=∠??=∴?????∠=∠?

AF DC ∴=，AF BD = BD CD ∴= (2）四边形AFBD 是矩形

AB AC = ，D 是BC 的中点AD BC ∴⊥ ，90ADB ∴= ∠

AF BD = ，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形

又90ADB = ∠ ∴四边形AFBD 是矩形．

25．（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE =BC ，DF ⊥AE ，垂

足为F ，连接DE ．

e1f8423467ec102de2bd89a0 初中数学资源网 (1）求证：ABE △DFA ≌△；

(2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．

26．（2009年北京市）阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG .请你参考小明的做法解决下列问题：

(1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

(2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.

【关键词】正方形 操作探究

【答案

】

27． (2009年北京市）在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E

逆时针旋转90

得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：

①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8feq.html