高考数学一轮总复习课时跟踪检测（五十三）最值、范围、证明问题文新人教A版

畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门课时跟踪检测(五十三) 最值、范围、证明问题

一保高考，全练题型做到高考达标

1．(2015·贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点

?3?

?，1?，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F. ?2?

(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；

(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求AG·HB的最小值．

y2x2

解：(1)设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则由题意得c＝3，

ab2a＝

3＋4

＋3

2

2

2

＋

3＋4

－3

2

＝4，

∴a＝2，b＝a－c＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋x＝1.

4∴右顶点F的坐标为(1,0)．

设抛物线E的标准方程为y＝2px(p＞0)， ∴＝1,2p＝4， 2

∴抛物线E的标准方程为y＝4x.

1

(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－(x－1)，

22

2

y2

2

pkA(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．

由?

?y＝k???y＝4x2

x－，

消去y得：kx－(2k＋4)x＋k＝0，

2222

4424

∴Δ＝4k＋16k＋16－4k＞0，x1＋x2＝2＋2，x1x2＝1.

k同理x3＋x4＝4k＋2，x3x4＝1，

∴AG·HB＝(AF＋FG)·(HF＋FB) ＝AF·HF＋AF·FB＋FG·HF＋FG·FB ＝|AF|·|FB|＋|FG|·|HF| ＝|x1＋1|·|x2＋1|＋|x3＋1|·|x4＋1|

2

1

＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1) 42

＝8＋2＋4k

k≥8＋24

kk2·4k＝16，

2

42

当且仅当2＝4k，即k＝±1时，AG·HB有最小值16.

2．(2015·福建高考)已知点F为抛物线E：y＝2px(p>0)的焦点，点

2

A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.

2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，

2所以抛物线E的方程为y＝4x.

(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上， 所以m＝±22.

由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．

2

2

pp?y＝22x－

由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1)．由?2

?y＝4x，

得2x－5x＋2＝0，

1?1?解得x＝2或x＝，从而B?，－2?. 2?2?又G(－1,0)，

22－022－2－022

所以kGA＝＝，kGB＝＝－，

2－－313

－－2

2

，

所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m＝±22. 由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)． 由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为

2

2

?y＝22x－

y＝22(x－1)．由?2

?y＝4x，

得2x－5x＋2＝0，

2

，

1?1?解得x＝2或x＝，从而B?，－2?. 2?2?又G(－1,0)，

故直线GA的方程为22x－3y＋22＝0， |22＋22|42

从而r＝＝ . 8＋917

又直线GB的方程为22x＋3y＋22＝0， 所以点F到直线GB的距离

d＝|22＋22|

8＋9

＝

42

＝r. 17

这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

3．如图所示，已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y＝2px(p＞0)交于A，B两点，以弦

2

AB为直径的圆恒过坐标原点O.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设Q是直线x＝－4上任意一点，求证：直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列．

解：(1)设直线l的方程为x＝ky＋4， 代入y＝2px得y－2kpy－8p＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝2kp，y1y2＝－8p， 而OA·OB＝0，

故0＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋4)(ky2＋4)－8p＝ky1y2＋4k(y1＋y2)＋16－8p， 即0＝－8kp＋8kp＋16－8p，得p＝2， 所以抛物线方程为y＝4x.

(2)设Q(－4，t)由(1)知y1＋y2＝4k，y1y2＝－16， 所以y1＋y2＝(y1＋y2)－2y1y2＝16k＋32.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

因为kQA＝y1－ty1－ty1－ty2－ty2－ty2－tt＝2＝2，kQB＝＝2＝2，kQM＝， x1＋4y1y1＋16x2＋4y2y2＋16－8

4＋4

4

＋＋4

所以kQA＋kQB＝＝4×

y1－ty＋16y22＋

y21＋

21

y2－ty＋16

22

y1－t＋y2－ty22＋

y21＋

222

y1y22＋16y1－ty2－16t＋y2y1＋16y2－ty1－16t＝4× 22y2y2＋16×161y2＋1＋y2

－ty1＋y2－32t－tk＋－32t＝＝ 222

8×16＋y1＋y28×16＋k＋＝－＝2kQM. 4

所以直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列．

222

tx2y23

4．已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，直线l：y＝x＋2与以原点为

ab3

圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．

(1)求椭圆C1的方程；OA

(2)抛物线C2：y＝2px(p＞0)与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点

2

R，S在C2上(R，S与Q不重合)，且满足QR·RS＝0，求|QS|的取值范围．

解：(1)由直线l：y＝x＋2与圆x＋y＝b相切， 得

|0－0＋2|

＝b，即b＝2. 2

2

2

2

2

3b22

由e＝，得2＝1－e＝，所以a＝3.

3a3所以椭圆C1的方程是＋＝1.

32

(2)由＝1，可得p＝2.故抛物线C2的方程为y＝4x.

2易知Q(0,0)，

x2y2

p2

?y1??y2?设R?，y1?，S?，y2?， ?4??4?

?y1??y2－y1，y2－y1?. 则QR＝?，y1?，RS＝??

?4??4?

由QR·RS＝0 得·44

2y2y212－y1

2

2

2

22

＋y1(y2－y1)＝0.

4

∵y1≠y2， 16??∴y2＝－?y1＋?，

?y1?

16

∴y＝y＋2＋32≥222

21

2

y1

y·21

16

2

y21

＋32＝64.

16

当且仅当y＝2，即y1＝±4时等号成立．

21

2

y1

又∵|QS|＝ ∵y2≥64， ∴当y2＝64，

22

12

＋y2＝164

y42

y22＋

2

－64，

即y2＝±8时，|QS|min＝85. 故|QS|的取值范围是[85，＋∞)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校

x2y2

(2016·广东十二校联考)如图所示，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦

ab点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，证明：点M(1,0)在以PQ为直径的圆上．

解：(1)因为点A，B都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF1|＋|AF2|＝2a且|BF1|＋|BF2|＝2a，

又因为△ABF2的周长为8，

所以|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8， 所以a＝2.

因为椭圆是关于x，y轴，原点对称的，

所以△AF1F2为正三角形，当且仅当A为椭圆的短轴端点， 则a＝2c?c＝1，b＝a－c＝3，

2

2

2

5

故椭圆E的方程为＋＝1.

43

(2)证明：由题意得，动直线l为椭圆的切线， 故不妨设切点P(x0，y0)， 因为直线l的斜率存在且为k， 所以y0≠0，

则直线l：y＝k(x－x0)＋y0，

x2y2

y＝kx－x0＋y0，??22

联立方程组?xy＋＝1??43

2

2

消去y，

得3x＋4[k(x－x0)＋y0]－12＝0， 3x0

由Δ＝0?k＝－.

4y0则直线l的方程为

x0xy0y4＋3

＝1，

联立直线l与直线x＝4得到点Q?4，

??

y0

－x0??， ?

y0

－x0?则PM·QM＝(1－x0)(1－4)＋(－y0)?－

??

?＝－3(1－x0)＋3(1－x0)＝0， ?

所以PM⊥QM，即点M在以PQ为直径的圆上．

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8f4h.html