大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案
更新时间:2024-06-11 14:55:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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习题5
5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解:受力分析如图,可建立方程:
2mg?T2?2ma┄①
T1?mg?ma┄②
(T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④
2Ta?r? ,J?mr/2┄⑤
联立,解得:a?14g,T?118mg 。
5-2.如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 解:(1)设杆的线密度为:??ml,在杆上取
一小质元dm??dx,有微元摩擦力: df??dmg???gdx, 微元摩擦力矩:dM???gxdx, 考虑对称性,有摩擦力矩:
lM?2???gxdx?2014?mgl;
td?,有:??Mdt?0dt(2)根据转动定律M?J??J?14??00Jd?,
?mglt??112ml?0,∴t?2?0l3?g。
112ml,
2或利用:?Mt?J??J?0,考虑到??0,J?有:t?
?0l3?g。
5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为
R ,其转动惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,
下落速度与时间的关系。
解:受力分析如图,可建立方程:
mg?T?ma┄①
TR?J?┄② a?R? ,J?12mR┄③ 2mgM?2mv02联立,解得:a?考虑到a?dvdt,T?t0Mmg,∴?dv??M?2m2mg2mgtdt,有:v?。
M?2mM?2m,
5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度? 解一:
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg?T1?MaA人
T2?M4g?M4aB物
T1R?T2R?J?滑轮
由约束方程: aA?aB?R?和J?MR/4,解上述方程组 得到a?解二:
选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,v为重
g22.
物上升的速度,注意到u为匀速,
dudt?0,系统对轴的角动量为:
L?14MvR?M(u?v)R?((人)14M4R)??232MvR?MuR
(B物体)(A物体)34MgR, ddt(32MvR?MuR),∴a?而力矩为:M???MgR?MgR?dLdt根据角动量定理M?有:
34MgR?g2。
5-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解:设球的半径为R,总重量为m,体密度??3m4?R3,
考虑均质球体内一个微元:dm??r2sin?drd?d?, 由定义:考虑微元到轴的距离为rsin?
J??(rsin?)dm,有:
2J????002??R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?
R0?2???15r5?[??(1?cos?)dcos?]?0?225mR。
2
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数k?40N/m,当??0时弹簧无形变,细棒的质量m?5.0kg,求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?,才能转动到水平位置?
解:以图示下方的三角桩为轴,从??0~??90时, 考虑机械能守恒,那么: ??0时的机械能为:
1122(重力势能)?(ml)?(转动动能), 223120??90时的机械能为:kx
2mg?l0有:mg?111222?(ml)??kx 2232l根据几何关系:(x?0.5)2?1.52?12,得:??3.28rad?s?1
5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求:
(1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点,
下降过程机械能守恒, 有:mgR?∴??4g3R12J? ,而J?212mR?mR?2232mR
2 vc?R??4Rg3
vA?2R??16Rg 32(重力)?mR?(向心力)? (2)Fy?mg7mg,方向向上。 3
5-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和
3123l.轻杆原来
静止在竖直位置。今有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以
1212v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 23232ll22)??2m?()? 33v0l
解:根据角动量守恒,有:
mv0?2349l??m?2v0?l?m(v0l?有:(l?∴??
293v0l)??2132l
5-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?),圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
12MR,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)
12MR??mR?
222解:(1)利用角动量守恒:mvR?得:??2mv;
(2m?M)R(2)选微分dm??rdrd?,其中:面密度??M?M?R2,
f??grdm??R0?grM?R2322πrdr?23?MgR
12MR?mR)??0,
22∴由Mf??t?J???有:知:?t?将??2?M?2m?4?Mg2mv?2m?RR?
?MgR??t?(?M代入,即得:?t?3mv 。
2?Mg
5-10.有一质量为m1、长为l的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后
??的速度分别为v1和v2,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
3??解:由碰撞时角动量守恒,考虑到v1和v2方向相反,以逆时针为正向,有:
(已知棒绕O点的转动惯量J?1m1l)
2
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