4-4 坐标系与参数方程复习讲义
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4-4坐标系与参数方程(复习)
知识回顾
一、坐标系
1.极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。(其中O称为极点,射线OX称为极轴。)
设M是平面上的任一点, 表示OM的长度, 表示以射线OX为始边,射线OM
为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定:极点的极坐标是 =0, 可以取任意角。 2.直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为(x,y)和( , ),则 x
y tan
2
二、曲线的极坐标方程
1.直线的极坐标方程:若直线过点M( 0, 0),且极轴到此直线的角为 ,则它的方程为: 几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点 (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴 (3)直线过M(b,)且平行于极轴
2
图: 方程:
2.圆的极坐标方程: 若圆心为M( 0, 0),半径为r的圆方程为:几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点 (2)当圆心位于M(r,0) (3)当圆心位于M(r,图: 方程:
2
)
三、参数方程 1.参数方程的意义
在平面直角坐标系中,若曲线C上的点P(x,y)满足 变数,简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化 ①参数方程化为普通方程
常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
x x0 at x acos x sin
(t为参数)⑴ ( 为参数); ⑵ (3) [0,2 ) 2
y cos y bsin y y0 bt
x f(t) y f(t)
,该方程叫曲线C的参数方程,变量t是参
a1
x (t ) x a rcos 2t(4)(t为参数) (5) ( 为参数) y b rsin y b(t 1) 2t
②普通方程化为参数方程
1、圆(x a)2 (y b)2 r2的参数方程
2、经过点P(x0,y0)倾斜角为 的直线的参数方程
xa
22
3、椭圆
yb
22
1(a b 0)的参数方程4、抛物线y 2px(p 0)的参数方程普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样。
2
例题精讲
例1在极坐标系下,已知圆O: cos
sin 和直线l: sin( (1) 求圆O和直线l的直线坐标方程;
(2) 当 (0, )时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
4
)
2
课堂检测:
1.已知圆O1和圆O
2的极坐标方程分别为 2, 2 cos( (1) 把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
例2已知 AOB 30 ,角内有一动点P,PM OA,PN OB,且四边形PMON的面积为1,先以O为极点, AOB的平分线Ox为极轴建立极坐标系,求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
课堂检测:
2.求曲线 2cos 关于直线
4
4
) 2.
对称的曲线的极坐标方程.
3.(10江苏)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值
x 5cos x 4 2t
例3在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆 ( 为参数)的右焦点,且与直线 (t
y 3sin y 3 t
为参数)平行的直线的普通方程.
例4在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
满足OP 2OM,P的轨迹为曲线C2.
x 2cos y 2 2sin
( 为参数),M是C1上的动点,P
(1) 求C2的方程;
(2) 在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.
3
与C1的异于极点的交点为
课堂检测
4.已知直线l的参数方程:
x t
(t为参数)和圆C
的极坐标方程: =
4
y 1+2t
)( 为参数).
(1) 将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 判断直线l和圆C的位置关系.
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