广东省惠州市2019届高三4月模拟考试数学理试题

广东省惠州市2019届高三4月模拟考试

数 学 试 题 (理科） 2019.04

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：①如果事件A、B互斥，则P(A?B)?P(A)?P(B) ②如果事件A、B相互独立，则P(A?B)?P(A)?P(B)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设集合A={0,1},则集合A的子集的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

2.不等式

1?x?0的解集为（ ）． 2?xA.[?2,1] B.(?2,1]

C.(??,?2)?(1,??) D.(??,?2]?(1,??)

3．若抛物线y?2px(p?0)的焦点坐标为(1,0)，则p的值为（ ）

2A.1 B.2 C.4 D.8

224．“a?1”是“函数y?cosax?sinax的最小正周期为?”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为

·1·

全等的等腰直角三角形，如果学优网直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的体积为 ( )

A.1 B.

111 C. D. 236主视图 左视图

开始 俯视图

6．程序框图的运算结果为 ( )

A.12 B.24 C.16 D.48 n?1 227.椭圆ax?by?1与直线y?1?x交于A、B两点，过原点与 s?1n?n?1线段AB中点的直线的斜率为

b3，则值为（ ） a23239323A． B． C． D． n?4?23227否 s?s?n是 3x2?2xy?3y28.已知x,y满足x?0,x?(y?2)?2,则 w? 22x?y22输出s结束 的最大值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．复数i(1?i)（i为虚数单位）的虚部等于__________. 10．二项式(x?16)的展开式的常数项是__________.（用数字作答） x?x?y?2?0y?11. 已知变量x,y满足约束条件?x?1, 则的最大值是__________.

x?x?y?7?0?12．已知i,j为互相垂直的单位向量，a?i?2j, b?i??j,且a与b的夹角为锐角，则实数?的取值范围是 ．

13. 已知数列{an}是正项等差数列，若bn?a1?2a2?3a3???nan，则数列{bn}也为等差数列. 类

1?2?3???n·2·

比上述结论，已知数列{cn}是正项等比数列，若dn= ，则数列{dn}也为等比数列. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分． 14．（极坐标与参数方程）若圆C的方程为：??x?1?cos?，（?为参数），以原点O为极点，以x轴

?y?1?sin?，正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为_________ ．(极角范围为[0,2?)) 15．（几何证明选讲）如右图，P是圆O外一 点，过P引圆O的两条割线PAB、PCD，

BAPOPA=AB=5，CD=3，则PC=____________．

C D三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知函数f(x)?cos2x?sinxcosx,x?R （1）求f()的值；

?6（2）若sin??3???). ，且??(,?)，求f(?52224

17．（本题满分12分）

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡．．．片的标号分别为x、y，记??x?2?y?x．

（1）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率； （2）求随机变量?的分布列和数学期望．

18．（本题满分14分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面

BB1C1C所成的角为45?．

（1）求此正三棱柱的侧棱长；

（2）求二面角A?BD?C的余弦值大小. 19．（本题满分14分）

·3·

BAA1B1DC?C1设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an?1?2Sn?2(n?N)

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成一个公差为dn的等差数列． 求证：

11115???????(n?N?). d1d2dn16

20．(本题满分14分)

平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6

（1）求圆O的方程；

（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D、E，当DE长最小时，求直线l 的方程； （3）设M、P是圆O上任意两点，点M关于X轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于X轴

于点（m,0）和（n,0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本题满分14分） 已知函数f(x)?ln(x?32)?,g(x)?lnx.2x

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）如果关于x的方程g(x)?1x?m有实数根，求实数m的取值集合； 2（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.

数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A

1.【解析】集合A?{0,1}的子集有?、{0}、{1}、{1,2}.选D.

5 D 6 B 7 B 8 A 2.【解析】?1?x?0?2?x?(x?1)(2?x)?0得：?2?x?1.选B. ??2?x?0·4·

3.【解析】y?2px的焦点坐为(,0),?2p2p?1,即p?2．选B. 24.【解析】当a?1时,函数可化为y?cos2x,故周期?;反之，函数可化为y?cos2ax，若周期为

?，则a??1.选A.

5.【解析】可知该几何体是三棱锥，底面面积为

1111，高为1，故V??1??．选D．

32626.【解析】当n?5时，s?1?2?3?4?24,选B．

2227.【解析】设交点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，代入椭圆方程：ax1?by12?1，ax2?by2?1由两式得：1?by1?y2y1?y2by?y2y中-0???0，即，?1??1??0，可化简为：ax1?x2x1?x2ax1?x2x中-0b3b23.选B. 1?（?-1）??0，即?a2a33x2?2xy?3y28.【解析】已知x,y满足x?(y?2)?2,则w?可化为

x2?y222w?3?2xy2xy2xyw?3?；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知

x2?y2x2?y2x2?y222?x?y2xy?1，当且仅当?2取等号，即x?y?1或 2xy?x?y，?22x?y2x?(y?2)?2?3x2?2xy?3y2x?y??1时，w?的最大值为Wmax?4.选Ａ. 22x?y二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．1 10．?20 11．6 12．(??,?2)?(?2,)

1n1?2?3???nn1213．(c1?c?c????c)2233 14．(2,?)15． 2 4

9.【解析】?i(1?i)＝?1?i，所以虚部等于1. 10．【解析】?(x?16r6?rr6?2r)=[x?(?x?1)]6，Tr?1?C6当6?2r?0则r?3,x(?x?1)r=(?1)rC6x，x33常数项为T4?(?1)C6=?20.

·5·

y是可行域内的点M(x,y) xy与原点O(0,0)连线的斜率，当直线OM过点(1,6)时，取得最大值6.

x11.【解析】先画出可行域（如图），

12.【解析】?cos??1?(?2)??5?1??2=

1?2?5(1??)2，又?为锐角，

0?11?1解得：??且???2，???(??,?2)?(?2,).

225(1??2)1?2?13. 【解析】由等差数列{an}的a1?2a2?????nan的和，则等比数列{cn}可类比为

c1﹒(c2)2???(cn)n的积；对a1?2a2?????nan求算术平均值，所以对 c1﹒(c2)???(cn)求几何平均值，所以类比结果为(c1?c?c????c)14.【解析】圆的圆心为(1,1)，??12?12?2n22331n1?2?3???nn.

12,tan??(??[0,2?))，又圆心在第一象限，故

1???4.圆心的极坐标为(2,?4).

15.【解析】如右图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PAB、PCD，PA = AB =5由圆的割线定理PA?(PA?PB)?PC?(PC?PD)，即5(5?5)?x(x?3),化简为

x2?3x?10?0，解得:x?2或x?-5（舍去）.

三．解答题

16．（本题满分12分）

本小题考查三角函数的化简与求值。

解（1）依题意得

16. （本题满分12分） 解：(1)f()?cos2??66?sin?6cos?6 ?(32133+3 ??????2分 )???2224(2) f(x)?cosx?sinxcosx?21+cos2x1?sin2x ????4分 22?12?11??sin(2x+) ????6分 ?（sin2x+cos2x）22422??12??f(+)??sin(?++) ???8分 22422124·6·

?12?1213?sin(?+)??(sin???cos??) ????10分 22322223?4，且??(,?)，所以cos??? ??11分 525因为sin??所以f(?2+?24)?12314310?32?46 ???12分 ?(???)?2252522017．（本题满分12分）

本小题考查利用离散型随机变量分布列的建立以及期望的求法.

解：（1）?x、y可能的取值为1、2、3， ?x?2?1，y?x?2，

???3，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??3． ?????3分

因此，随机变量?的最大值为3．

?有放回抽两张卡片的所有情况有3?3?9种，

2?P(??3)?．

9答：随机变量?的最大值为3，事件“?取得最大值”的概率为（2）?的所有取值为0,1,2,3．

2． ???4分 9???0时，只有x?2,y?2这一种情况， ???5分

??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况， ???6分

??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况． ???7分

?P(??0)?142，P(??1)?，P(??2)?． ????10分 999则随机变量?的分布列为：

? P ???11分

0 1 2 3 1 94 92 9·7·

2 9因此，数学期望E??0?142214?1??2??3??．????????12分 9999918．（本题满分14分）

本小题考查利用定义法（向量法）求空间几何中的角度问题。

解：（1）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE． ??ABC是正三角形，?AE?BC．???1分 又底面ABC?侧面BB1C1C，且交线为BC．

?AE?侧面BB1C1C．连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所

成的角为?ADE?45． ?????4分 在Rt?AED中，tan45???AE?ED31?x42，解得x?22． ???5分

?此正三棱柱的侧棱长为22． ????6分

（2）解法一：过E作EF?BD于F，连AF，

?AE?侧面BB1C1C,?AF?BD．

??AFE为二面角A?BD?C的平面角． ???9分 在Rt?BEF中，EF?BEsin?EBF，又

BE?1,sin?EBF?CD233??， ?EF?．

22BD332?(2)又AE?3,AF?AE2?EF2?(3)2?(3230??11分 )?333EF10?3?． ????13分 ?在Rt?AEF中，cos?AFE?AF10103故二面角A?BD?C的余弦值得大小为

10． ???14分 10zA1（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系o?xyz．

则A(0,0,3),B(0,?1,0),C(0,1,0),D(?2,1,0)．????8分 A?设n1?(x,y,z)为平面ABD的法向量．

·8·

BB1xoCDyC1???y??3z??n1?AB?0,由?? 得?． ???2x?y?3z?0?n2?AD?0??取n1?(?6,?3,1). ???10分

又平面BCD的一个法向量n2?(0,0,1). ????11分

???????n1?n2?cos?n1,n2????． ??12分

n1n2?(?6,?3,1)?(0,0,1)1?(?6)2?(?3)2?12?10 ????13分 10结合图形可知，二面角A?BD?C的余弦值大小为

10．??14分 1019．（本题满分14分）

本小题考查利用等比数列的定义及其通项公式求法、和项公式的应用，以及错位求和与放缩法求证数列不等式。

解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，??????1分

?an?1?2Sn?2，an?2Sn?1?2（n?2）??????2分 ?an?1?an?2(Sn?Sn?1)=2an a即n?1?3(n?2)???3分

an当n?1,得a2?2a1?2，即3a1?2a1?2，解得：a1?2?????4分 an?a1?qn?1?2?3n?1???5分

即an?2?3n?1.???6分

4?3n?11n?1?（2）①an?1?an?(n?1)dn，则dn?，???8分 n?1n?1dn4?3n?11111234?(0??2????n?1)???9分 ???????3d1d2dn4333234n?11234n?1设Tn?0??2????n?1① 则Tn?1?2?2????n②???10分

33333333321111n?1①-②得：Tn?2+?2?3????n?1?n

33333311[1?()n?1]n?13?n=???12分 =2+3131?3·9·

?Tn?1531n?115?(?)????13分 422?3n?13n411111515?????????d1d2dn4416???14分

20．（本题满分14分）

本小题考查利用待定系数法直线与圆的方程，以及圆中定值问题的求解。

1解：（1）因为O点到直线x?y?1?0的距离为，???????1分

2 所以圆O的半径为(12故圆O的方程为x2?y2?2.?????2分

xy（2）设直线l的方程为??1(a?0,b?0)，即bx?ay?ab?0，

abab111?2，即2?2?， ?????4分 由直线l与圆O相切，得ab2a2?b2)2?(62)?2， 211?)≥8， a2b2当且仅当a?b?2时取等号，此时直线l的方程为x?y?2?0．???6分 DE2?a2?b2?2(a2?b2)((3)设M(x1,y1)，P(x2,y2)，则N(x1,?y1)，x12?y12?2，x22?y22?2，

xy?x2y1xy?x2y1,0)，m?12直线MP与x轴交点(12，

y2?y1y2?y1xy?x2y1xy?x2y1,0)，n?12直线NP与x轴交点(12，??????10分

y2?y1y2?y12222x1y2?x2y1x1y2?x2y1x1y2?x2y1mn???y2?y1y2?y1y2?y221?(2?y1)y2?(2?y2)y1y2?y1222222?2y2?2y1y2?y12222 ??????13分

?2故mn为定值2． ??????14分

21．（本题满分14分）

本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。

3,0)?(0,??). 212(x?1)(x?3)对f(x)求导得f?(x)? ????2分 ?2?3x3x?x2(x?)22解：（1）函数f(x)的定义域是(?·10·

由 f?(x)?0，得?因此 (?3?x??1或x?3，由f?(x)?0，得?1?x?0或0?x?3. 23,?1)和（3，??)是函数f(x)的增区间； 2（－1，0）和（0，3）是函数f(x)的减区间 ??????5分

111x?m?lnx?x?m?m?lnx?x. 2221所以实数m的取值范围就是函数?(x)?lnx?x的值域 ????6分

211对?(x)求导得??(x)??.

x2（2）因为g(x)?令??(x)?0，得x?2，并且当x?2时，??(x)?0;当0?x?2时，??(x)?0 ∴当x=2时?(x)取得最大值，且?(x)max??(2)?ln2?1.

1x无限趋近于0， 211进而有?(x)?lnx?x无限趋近于－∞.因此函数?(x)?lnx?x的值域是 (??,ln2?1],

22又当x无限趋近于0时，lnx无限趋近于??,?即实数m的取值范围是(??,ln2?1] ??????9分

（3）结论：这样的正数k不存在。 ??????10分

下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根x1和x2，则

32?ln(x?)??klnx1,1?2x1?f(x1)?kg(x1)????f(x)?kg(x)22??ln(x?3)?2?klnx.22?2x2?根据对数函数定义域知x1和x2都是正数。

① ????11分

②又由（1）可知，当x?0时，f(x)min?f(3)?ln(3?)?∴f(x1)=ln(x1?)?322?0 332333?0，f(x2)=ln(x2?)??0， x12x2再由k>0，可得g(x1)?lnx1?0,g(x2)?lnx2?0?x1?1,x2?1. 由于 x1?x2,所以不妨设 1?x1?x2，

·11·

3232ln(x1?)?ln(x2?)?2x12x2由①和②可得 ?lnx1lnx23232ln(x1?)??lnx1ln(x2?)??lnx22x12x2利用比例性质得 ?lnx1lnx2ln(1?即

3232)?ln(1?)?2x1x12x2x2?.(*) ????13分

lnx1lnx2由于lnx是区间(1,??)上的恒正增函数，且 1?x1?x2,?lnx1?1. lnx2ln(1?2x1?1. 2x23)?2x132)?是区间(1,??)上的恒正减函数，且1?x1?x2.∴又ln(1?32xxln(1?)?2x23)?lnx12x1?∴

3lnx2ln(1?)?2x2ln(1?23232ln(1?)?ln(1?)?x12x1x12x2x2??，这与（*）式矛盾。 2lnx1lnx2x2因此满足条件的正数k不存在 ????????14分

·12·

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