06,07,08,09,10,11年B（下）类期末试卷及答案

(06卷)一、选择题（每小题2分,共12分）

1．Oxy面上的曲线x2?2y2?1绕x轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.

A．x2?2y2?z2?1 ； B．x2?y2?2z2?1； C．x2?2y2?2z2?1； D．x2?2y2?2z2?1. 2．函数z?arccosyx的定义域为（ ）. A．????(x,y)y??x,x?0???; B．{(x,y)y?x,x?0}; ?2? ?C．{(x,y)y?x,x?0}; D．{(x,y)y?x,x?0}.

3．二元函数极限limx2?y2为（ ）.

(x,y)?(0,0)x2?y2A．0; B．1 ; C．

12; D．不存在 . 4. 考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：

○1f(x,y)在点(x0,y0)处连续，○2f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续， ○3f(x,y)在点(x0,y0)处可微，○4f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在. 则有（A.○

3?○2?○1; B.○2?○3?○1; C.○3?○4?○1; D.○3?○1?○4. 5．由上半球面z?1?x2?y2和平面z?0所围立体的体积V?（ ）.

A.

?12?1dx?1?x2?1?x21?x?y2dy B.

?1?1dy?1?x2?1?x21?x2?y2dx

1?y2C.

?1?1dx??1?y21?x2?y2dy D.

112 ??1dx??11?x?y2dy

6．微分方程y???5y??6y?x2e5x的特解y?可设为（ ）. A.y??x(b25x225x0x?b1x?b2)e; B.?y?x(b0x?b1x?b2)e; C.y??(b25x5x0x?b1x?b2)e; D.?y?x(b0x?b1)e. 二．填空题（每小格2分，共38分）： ?7. limn??un?0是级数

?un收敛的 .

n?1

1

）x2n8. 幂级数?n的收敛半径R= ,收敛域为 .

n?14?9．方程x?2y?4z，x?3y?z?1，y?z在空间直角坐标系中所表示图形的名称分别为 ， ， . 10. 曲面z?222222x2?y2与z2?2x所围立体在三个坐标面Oxy,Oyz,Ozx上的投影依次

为 , , .

xy2?11．极限lim2,

x?0x?y4 y?x12．交换积分次序13．积分

xy? .

(x,y)?(0,0)2?xy?4lim?2?1dy?f(x,y)dx? . 13?dx?042xxf(x,y)dy?

??f(x,Dy)?d在极坐标系中的累次积分为 ,其中D是由

x2?y2?4x,x2?y2?8x和直线y=x,y=3x所围成的区域.

14. 域.

15．一阶线性非齐次微分方程

????f(x,y,z)dV可化为三次积分 ,其中?是由曲面z?x2?y2与平面z?1所围成的

dy?p(x)y?q(x)的通解y? . dx16．微分方程y???2y??5y?0的通解是 ，y???6y??9y?0的通解y? .

y?exx2(ax?b), 则k? . 17．微分方程y???2y??yk?xe的一个特解可设为?

三．计算题（每小题4分，共20分）

x18. 计算重积分

?1?1dx?1?x20cos(x2?y2)dy.

19. 求函数z?esin(x?y)在点(2,1)处的全微分dz.

xy?z?z?2z,,20．求由方程x?y?z?6z?0所确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数. ?x?y?x?y

222 21. 计算

?Lex2?y2ds，其中L为以原点为圆心、a为半径的上半圆周.

22．一直线过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求该直线方程.

2

四. 解答题（每题4分,共20分）

?n23. 判定级数??n?1?n?1??2n?1??为绝对收敛、条件收敛或发散.

24．求幂级数??nxn的和函数S(x).

n?1

25. 求函数f(x)??xarctant0tdt在x?0处的幂级数展开式.

26. 设u?x2?y2?z2,z?x2cosy，求du.

27．求微分方程xy???y??1满足初始条件y(1)?1,y?(1)?2的特解.

五．应用题（5分）

28．求由旋转抛物面z?1?(x2?y2)与平面z?0所围立体的质量，设其密度函数为??x2?y2.

六．证明题（5分）

x2试证曲面y2z229. xxyyzza2?b2?c2?1上任一点（x0,y0,z0）处的切平面方程为0a2?0b2?0c2?1.

(07卷)一、单项选择题（每小题3分，共24分） 1．函数z?arctany.

x2?y2?ln(y2?2x?1)的定义域为（ ）A. ?(x,y)y?x,y2?2x?1?0?. B．{(x,y)y?x,y2?2x?1?0}. C．{(x,y)y?x,y2?2x?1?0}. D．{(x,y)y?x,y2?2x?1?0}.

3

2．在xOy坐标面上的曲线2x2?y2?1绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为（ ）. A．2x2?y2?z2?1. B．2x2?y2?z2?1. C．2x2?y2?2z2?1. D．2x2?y2?2z2?1. 3．二元函数的极限

sin(xy)为（ ）.

(x,y)?lim(??,??)yA．??. B．1. C．0. D．不存在. 4．考虑二元函数f(x,y)的以下4个性质：

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续.②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续.

③f(x,y)在点(x0,y0)处可微.④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.则有（ ）. A．①?②?③. B．①?③?②. C．②?③?①. D．①?④?③.

5.

?f(x,y)?x?（ ）.

(x0,y0)A.limf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?y?0?y. B.f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?limx?0?x.

C.limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?0?y. D.?limf(x0??h,y0)?f(x0,y0)h?0?h.

6．由上半球面z?1?x2?y2和平面z?0所围立体的体积V?（ ）.

A.11?x222 ??1dy??1?x21?x?ydx. B. ?1?1dx?1?x2?1?x21?x2?y2dy.

12C.

??1dx?1?y?1?y21?x2?y2dy. D.

?1?1dx?1?11?x2?y2dy.

7. 空间直线

x?2y?2z?13??5?1与平面4x?3y?3z?1的位置关系是（ ）. A. 互相垂直. B. 互相平行. C. 不平行也不垂直. D. 直线在平面上.

8. 函数( )在点(0,0)处不取得极值但该点是它的驻点.

A. f(x,y)?xy. B. f(x,y)?x2?y2. C. f(x,y)??x2?y2. D. f(x,y)?x2?y2. 二. 填空题（每小格3分，共36分） 9. 若两直线

x?1y?1z?11?2?a和x?11?y?11?z相交，则a? . 10. 过点(2,,0,?3)且与直线??x?2y?4z?7?0,垂直的平面方程为 ?3x?2z?1?0 .

4

?z?f(x,y),11. 设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)?3,fy(0,0)??1, 则曲线??y?0(0,0,f(0,0))的一个切向量为 . ???12. 若级数

?un收敛, 级数

n发散, 则级数

n?1?vn=1?(un?vn)必 ,

n?1?幂级数?(x?2)n13. 的收敛半径R= , 收敛区间为 , 收敛域为 n?1n .

14．方程x2?y2?4z,x2?3y2?3z2在空间直角坐标系中所表示图形的名称依次为 ， .

15．极限limxy2limxyx?02? , (x,y)?(0,0)2?xy?4? . y?xx?y416．积分

??f(x,y)d?在极坐标系中的累次积分为 ,

D其中D是由圆x2?y2?4y,x2?y2?8y和直线y=x,y=3x所围成的区域.

三．计算与解答题（每题5分，共30分）

17．u?f(x2?y2?z2,xyz)，f具有二阶连续偏导数，求?u?x,?2u?x?y.

?118．判定级数??(?1)nn?1?nsin?n?1为绝对收敛、条件收敛或发散.

??19. 求幂级数(n?1)xn的和函数S(x).

n?1

20. 计算二重积分??2xyd?.

x2?y2?a2

21. 求曲线积分?2La?x2?y2ds，其中L为xOy平面上的上半圆弧x2?y2?ax,y?0.

22. 求曲面z?x2?y2与平面x?y?2z?2之间的最短距离.

在点

5

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