浙江省杭州市2013届高三第一次高考科目教学质量检测数学(理)试题

一、选择题：

1．若复数221z i i =+

+，其中是虚数单位，则复数z 的模为( ) A. 22

B. 2

C. 3

D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 3．设函数()2x f x =，则下列结论中正确的是( )

A. (1)(2)(2)f f f -<<-

B. (2)(1)(2)f f f -<-<

C. (2)(2)(1)f f f <-<-

D. (1)(2)(2)f f f -<-< 8．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ?，则实数r 可以取的一个值是( )

A. 21

B. 3

C. 2

D. 212+

9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2

x x f x f x x ?--∈-∞?=?-∈+∞??，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为

( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

10．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()

a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ?? ??

? B. 43,32ππ?? ??? C. 74,63ππ?????? D. 43,32ππ?????? 二、填空题： 11．二项式521x ??- ???

的展开式中第四项的系数为 ．

12．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．

13．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5, 的首项是，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ．

17．如图,在扇形OAB 中,60AOB ?∠=,C 为弧AB 上的一个动点.若OC -→xOA y OB -→-→

=+，则3x y +的取值范围是 ． 20．(本题满分14分)已知数列{}n a 满足1111,14n n a a a +==-

,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =

-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得1

1n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.

21．(本题满分15分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12

，右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35

. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 中点恰好在

直线上，求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).

22．(本题满分15分)已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++

(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极小值； (Ⅱ)当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值；

(Ⅲ)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:(),l y h x =当0x x ≠时，若0

()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，试问函数()y f x =是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

4.C 【解析】由题意，得：11111+00m m m m a a a a a a a ++>?-<<-??

+

?>，111(1)02

m m a a S m +++=?+< 5.B 【解析】由题意，得： 5,0

16,1

8,2

4,3

2,41,5n k n k n k n k n k n k ==?==?==?==?==?==?终止

当2n =时，执行最后一次循环；

当1n =时，循环终止，这是关键。输出5k =。

6.D 【解析】由题意，分1n =或1m =两种情况：

（1）1n =时，23m =，此时()f x 在[,]m n 上单调递减

故2()log 13a f m m a ==?=

（2）1m =时，43

n =，此时()f x 在[,]m n 上单调递增

故3()log 14

a f n n a ==?=

9.C 【解析】由题意，()()1F x xf x =-的零点，即1()f x x 与的交点。

易绘(,2)x ∈-∞的函数图象，且131(0)(2)0,(1)1,()()222f f f f f ===== 当[2,)x ∈+∞时，11(4)(2)0,(6)(4)0,22

f f f f ==== 依次类推，易得(4)(6)(8)(2)0f f f f n =====

又11(3)(1)22f f ==, 同理11(5)(3)24f f ==，11(7)(5)28

f f == 不难绘出[2,)x ∈+∞的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5

个。

10.B 【解析】先化简：

2222223363364522

3636453636453636(sin sin sin )(cos cos cos )=1sin()

(sin cos )(cos sin )=1sin()sin()sin()=1sin()

sin()136

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d a a d π---=+-=++-=+?-=??=-?-=-?

又当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，即： 91910110180430,09032a a d a a a a a d ππ=+>?>

14. 3【解析】由题意：2230133

x y x y +-=?+=，

221212252523333333

x y x y y x xy x y x y x y ????+??=+=+?+=++≥?+= ? ? ??????? 15. 27

圆心到直线的距离22200212a b c

c d a b c ?-?+===+

16. 10【解析】由题意，绘出可行性区域如下：

设2z x y =+，即求2y x z =-+的截距的最大值。

因为,x y Z ∈，不妨找出77,22?? ???

附近的“整点”

。 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，10z =最大.

17．[]1,3【解析】方法（一）：特殊点代入法。

C 与A 重合时，1,0x y ==，此时31x y +=；

C 与B 重合时，0,1x y ==，此时33x y +=.

注意到，C 从B 点运动至A 点时，x 逐渐变大，y 逐渐变小。 显然，一开始x 趋于0，而y 趋于，

故3x y +的范围受y 的影响较大。

故猜想，3[1,3]x y +∈

方法（二）：设扇形的半径为r

考虑到C 为弧AB 上的一个动点，OC -→xOA y OB -→-→=+. 显然,[0,1]x y ∈

两边平方：22OC r -→??= ???2

22222xOA yOB x r xyOA OB y r -→-→-→-→??=+=?+?+? ???

消2r ：2210y x y x +?+-=，显然2430x ?=-> 得：2

430)x x y y -+-=>， 故2

134332x x y x -+=- 不妨令2

1343()[0,1])2x f x x x -=-+∈ 2

1'()02243f x x =-<-， 所以()f x 在[0,1]x ∈上单调递减,(0)3,(1)1f f ==，得()[1,3]f x ∈。

19.【解析】(I)由题意知20

3)2(60160.211=+≤=?=γx xy Cx C C P L r ， 当且仅当y x =时等号成立，

所以，当P 取得最大值时3==y x .

(II)当2=x 时，即甲箱中有2个红球与4个白球，

所以ξ的所有可能取值为3,2,1,0

则51)0(1

4261124===C C C C P ξ， 157)1(14

261224121412=+==C C C C C C C P ξ，

103)2(14

261214121222=+==C C C C C C C p ξ, 30

1)3(142612===C C C P ξ， 所以红球个数ξ的分布列为

于是6

7=ξE . 依题意要使1

1+

得到32

)7(732)7(7322222=-+?≤-=m m m m S ， 当且仅当2

72=m 取到等号，检验0>?成立. 22.【解析】(I)当1=a 时，()x

x x x x x x x x f )12)(1(1321322'--=+-=+-=， 当210<

x f ， 当12

1<x 时()0'>x f .

所以当1=x 时，()x f 取到极小值2-。 (II))0(12)(>-='x x x x f ，

所以切线的斜率m

m m m m m k ln 1122--=--= 整理得01ln 2

=-+m m ,

显然1=m 是这个方程的解，

又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数，

所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解，故1=m .

若20=x 时2)2(2)(-=x x

x F r ，即)(x F 在),0(+∞上是增函数，

当0x x >时，0)()(0=>x F x F ， 当0x x <时，0)()(0=

即点()()00,x f x P 为“转点”，

故函数)(x f y =存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.

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