随机过程复习题
更新时间:2023-12-31 22:08:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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随机过程习题
例.设{Xn,n?0}是相互独立的随机变量序列,且P(Xn?1)?p,
P(Xn??1)?1?p?q。令Yn??Xkk?0n,试证{Yn,n?0}是一马尔可夫链,
写出其状态空间,并求P(Y0?0,Y1?0,Y2?0,Y3?0)。
例.设马尔可夫链{Xn,n?0}的状态空间为I?{0,1,2,?},其一步转移矩阵为
?q0??qP??1q?2???p000?0p10?00p2?0???0??0?? ????其中,pi
?0,qi?pi?1,i?0。试讨论该链为常返的充要条件。
解:由{Xn,n?0}是相互独立性,有 P(Yn?1???j|Y0?i0,Y1?i1,Y2?i2,?,Yn?in)
P(Y0?i0,Y1?i1,Y2?i2,?,Yn?in,Yn?1?j)P(Y0?i0,Y1?i1,Y2?i2,?,Yn?in)P(Y0?i0,X1?i1?i0,X2?i2?i1,?,Xn?in?in?1,Xn?1?j?in)P(Y0?i0,X1?i1?i0,X2?i2?i1,?,Xn?in?in?1)P(Yn?in,Xn?1?j?in)?j?in)?P(Yn?in)
?P(Xn?1?P(Yn?in,Yn?1?j)?P(Yn?1?j|Yn?in)P(Yn?in)故{Yn,n?0}是一马尔可夫链。又因为Xn取1或-1,所以Yn的状态空间为I?{0,?1,?2,?}。事件{Y0?0,Y1?0,Y2?0,Y3?0}可以化为下列X0,X1,X2,X3的取值:
X0111111X11111?1?1X2?1?11111X3?11?11?11Pppqqppqppppq pppppqpqpqpp因此
P(Y0?0,Y1?0,Y2?0,Y3?0)?p2q2?p3q?p3q?p4?p3q ?p2(1?q)
解:由于该马尔可夫链是不可约的,仅考察状态0的常返性即可。由矩阵P知:
(1)f00?q0?1?p(2)f00?p0q1?p0?p0p1?(n)f00?p0p1?pn?2?p0p1?pn?1
从而
(n)f00??f00?lim(1?p0p1?pn?1)?1?limp0p1?pn?1
?n?1n??即得状态0为常返的充要条件是
??ln1??n?0pn
n??
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