固体物理复习习题及答案

第一章 金属自由电子气体模型习题及答案

1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？

[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。

2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？

[解答] 费米能级

?2 E?(3n?2)2/3 ，

2moF 其中n单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费密能级降低。

3． 为什么温度升高，费米能反而降低？

[解答] 当T?0K时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。

4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？

[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。

价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必

然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式

0kF?(3n?2)1/3可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能

?23o3?222/3(3n?2)2/3式看得更清楚。就越大。这一点从E?电子的平均动能E正(3n?)和E?EF?510m2m0F比于费米能EF ，而费米能又正比于电子浓度no2l3。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。

5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？

[解答] 两块同种金属，温度分别为T1和T2，且T1?T2。在这种情况下，温度为T1的金属高于费米能EF的电子数目，多于温度为T2的金属高于费米能EF的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为T1的金属高于EF的部分电子将流向温度为T2的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为T1的金属失去电子，带正电；温度为T2的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。

ooo1

6． 为什么价电子的浓度越高，电导率越大？

[解答] 电导?是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电

子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径kF?(3n?)

7． 一金属体积为V，价电子总数为N，以自由电子气模型，

（1）在绝热条件下导出电子气体的压强为： P?21/3。 可见电子浓度n越高，费米球越大，

对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。

2U030 ，其中电子气体的基态能量U0?NEF 3V510U05。 P?39V（2）证明电子气体的体积弹性模量 K??V(?p/?V)?[解答]

(1) 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU，即

dU?W??PdV 式中P是电子气的压强。由上式可得 P???U ?V在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由

33?2N0U?U0?NEF?N(3?2)2/3

552mV由此可得到

?U0P???V2U03?22?N(3N?2)2/3?(V)?5/3? 52m33VP

和体积V的关系为

（2） 体积弹性模量K与压强

?PK ，将???VV10U0?P3?225??N(3N?2)2/3?(V)?8/3?? ?V52m339V2代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，得到 K?

10U0 9V(6?2)1/38． 每个原子占据的体积为 a，绝对零度时价电子的费米半径为 k?，计算每个原子的价电

a30F子数目。

[解答] 在绝对零度时导电电子的费米半径 kF?(3n?)021/3。

(6?2)0现已知一金属导电电子的费米半径 kF?a

1/3，所以，该金属中导电电子的密度

2

n?2。 3aa3是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。

9． 求出绝对零度时费米能EF 、电子浓度n 、能态密度N(EF)及电子比热CV与费米半径kF的关系。

[解答]

绝对零度时电子的费米半径

0kF?(3n?2)1/3。

00e0电子浓度n与费米半径的关系是

03(kF) n?。 23?绝对零度时电子的费米能与费米半径的关系为

02?2(kF)?222/3 E? (3n?)?2m2m0F自由电子的能态密度是

N(E)? 由此可得

N(EF)?平均一个电子对热容量的贡献为 Cv?因为

002EF?2(kF)T??

kB2mkB0FVc2m3/21/2(2)(E) 22??0Vc2m3/201/2Vcm0()(E)?kFF 22222?????2T2T(0F)kB

所以一个电子的热容与费米半径的关系为 Cv?

10． 经典理论认为，所有价电子都参与导电，电流密度j与所有电子的飘移速度?d的关系是 j?ne?d 已知铜的电子浓度n?10

292?2mkB?(k)20F2T

/m3，j?5?104A/m2，试比较费米速度?F和飘移速度?d

3

[解答]

?kF是费米面上电子的动量，电子的费米速度则为` ?kF?(3n?2)1/3 ?F? ?mm将漂移速度

?d?与费米速度比较，得

将

e?1.602?10?19j ne?djm? ?Fne?(3n?2)1/3C ，m?9.110?10?31kg ，??1.055?10?34J?s ，n?1029/m2 ，

j?5?104A/m2

代入上式，得到

?d?1.877?10?12 ?F可见如果认为所有价电子都参与导电，则价电子的飘移速度将远小于费米面上电子的速度。这一点也不难理解，因为量子理论认为，参与导电的电子只是费米面附近的少数电子。如果把费米面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成

j?n?e?F

由于 n???n ，所以?F???d。

第二章 晶体的结构习题及答案

1．晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，0A ，0B和0C分别与基矢a1，a2和a3重合，除0点外，0A ，0B ，和0C上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？

[解答] 晶面家族（123）截a1，a2 ，和a3分别为1，2，3等份，ABC面是离原点0最近的晶面，

0A的长度等于a1长度，0B的长度等于a2的长度的1/2 ，0C的长度等于a3的长度的1/3 ，所以只有A点

是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B、和C都不是格点。

2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？

[解答] 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。

3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

[解答] 晶体中原子间距的数量级为10

?10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小

4

于10?10米。但可见光的波长为7.6 — 4.0?10?7米,是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。

4．温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？

[解答] 温度升高时，由于热膨胀，面间距dhkl逐

渐变大，由布拉格反射公式

2dhklsin??n?可知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面间距dhkl逐渐变大，衍射角?逐渐变小。

所以温度升高，衍射角变小。

当温度不变，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角?随之变大。

5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度）分别为：

（1）简立方，

3?? ； ； （2）体心立方，8623? ； （4）金刚石结构，? 。 616（3）面心立方，

[解答] 该想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原

子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。

设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度

4n?r3 ??3

V （1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图2.1所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。

图2.1 简立方晶胞 4a3?()332?? 。因为a?2r ，晶胞内包含1个原子，所以 ?? V?a ，36a（2） 对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子以刚性

球堆积，如图2.2所示，体心位置O的原子与处在8个角顶位置的原子

3球相切。因为晶胞空间对角线的长度为 3a?4r，V?a ，晶胞内

包含2个原子，所以

43a32??()3?34???。 38a（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以

刚性球堆积，如图2.3所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子相切。因为 2a?4r，V?a ，1个晶胞内包含4个原子，所以

3 图2.2 体心立方晶胞 5

图2.3 面心立方晶胞

42a34??()34 ???3a2?。 6（4）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图2.4所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的面心原子相切，因为

3a?8r 晶胞体积

V?a 1个晶胞内包含8个原子，所以

343a38??()3?38 ??。 ?316a6． 在立方晶胞中，画出（101），（021）晶面。

[解答]

图2.4 金刚石结构 图2.5 (a) (101)面, (b) (021)面

图2.5中虚线标出的面即是所求的晶面。

7. 六角晶胞的基矢 a?3a3aai?j, b??ai?j，c?ck。求其倒格基矢。 2222[解答] 晶胞体积为 ??a?[b?c]?(3a3a32ai?j)?[(?ai?j)?(ck)]?ac。 22222其倒格矢为

a?*2?[b?c]3a22?3?2?[(?ai?j)?(ck)]??(i?j)。 2?22a33ac2?[c?a]3a22?3?2?[(ck)?(ai?j)]??(?i?j)。 2?22a33ac6

b?*

c*?2?[a?b]3a3a22??2?[(ai?j)?(?ai?j)]??k。 2?2222c3ac

8． 证明以下结构晶面族的面间距：

（1）立方晶系：dhkl?a[h?k?l]222?1/2；

（2）正交晶系：dhkl?[()2?()2?()2]?1/2；

hakblc（3）六角晶系：dhkl4h2?k2?hkl2?1/2?[()?()]。 23ca [解答]

（1）设沿立方晶系晶轴a,b,c的单位矢量分别为i，j，k，则正格子基矢为

a?ai， b?aj， c?ak，

倒格子基矢为 a?*2?2?2? i， b*?j， c*?k。

aaa图2.6 立方晶胞 *** 与晶面族（hkl）正交的倒格矢 Khkl?ha?kb?lc。

由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl 的关系式 dhkl?2? Khkl得 dhkl?ah?k?l222 。

（2）对于正交晶系，晶胞基矢a，b，c相互垂直，但晶格常数a?b?c，设沿晶轴a，b，c的单位矢量分别为i，j， 则正格子基矢为 a?ai， b?bj， c?ck， k，

倒格子基矢为 a?*2?2?2?i， b*?j， c*?k。 abc***与晶面族（hkl）正交的倒格矢 Khkl?ha?kb?lc。

7

图2.7 正交晶胞 由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl 的关系式 dhkl?2? Khkl得 dhkl?[()2?()2?()2]?1/2。

hakblc（3）对于六角晶系，a?b?c，????90，??120，晶面族（hkl）的面间距

00dhkl?2?2???***Khklha?kb?lc2?ha*?kb*?lc*2

也即

112*22*22*2******?[ha?kb?lc?2hk(a?b)?2kl(b?c)?2hl(a?c)] （1） 22dhkl4?由图2.8可求得六角晶胞的体积

??c?(a?b)?acsin??acsin120?22032ac。 2倒格基矢的模

a*?b*?a*?2?b?c??2?acsina(3/2)ac2?4?3a。

c?c?2?**a?b??2?a2sin?(3/2)a2c?2?。 c倒格基矢间的点积

a*?b*???4?24?22?[(b?c)?(c?a)]?4?22 图2.8 六角晶胞 ??c?[a?(b?c)]?4?2a2c2?28?23a2[(b?c)(c?a)?(b?a)(c?c)]??2(cosacos??cos?)其中利用了矢量混合积的循环关系

A?(B?C)?B?(C?A)?C?(A?B)

8

及关系式 A?(B?C)?B(A?C)?C(A?B)。

4?2因为 (a?b)矢量平行于c ，所以 a?c?[(b?c)?(a?b)]?0， 2?**4?2 b?c?[(c?a)?(a?b)]?0。 2?**将以上诸式代入（1）式，得 d?2hkl4(h2?k2?hk)l2??2， 23ac即 dhkl4h2?k2?hkl2?1/2?[()?()]。 3ca2

9．求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距。 [解答] 面心立方正格子的原胞基矢为

a1?aaa(j?k)， a2?(k?i)， a3?(i?j) 222由 b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2] ， b2? ， b3? ，

???可得其倒格子基矢为 b1?2?2?2?(?i?j?k) ， b2?(i?j?k) ， b3?(i?j?k) ， aaa倒格矢 Kh?h1b1?h2b2?h3b3

根据式 dh1h2h3?2?，得面心立方晶体晶面族(h1h2h3)的面间距 Kh2?a?。 2221/2Kh[(?h1?h2?h3)?(h1?h2?h3)?(h1?h2?h3)] dh1h2h3?体心立方正格子原胞基矢可取为

9

a1?aaa(?i?j?k) ， a2?(i?j?k) ， a3?(i?j?k) 。 22a其倒格子基矢为 b2?1?a(j?k) ， b2?2?2?a(k?i) ， b3?a(i?j) 。 则晶面族(h1h2h3)的面间距为

d2?ah1h2h3?K?)2?(h21/2。 h[(h2?h33?h21)?(h1?h2)]

10． 试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。

[解答] 对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们相互间的夹角也相等，即

a?a1?b?a2?c?a3?a， ???????。

利用正倒格子的关系，得 b2?[a2?a3]1???2?a2sin???b， b2?[a3?a1]2???2?a2sin???b b2?[a1?a2]23????a2sin???b。 设b1与b2的交角为?12 ，b2与b3的交角为?23 , b3与b1的交角为?31 ,则有

b?b24?2a4?212?bcos?12?2[(a2?3)?(a3?a1)]?2a1?[(a2?a3)?a3] ??224 ?4??[(a(a4?a21?a3)(a2?a3)?1?a2)a2]??2(cos2??cos?) 由（1）和（2）式得 cos??cos2??cos?cos?(1?cos?)?cos12sin2???1?cos2???1?cos?。由b?cos?2?b3和b3?b1可得 cos?1?cos? ， cos??cos?23?31?1?cos? 。

10

1）2）（ （

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