教版八年级数学上册全等三角形导学案

教版八年级数学上册全等三角形导学案

课题: 11．1 全等三角形

【学习目标】

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素，会用符号正确地表示两个三角形全等.

2．知道全等三角形的性质，并会进行应用. 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 【活动方案】

活动一 知道全等形、全等三角形及对应元素一系列概念，会用符号表示全等

1. 将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放在一起，观察

它们能否重合。

2.观看课本美丽的图片并阅读课本P2—3的部分，思考并回答下列问题： (1)什么是全等形？什么是全等三角形？你能举出生活中全等形的实例吗？

(2)全等三角形有哪些对应元素？怎样记两个三角形全等？

活动一 知道全等三角形的性质

1．利用三角形纸片做如下变换：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

2.思考：各图中的两个三角形全等吗？为什么？如果全等把它们分别表示出来.（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

3.寻找上图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （提示：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形）

独立完成后，小组交流并归纳出全等三角形的性质： ．

B

C

甲

A

A

D

D

C

EB

B

E

F

乙

C

丙

D

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活动三 知识应用

1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，

C

B

说出这两个三角形中相等的边和角．

A

D

A

2. 如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED， ∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

（提示：对应边和对应角一定在两个全等三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．） （小组讨论交流寻找对应角、对应边的经验）

课堂小结：这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？ 【检测反馈】

1．下面的每对三角形分别全等，观察是怎么变化而成的，说出对应边、对应角。

B

D

EC

2．将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF（如图） （1）线段AB、DE是对应线段，有什么关系？ 线段AC和DF呢？

（2）线段BE和CF有什么关系？为什么？ （3） 若∠A=50º，∠B=30º，你知道其他各 角的度数吗？为什么？

3．已知△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE 是对应边，∠A=40º，∠B=30º，求∠ADC的大小.

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课题：11．2三角形全等的判定（第一课时）

【学习目标】

1．知道“边边边”的内容，会运用“SSS”证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；

2．知道三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程． 【活动方案】

活动一 探索三角形全等的条件

1．只给一个条件：（1）画出一条边为6cm 三角形 （2） 画出一个角为30度的三角形.小组交流所画的三角形全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和小组的同学比较一下，所画的图形全等吗? ①三角形的一个内角为60°，一条边为3 cm； ② 三角形的两个内角分别为30°和70°； ③ 三角形的两条边分别为3 cm和5 cm

从1、2画图归纳：如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形 .

3．若给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？（小组讨论交流）

4. 已知一个三角形的三条边长分别为4cm、5cm、6cm．你能画出这个三角形吗？ 把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

由活动我们得到全等三角形的一个判定方法: 对应相等的两个三角形全等（简称为“边边边”或“SSS”）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据． 活动二 学会用“边边边”证明三角形全等

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1．如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

求证:△ABC≌△FDE .

（如果有困难，可以先讨论，后完成）

1. 如图，已知AC=FE, BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．

A

C

B

E

F

3．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状就固定不变了，为什么？ 而用四根木条钉成的框架，它的形状却是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．在日常生活中常利用三角形做支架，就是利用 ．请举出生活中类似的例子 . 【检测反馈】

1. 如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC. 求证:△ABC≌△CDA.

2．如图，AB DC，AC DB，△ABC≌△DCB全等吗？ 为什么？

3．如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成， 为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动， 和同伴交流看看方法是否一样.

B

C

A

D

C

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课题：11.2三角形全等的条件（第二课时）

【学习目标】

1．知道三角形全等“边角边”的内容．

2．会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件． 3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程． 【活动方案】

活动一 探索三角形全等的条件

1．如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？为什么？

（1）在上面的例子中我们已知哪些条件（从三角形的边、角关系作答），得到什么结论？

（2）由（1）中的回答，你能得到什么猜想？

2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验： (1)读句画图： ①画∠DAE＝45°，

②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm． ③连结BC，得△ABC．

④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

总结得出： 相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”) 活动二 全等三角形判定的简单应用 阅读课本第9页例2后，完成下列问题：

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1． 如图，已知AD∥BC，AD＝CB．求证：△ABC≌△CDA． （提示：要证明两个三角形全等，已具有两个条件，一是 AD＝CB(已知)，二是___________，还能再找一个条件吗？可以小组交流后再完成） 证明：

2.思考：如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？”

画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流。

谈谈你本节课的学习收获。 【检测反馈】

1．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE， BE∥DF，BE＝DF． 求证：AB∥CD

2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2． 求证：△ABD≌△ACE．

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课题：11.2三角形全等的条件（第3课时）

【学习目标】

1．知道三角形全等“角边角”的内容．

2．会运用“ＡSＡ”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件 【活动方案】

活动一 探索三角形全等的条件

1.画一画：如图，△ABC是任意一个三角形，画△A1B1C1 , 使A1B1=AB,∠A1=∠A,∠B1=∠B，把画的△A1B1C1剪下来放ABC进行比较，它们是否重合？由此你能得出什么结论？ 得出结论： 对应相等的两个三角形全等（简“角边角”或“ASA”）

在△称

2.如图,已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C.求证：BE=CD

2. 如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD，判断 图中的两个三角形是否全等，如果全等请说明理由． B

如果不全等，可以改变什么条件可使这两个三角形全等。

先独立思考，然后在小组内讨论交流你的思路。 活动二 知识巩固，能力提升

1．如图，已知 AB∥CD，CE∥BF. 若AE=DF, 求证：BF=CE

D C

B

AD

C

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2． 如图，已知△ABC≌△A'B'C'，CF、C'F'分别是△ABC的∠C和△A'B'C'的∠C'的角平分线，那么线段CF和C'F'相等吗？

A

小组交流解题思路，把典型问题展示出来，分析错因。

小结：通过这节课的学习，你学到了哪些新的知识，在解决问题的过程中获得了什么启示？还有什么疑惑？ 【检测反馈】

1．如图1,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（ ）

A、选①去，B、选② C、选③去

2．如图2，O是AB的中点， 要使通过角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD，需要添加一个条件,下列条件正确的是( ）

DAA、∠A=∠B B、AC=BD C、∠C=∠D

3．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？

请你说明理由.

4

BC

4．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再定出BF 的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长度就是AB的长度，为什么？

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课题：11.2三角形全等的条件（第4课时）

【学习目标】

1．知道“角角边”内容.

2．利用“AAS”证明全等，为证明线段相等和角相等创造条件. 【活动方案】

活动一 探索三角形全等的条件

1．在“角边角”中，边是两个角的夹边，如果边是其中一个角的对边，那么这两个三角形还全等吗？

画一画：先任意画一个△ABC，再画一个△A1B1C1，使∠A1=∠A，∠B1=∠B，B1C1=BC，把你画好的△A1B1C1剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

结论： 全等. (简称“角角边”或“AAS”) 小组交流你所发现的结论。

2．如图，已知∠ADB=∠ADC，由AAS判定△ABD≌△ACD， 还需添加的一个条件是____________.（说说你是怎么想的）

活动二 巩固知识,能力提升

1．如果∠B=∠C，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD

2．如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F， 利用学过的知识你能证明几对三角形全等？选一对全等加以证明.

E

F

CD

A

D

C

3．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。

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求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF

C

A

F

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。

谈谈你的学习收获 【检测反馈】

O

D

B

1．如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 （ ）

A．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙

2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAC=∠CAD. 求证：AB=AD .

2. △ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD有什么关系？请加以证明.

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课题:11.2三角形全等的判定（第5课时）

【学习目标】

1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2．知道直角三角形全等的条件，并能加以应用. 【活动方案】 活动一 探索新知

（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角 ， 利用尺规作一个Rt△ABC， 使∠C=∠ ，AB=c ，CB= a .

1、按步骤作图： a c ① 作∠MCN=∠ =90°.

② 在射线 CM上截取线段CB=a .

③ 以B 为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A . ④ 连结AB.

2、与同桌重叠比较，看所作的Rt△ABC是否重合？

3、从中你发现了什么？

.（简称“斜边、直角边”或“HL”）

在组内与同伴交流你的发现。

活动二 巩固新知

1．如图1，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与 △ADC （填“全等”或“不全等” ）, 根据 （用简写法）.

图1

2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等

3．如图2，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

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AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。 【检测反馈】 1．判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（ ）

（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（ ）

2．如图3，已知：△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（ ）

A.5对 B. 4对 C. 3对 D.2对

3．如图4，已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC于F，求证：BF是△ABC中AC边上的高.（提示：关键证明△ADC≌△BDE）

图2

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课题:11.2三角形全等的判定（第6课时）

【学习目标】

1.知道三角形全等的各种判断方法；

2.能根据具体问题合理选择相应的判断方法. 【活动方案】

活动一 归纳判断三角形全等的条件

1

2．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O. （1）由AD∥BC，可得 = ，由AB∥CD， 可得 = ，又由 ，于是△ABD≌△CDB； （2）由△ABD≌△CDB ，可得AD= ，AB= ， B从而还可证明 △AOD≌ ；△AOB≌ . （3）图中全等三角形共有 对,分别用了哪些判断方法?

2． 如图，在 ABC中, C 90，沿过点B的 一条直线BE折叠 ABC，点C恰好落在AB边的 中点D处，则∠A的度数是 .

先独立思考解答，然后小组交流你的解题思路。

活动二 应用全等判断定理解题

A

C

D

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1．如图，已知：AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB. 求证：△ADF≌△ CBE .

2．求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。（注意要先画出图形）

已知： 求证： 证明：

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。 【检测反馈】

1．下列各说法中，正确的是（ ）

A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．有两角一边分别相等的两个三角形全等 C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．有两组边相等且周长相等的两个三角形全等

2．将全等的△ABC与△DEF重合，再沿AB方向将△DEF推移如图位置，问线段AD与BE数量关系怎样？BC与EF位置关系怎样？为什么？

3．如图，AD BC，AB CD，则 （1） A B C D等于多少度？

（2）图中有哪几组平行线？有哪些相等的角？ （提示：连接AC、BD，利用全等解决）

C

F

AD

B

E

A

DC

B

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课题：11.3角的平分线的性质（第1课时）

【学习目标】

1．会用尺规作图作角平分线；

2．知道角平分线的性质，并会运用角平分线性质解决问题． 【活动方案】

活动一 学会作角平分线

1．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC． 将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

（先独立思考，然后组内交流）

2．由第1题的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？说一说，写一写角平分线的作法． 已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线． 作法：（1） （2） （3）

注意： 角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.

练一练：作一个平角∠AOB的平分线.

想一想：由此你能得出: “用尺规过直线上一点作已知直线的垂线”的方法吗？相互说一说。 活动二 探究角平分线的性质

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1． 动手操作完成课本第20页的探究。

思考：角平分线上的点到角两边的距离大小关系如何？你能得到什么猜想？把你的猜想写出来。

2．你能证明自己的猜想是正确的吗？试一试。

3．你能结合右图用符号语言表示角平分线的性质吗？

思考：证明几何命题的步骤有哪些？

小结：通过这节课的学习你有哪些收获？还有什么疑惑？ 【检测反馈】

1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2. 求：（1）点D到AB的距离； （2）△ABD的面积.

3． △ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证EB＝FC .

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课题：11.3角的平分线的性质（第2课时）

【学习目标】

1．知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用； 2．注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题. 【活动方案】

活动一 复习角平分线的性质定理 1．角平分线性质定理的内容是什么？

2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

（先独立思考解答，然后在组内交流。）

想一想：我们知道： 角平分线上的点到 距离相等；那么到角两边距离相等的点是否也在这个角平分线上呢？

活动二 探究角平分线性质定理的逆命题 1．阅读教材P21 思考，并说明理由。

求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（画出图形，写出已知和求证，再加以证明）.

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2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E， BE、CD相交于点O，OB＝OC. 求证：∠OAB＝∠OAC.

小组交流解题思路，将错题展示在小黑板上，分析错因。 【检测反馈】

1. 已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P . 求证：点P在∠A 的平分线上

2．如图：在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，求∠BAD的度数.

3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF、EF，求证: DF＝EF

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全等三角形复习课 （第1课时）

【学习目标】

1．总结三角形全等的识别条件,灵活运用各种判定方法解决问题； 2．培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力。 【活动方案】

活动一 填一填，算一算，看谁做得既对又快

已知如图（1）， ABC≌ DCB,其中的对应边:____与____,____与____, ____与____,两个全等三角形中对应角有

图（2）

2．如图（2）, ABC≌ ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G, ∠ACB=105 ， ∠CAD=10 ， ∠D=25 . 求 DFB、 DGB的度数.

思考并交流：在找全等三角形的对应边和对应角时，如何做到对应？ 活动二 应用知识，解决问题

1． 如图，在 ABC中, C 90，D、E分别为AC、AB上的点， 且AD=BD,AE=BC,DE=DC. 求证：DE⊥AB

2． 如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB．

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