2016高三数学解析几何第一轮复习资料(共67页)

第九编 解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则?的范围为 . 答案 0°＜?＜135°

2.（20132全国Ⅰ文）曲线y=x-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 答案 1

4.已知直线l的倾斜角为?，且0°≤?＜135°，则直线l的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）

5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-答案 -

3

基础自测

2的直线垂直，则实数a的值为 . 32 3????例1 若?∈?,?，则直线2xcos?+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .

?62??5??答案 ?,??

?6?例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.

解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时，l1:y=-3,

l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 分

当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1:y=-a1x-3,l2:y=x-(a+1), 21?a2

2

?a1l1∥l2????2?1?a，解得a=-1,

???3??(a?1)5分

综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-132=0， 由A2

1C2-A2C1≠0，得a(a-1)-136≠0, 分

∴ll??a(a?1)?1?2?01∥2?? ??a(a2

?1)?1?6?0分

????a2?a?2?0??a=-1, ?a(a2

?1)?6分

故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直，故a=1不成立. 分

当a≠1时，l1:y=-a2x-3, l12:y=1?ax-(a+1),

12分

由????a?2??2121?a=-1?a=3.

14分

方法二 由A1A2+B1B2=0， 得a+2(a-1)=0?a=

23. 14分

例3 已知实数x,y满足y=x2

-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：y?3x?2的最大值与最小值. 解 由

y?3x?2的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与点（x,y)的直线的斜率k, 如图可知：kPA≤k≤kPB,

由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴

43≤k≤8，

6

2

4

5

6

8

AB上任一

曲线段故

y?34的最大值为8，最小值为. x?231.直线xcos?+3y+2=0的倾斜角的取值范围是 .

????5??答案 ?0,???,??

?6??6?2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l1与l2相交；

当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为 k1=-3?m2，k2=-，

45?m5?3m8，b2=. 45?m它们在y轴上的截距分别为b1=（1）由k1≠k2,得-m≠-7且m≠-1.

3?m2≠-，

45?m∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.

2?3?m?????k1?k2,?45?m（2）由?,得?，m=-7.

5?3m8?b1?b2,???5?m?4∴当m=-7时，l1与l2平行. （3）由k1k2=-1, 得-3?m132??2??. ?=-1，m=-43?5?m?∴当m=-

13时，l1与l2垂直. 32

2

3.若实数x,y满足等式(x-2)+y=3，那么

y的最大值为 . x答案 3

一、填空题

1.直线xcos?+y-1=0 (?∈R)的倾斜角的范围是 .

????3?答案 ?0,????,??

?4??4?2.（20142姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为?1,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为?2,且

?2=?1+90°,则m的值为 . 答案 -2

3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .

2

??????答案 ?0,???,??

?4??2?4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 . 答案 -2

5.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 . 答案 -

1 32

3

6.（20132浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a），C（3，a）共线，则a= . 答案 1+2

7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）

8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 . 答案

1 3二、解答题

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.

解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点. kAP=则-∴-?1?1?1?23=-2，kAQ==， 0?10?22131≥或-≤-2， m2m21≤m≤且m≠0. 32又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点， ∴所求m的取值范围是-

21≤m≤. 32方法二 过P、Q两点的直线方程为 y-1=

2?114(x+1),即y=x+, 2?133代入x+my+m=0, 整理，得x=-由已知-1≤-解得-7m. m?37m≤2, m?321≤m≤. 3210.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得： （1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合. 解 （1）由已知133≠m(m-2),

即m-2m-3≠0, 解得m≠-1且m≠3.

故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交. （2）当12（m-2）+m23=0，即m=(3)当

2

1时，l1⊥l2. 21m6=≠,即m=-1时，l1∥l2. m?232m1m6==， m?232m（4）当

即m=3时，l1与l2重合.

11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.

解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB2kBC=0≠-1，

即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC，∴

y?3=0，即y=3. x此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为（3，3）. ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD， kAD=

y?3y，kCD=. xx?3y?323=-1. x由于AD⊥AB，∴又AB∥CD，∴

y=3. x?318?x?,??5解上述两式可得?

9?y?,?5?此时AD与BC不平行.

?189?故所求点D的坐标为?,?,

?55??189?综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或?,?.

?55?12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程；

??3?1,3?1?，求直线AB的倾斜角?的取值范围. （2）已知实数m∈???3???解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,

即2x+5y=0.

②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为

yx?=1， 2aa将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-

1， 2此时，直线方程为x+2y+1=0.

综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. （2）设直线l2的倾斜角为?,则tan?=

45?1, 3353. 4于是tan

?1?cos?==2sin?1?32tan?4?24, ?tan2?=271?tan?1?(3)242?所以所求直线l1的方程为y-6=即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=即24x-7y-150=0.

1(x-8), 324(x-8), 72.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程. 解 方法一 设直线l的方程为∴A(a,0),B(0,b), ?ab?24,?a?6,?∴?32解得? ?a?b?1.?b?4.?xy??1（a＞0,b＞0）, ab∴所求的直线方程为即2x+3y-12=0.

xy?=1, 64方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-2, k令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.

22??∴?3??(2-3k)=24.解得k=-.

3k??∴所求直线方程为y-2=-即2x+3y-12=0.

2(x-3). 33.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件: ①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的

75. 101;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之2比是2∶5.若能,求P点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l2即为2x-y-

1=0, 2∴l1与l2的距离d=

121a?(?)222?(?1)2?75, 10a?∴

5=

7517,∴a?=, 1022∵a＞0,∴a=3.

(2)假设存在这样的P点.

设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，

且

C?35=

12C?512，即C=

1311或C=， 26∴2x0-y0+

1311=0或2x0-y0+=0； 26若P点满足条件③，由点到直线的距离公式即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；

2x0?y0?35=

253

x0?y0?12，

由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意. 13??0?2x0?y0?联立方程?， 2?x0?2y0?4?0??x0??3,?解得?1 (舍去).

y??02,?1?11?x?0??2x?y0??0,?9由?0解得? 637?x0?2y0?4?0,?y??0?18??137?∴假设成立，P?,?即为同时满足三个条件的点.

?918?4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

?x?2y?5?0,解 方法一 由?

3x?2y?7?0.??x??1,得?

y?2.?∴反射点M的坐标为（-1,2）.

又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-

y02=. 3x0?5?x0?5y0?而PP′的中点Q的坐标为??2,2??,

??Q点在l上，∴32

x0?5y-220+7=0. 22?y0217?x0??,?x?5??3,???13由?0得? ?3(x?5)?y?7?0.?y??32.000??13??2根据直线的两点式方程可得l的方程为 29x-2y+33=0.

方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y), y0?yx0?x2, 3则???x?x0y?y0又PP′的中点Q??2,2?∴33

???在l上， ?x?x0y?y0-23+7=0,

22?y0?y2?x?x??3?由?0 ?3?x0?x?(y?y)?7?00?2?可得P点的坐标为 x0=

?5x?12y?4212x?5y?28，y0=，

1313代入方程x-2y+5=0中， 化简得29x-2y+33=0,

即为所求反射光线所在的直线方程.

一、填空题

1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N，b∈N，则可作出的l的条数为 . 答案 2

2.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是 . 答案 x+3y-15=0

3.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是 .

*

*

答案 -

2 34.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 . 答案 x+2y-3=0

5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 . 答案 2x+y-6=0

6.点（1，cos?）到直线xsin?+ycos?-1=0的距离是答案 30°或150°

1(0°≤?≤180°)，那么?= . 4???

7.设l1的倾斜角为?，?∈?0,?，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转?角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2

?2?绕P沿逆时针方向旋转答案 2x-y+8=0

8.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 二、解答题

9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为

?-?角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为 . 21. 64-3，3k+4， k解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-由已知，得（3k+4）（解得k1=-4+3）=±6， k28或k2=-. 33直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=由已知，得|-6b2b|=6，∴b=±1. ∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P到Q的长度.

解 （1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1. ∴QQ′所在直线方程为y-1=12（x-1） 即x-y=0.

1x+b,它在x轴上的截距是-6b, 6?x?y?1?0,由? ?x?y?0,?11?解得l与QQ′的交点M的坐标为??,??.

?22?又∵M为QQ′的中点，

?1?x'1????22由此得?.

'1?y1????2?2'??x??2,解之得?∴Q′（-2，-2）.

'??y??2.设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线. 则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射线方程为 y?2x?2，即5x-4y+2=0. ?3?22?2(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ′|. ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| =(3?2)2?(2?2)2=41, 即这条光线从P到Q的长度是41.

11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.

解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.

?2x?y?2?0由?得正方形的中心坐标P（-1，0），

x?y?1?0?由点P到两直线l,l1的距离相等， 则

?1?51?322??1?c1?322,

得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴

?3?a3?122=

?1?51?322，得a=9或a=-3,

∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.

解 方法一 设点A（x，y）在l1上，

?x?xB?3??2由题意知?，∴点B（6-x，-y），

y?yB??0??2?2x?y?2?0解方程组?，

(6?x)?(?y)?3?0?

11?x???3得?，∴k=

16?y??3?16?03?8. 11?33∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.

方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),

3k?2?xA???y?k(x?3)?k?2则?,解得?,

4k2x?y?2?0??y?A?k?2?3k?3?

xB???y?k(x?3)?k?1

由?,解得?.

?6kx?y?3?0??y?B?k?1?∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA+yB=0，即

2

4k?6k+=0， k?2k?1∴k-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，xA=1,xB=-3, 此时

xA?xB1?3??3,∴k=0舍去， 22∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.

§9.3 圆的方程

基础自测

2

2

2

1.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 . 答案 -2＜a＜

2

2

2 32.圆x+y+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是 .

1??答案 ???,?

4??3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 . 答案 （x-1）+(y-1)=4

4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x-2)+(y+1)=9

5.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）+(y+b)=r (r＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二

例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 . 答案 x+y-4x=0

例2 （14分）已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.

解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x+y+x-6y+m=0, 得5y-20y+12+m=0.

4分

设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 分

而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. 6分

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.

8

12?m. 52

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5?1?∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为??,3?，半径r=.

2?2?

14分

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2.

1??∴O1M的方程为:y-3=2?x??,

2??即：y=2x+4.

?y?2x?4由方程组?.

x?2y?3?0?解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.

6分

2

2

2

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r. 在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1?(?6)2?4m?1?2

∴???1?+（3-2）+5=.

4?2?∴m=3.∴半径为

14分

方法三 设过P、Q的圆系方程为x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0. 由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上. ∴m-3?=0，即m=3?.

2

2

2

25?1?,圆心为??,3?. 2?2?

3分

∴圆的方程可化为

x+y+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0 即x+(1+?)x+y+2(?-3)y=0.

2

2

2

6分

?1??2(3??)?∴圆心M?? ,?，

22??分

又圆在PQ上. ∴-

7

1??+2（3-?）-3=0，∴?=1，∴m=3. 2

12分

5?1?∴圆心为??,3?，半径为.

2?2?

14分

2

2

例3 已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x+y的最大值和最小值.

解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

2?0?b2?3，解得b=-2±6.

2

2

所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

（2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为(2?0)2?(0?0)2=2，

222

所以x+y的最大值是（2+3）=7+43，

2

2

222

x+y的最小值是（2-3）=7-43.

1.（20132 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x-2)+(y-1)=1

2.已知圆C：（x-1）+(y-2)=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），

又有（3-1）+（1-2）=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2r2?CM2 =225?[(3?1)2?(1?2)2]=45. 此时，kl=-2

2

2

2

2

2

1kCM,从而kl=-

1=2. 2?11?3∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

3.已知点P（x，y）是圆(x+2)+y=1上任意一点.

（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求

y?2的最大值和最小值. x?12

2

解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=

3?(?2)?4?0?1232?42=

6. 5∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r=

61161+1=，最小值为d-r=-1=. 55552

2

（2）设t=x-2y,

则直线x-2y-t=0与圆（x+2）+y=1有公共点. ∴

?2?t1?222≤1.∴-5-2≤t≤5-2，

∴tmax=5-2，tmin=-2-5. （3）设k=

y?2， x?12

2

则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）+y=1有公共点，

∴

?3k?2k2?1≤1.∴

3?33?3≤k≤, 44∴kmax=

3?33?3，kmin=. 44一、填空题

1.圆x+y-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 . 答案 2

2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）+(y-1)=4的内部，则实数a的取值范围是 . 答案 -2

2

2

2

1＜a＜1 52

2

3.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x+y-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是 . 答案 3+2

4.圆心在抛物线y=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x+y-x±2y+

2

2

2

1=0 42

2

5.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x+y+2x-4y+1=0的周长，则答案 4

6.从原点O向圆：x+y-6x+答案 ?

2

2

11?的最小值是 . ab27=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 . 42

2

7.（20132四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）+（y-1）=2，则C上各点到l距离的最小值为 . 答案 2

8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 3?25?答案 （x+2)+?y??=

2?4?2

2二、解答题

9.根据下列条件求圆的方程：

（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

x2?y2=(x?1)2?(y?1)2，即x+y-1=0.

?x?y?1?0解方程组?,得圆心C的坐标为（4，-3）.

2x?3y?1?0?又圆的半径r=|OC|=5,

所以所求圆的方程为（x-4）+(y+3)=25.

2

2

（2）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入①得：

22

①

?4D?2E?F??20 ?

D?3E?F?10② ?2

令x=0，由①得y+Ey+F=0 ④ ③由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根，

222

所以（y1-y2）=(y1+y2)-4y1y2=E-4F=48 解②、③、⑤组成的方程组得

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4， 故所求圆的方程为 2222

x+y-2x-12=0或x+y-10x-8y+4=0.

2

2

⑤

10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.

解 将圆方程化为(x-1)+(y-1)=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于Rt△PAC面积的2倍，所以SPACB=23

13|PA|3r=|PC|2?1. 22

2

∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.

当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得 |PC|min=

3?4?8=3, 52

2

故四边形PACB面积的最小值为22.

11.已知圆x+y=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程;

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.

解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). ∵P点在圆x+y=4上,∴(2x-2)+(2y)=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)+y=1. (2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ, 所以|OP|=|ON|+|PN|=|ON|+|BN|, 所以x+y+(x-1)+(y-1)=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x+y-x-y-1=0.

12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上. (1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;

(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x+y=r相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)+(y-b)=25, 其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.

又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)+(0-b)=25. ??a?b?10?0解方程组?, 22?(?5?a)?(0?b)?25?2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

?a??10?a??5可得?或?,

b?0b?5??故所求圆C的方程为

(x+10)+y=25或(x+5)+(y-5)=25.

2

2

2

2

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=

101?1=52.

2

2

2

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x+y=r相外切的圆；

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x+y=r相外切；

222

当r满足r+5=d,即r=52-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x+y=r相外切.

2

2

2

§9.4 直线、圆的位置关系

基础自测

2

2

1.若直线ax+by=1与圆x+y=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为 . 答案 在圆外

2.若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 . 答案 -6＜a＜4

3.两圆x+y-6x+16y-48=0与x+y+4x-8y-44=0的公切线条数为 . 答案 2

4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+4?x2有两个不同的交点，则k的取值范围是 .

2

2

2

2

2

2

2

?53?答案 ?,?

?124?5.(20132重庆理，15)直线l与圆x+y+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 . 答案 x-y+1=0

2

2

例1 已知圆x+y-6mx-2（m-1）y+10m-2m-24=0（m∈R）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x-3m）+［y -(m-1)］=25，

2

2

2

2

2

?x?3m设圆心为（x，y），则?，消去m得

?y?m?1l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上. （2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0， 则圆心到直线l1的距离为d=∵圆的半径为r=5，

3m?3(m?1)?b103?b10=.

∴当d＜r，即-510-3＜b＜510-3时，直线与圆相交； 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；

当d＞r，即b＜-510-3或b＞510-3时，直线与圆相离.

（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=弦长=2r2?d2且r和d均为常量.

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.

解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB==3. b?3?3,根据光的反射定律，反射光线的斜率kb?32

2

3?b10，

反

∴反射光线所在直线的方程为 y=

3(x-b), b?32

2

即3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2）， 半径为1, ∴

6?(b?3)?2?3b9?(b?3)2=1,解得b1=-

3,b2=1. 4∴kAB=-

43或kAB=-. 342

2

2

2

∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则

5k?51?k22=1,

即12k+25k+12=0. ∴k1=-

2

43，k2=-. 34则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.

??3?3kb??kk5k?5??1. ∴?2k?2?b,消去b得

2?1?k?1?1?k2?即12k+25k+12=0,∴k1=-

2

43,k2=-. 342

2

2

2

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切； 2

2

（2）圆C1与圆C2内含？

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 C2

2

2

2

1:(x-m)+(y+2)=9;C2:(x+1)+(y-m)=4.

（1）如果C1与C2外切，则有(m?1)2?(m?2)2=3+2. (m+1)2

+(m+2)2

=25.

m2

+3m-10=0,解得m=-5或m=2.

（2）如果C1与C2内含，则有(m?1)2?(m?2)2＜3-2. (m+1)2

+(m+2)2

＜1,m2

+3m+2＜0, 得-2＜m＜-1,

∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.

例4 （14分）已知点P（0，5）及圆C：x2

+y2

+4x-12y+24=0. （1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； （2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23， 圆x2

+y2

+4x-12y+24=0可化为（x+2）2

+（y-6）2

=16， 圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt△ACD中，可得CD=2.

2分

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,

即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式：

?2k?6?5=2，得k=

3k2?(?1)24. 此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 4分

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.

6分

则y2

-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,

∴y2-y1=43,故x=0满足题意.

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

8分

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx,即y=kx+5,

??y?kx?5联立直线与圆的方程?2, 2?x?y?4x?12y?24?0?消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

2分

设方程①的两根为x1,x2,

22

①

2k?4??x1?x2??1?k2 由根与系数的关系得??xx??1112?1?k2?

4分

由弦长公式得1?k2|x1-x2| =(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]=43, 将②式代入，解得k=

②

3， 4

此时直线的方程为3x-4y+20=0.

6分

又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

8分

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）, 则CD⊥PD，即CD2PD=0， 10分

（x+2,y-6）2(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x+y+2x-11y+30=0.

14分

2

2

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x+y=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.

解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=5, 圆心到直线2x-y+m=0的距离 d=

22

2

m2?(?1)2=

m5，

∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即∴m＞5或m＜-5.

m5＞5,

故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知

m2r-d=1，即5-=1. 52

2

2

得m=±25,

∴当m=±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d=

m22?r，即25, 225解得m=±故当m=±

2

52. 252时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 22

2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.

解 已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1. ∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1. 如图所示，连结PC，CT.由平面几何知， |PT|=|PC|-|CT| =（a-2）+（b-3）-1.

由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|=|PO|， 即（a-2）+（b-3）-1=a+b. 化简得2a+3b-6=0. 得|PT|=a+b=当a=

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

12

（13a-24a+36）. 912时， 1313|PT|min=

13?(61221213. )?24??36=131313|PT|的最小值为

6?1218?13，此时点P的坐标是?,?. 13?1313?2

2

3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，

因为圆C：x+y+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），

2

2

?n?22?3?m?1?1?1则?, ?(m?1)2?(n?2)2?(m?4)2?(n?1)2?r?解得m=3,n=1,r=5,

所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.

方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为 x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,

因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程， 解得?=-4,

所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.

4.圆x+y=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为?，直线l交圆于A、B两点. （1）当?=

3?时,求AB的长； 42

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解 （1）当?=

3?时，kAB=-1， 4直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0. 故圆心（0，0）到AB的距离d=

0?0?12=

2， 2从而弦长|AB|=28?

1

=30. 2

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.

22??x1?y1?8,由?

22??x2?y2?8,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0， 即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴kAB=

y1?y21?.

x1?x221（x+1），即x-2y+5=0. 2∴直线l的方程为y-2=

一、填空题

1.（20132辽宁理）若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 . 答案 (-3,3)

2.（20132重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是 . 答案 相交

22

3.已知圆C：（x-a）+(y-2)=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时，则

2

2

2

2

2

2

a= .

答案 2-1

4.（20132全国Ⅰ文）若直线答案

xy1122

与1的大小关系是 . ??1与圆x+y=1有公共点，则?aba2b21a2?1b22

≥1

2

5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 . 答案 （-35，-5）∪（5，35）

6.（20132湖北理）过点A（11，2）作圆x+y+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答案 32

22

7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）+(y-2)=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a= .

2

2

答案 0

8.（20132湖南文，14）将圆x+y=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 . 答案 （x-1）+y=1 二、解答题

9.已知圆C：x+y+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.

当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0. 或2x+2(c-1)x+(c-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 即［2(b-3)］-4323（b-4b+3)=-b+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,

即［2(c-1)］-4323(c-4c+3)=-c+6c-5=0.

∴c=5或1,当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0. 由

?k?21?k22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

33或-

33=2，得k=2±6,∴y=(2±6)x.

故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±6)x. 10.已知曲线C：x+y-4ax+2ay-20+20a=0.

（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C与x轴相切，求a的值. （1）证明 曲线C的方程可变形为 (x+y-20)+(-4x+2y+20)a=0， ??x?4?x2?y2?20?0由?,解得?，

y??2??4x?2y?20?0??2

2

2

2

点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）. （2）证明 原方程配方得(x-2a)+(y+a)=5(a-2),

2

2

2

∵a≠2时，5(a-2)＞0,

∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是5|a-2|的圆.

2

?x?2a设圆心坐标为（x,y），则有?,

y??a?消去a得y=-

11x,故圆心必在直线y=-x上. 22（3）解 由题意得5|a-2|=|a|,解得a=

2

2

5?5. 211.已知圆C：x+y-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）+(y+2)=9,圆心C（1，-2），则

2

2

?m?1m?1?AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N??,?,以AB为直径的圆经过原点，

22??∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=(3?m)2∴|AN|=9?.

21?2?m2，

又|ON|=(?m?12m?12)?()， 22由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. ∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.

12.设O为坐标原点，曲线x+y+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP2OQ=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

22

解 （1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆的方程， 得2x+2(4-b)x+b-6b+1=0. Δ=4(4-b)-4323(b-6b+1)＞0, 得2-32＜b＜2+32. 由根与系数的关系得

2

2

2

2

2

2

b2?6b?1x1+x2=-(4-b),x12x2=.

2y12y2=b-b(x1+x2)+x12x2=

2

b2?6b?1+4b. 22

∵OP2OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0, 解得b=1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y=-x+1.

§9.5 曲线与方程

基础自测

1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是 （只填序号）. ①曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0 ②凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上

③不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0 ④不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0 答案 ①②③

2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案 线段AB

3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是 . 答案 8

4.（20132北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可). 答案 抛物线

5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是 . 答案 平行

例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B， 求线段AB中点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点，

∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. ∴PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）. 由已知PA2PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0.

∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

例2 （5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-则动点A的轨迹方程是 . 答案

aa1,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,22216x2a2-

16y23a2=1（y≠0)的右支

2

2

例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x+y=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8e53.html