第二十五章 概率初步

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第二十五章 概率初步

25.1.1随机事件

学习要求：

通过实例了解随机事件的概念，并能判断随机事件发生的可能性的大小． 做一做： 填空题：

1．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出1个小球，请你写出这个摸球活动中的一个随机事件：____ _______________________________．

2．一副去掉大小王的扑克牌(共52张)，洗匀后，摸到红桃的可能性______摸到J、Q、K的可能性．(填“＜，＞或＝”) 选择题：

3．下列事件为必然发生的事件是( )

(A)掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1 (B)掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数 (C)打开电视，正在播广告

(D)抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面

4．同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( )

(A)点数之和为12 (B)点数之和小于3 (C)点数之和大于4且小于8 (D)点数之和为13 5．气象台预报“本市明天降水概率是80％”．对此信息，下列说法正确的是( ) (A)本市明天将有80％的地区降水 (B)本市明天将有80％的时间降水 (C)本市明天肯定下雨 (D)本市明天降水的可能性比较大 6．从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是( ) (A)抽出一张红心 (B)抽出一张红色老K (C)抽出一张梅花J (D)抽出一张不是Q的牌

7．某学校的七年级(1)班，有男生23人，女生23人．其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则：

a、抽到一名住宿女生； b、抽到一名住宿男生； c、抽到一名男生． 其中可能性由大到小排列正确的是( ) (A)cab (B)acb (C)bca (D)cba 解答题：

8．如图1，下列说法对吗?为什么?

图1

(1)转动转盘，转盘停止时，指针一定落在1区域； (2)转动转盘，转盘停止时，指针可能落在2区域； (3)转动转盘，转盘停止时，指针不可能落在3区域；

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(4)转动转盘，转盘停止时，指针可能落在2区域或4区域．

问题探究

班级劳动委员安排值日表，要求每人从周一到周五中有一天做值日，则小明在下列各种情形下做值日的可能性分别有多大?

(1)周一值日； (2)逢双值日； (3)周五不值日．

25.1.2 概率的意义

学习要求：

通过实例了解概率的意义． 做一做： 填空题：

1．在抛掷一枚普通正六面体骰子的过程中，出现点数为2的概率是______．

2．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯恰是黄灯亮的概率为______．

3．在一个口袋里装有a个红球，b个白球，c个黄球，每个球除颜色外都相同，从口袋中任选1个，选中黄球的概率是______．

4．袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为______．

5．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中任意抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为______． 选择题：

6．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25％，那么可以推算出a大约是( ) (A)12 (B)9 (C)4 (D)3 解答题：

7．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：

图1

(1)计算并完成表格； 转动转盘的次数n 落在“铅笔”的次数m 第 2 页 共 22 页

100 68 150 111 200 136 500 345 800 1000 564 701 今天你复习了吗？

落在“铅笔”的频率m n (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少?

(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少?

8．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的频率100 58 0.58 150 96 0.64 200 116 0.58 500 295 0.59 800 484 0.605 1000 601 0.601 m n(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；

(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?

问题探究

王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：

向上点数 出现次数 1 6 2 9 3 5 4 8 5 16 6 10 (1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率； (2)王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的频率最大．” 李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．” 请判断王强和李刚说法的对错；

(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子，出现向上点数之和为3的倍数的概率．

25.2 用列举法求概率(1)

学习要求：

能够用列表法求随机事件概率． 做一做： 填空题

1．甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率是______．

2．五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是______．

3．小明有道数学题不会，想打电话请教老师，可是他只想起电话号码的前6位(共7位数的电话)，那么他一次打通电话的概率是______．

4．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜．如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走______支．

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选择题：

5．如图1所示，小明走进迷宫，站在A处，迷宫的8扇门每一扇门都相同，其中6号门为迷宫出口，则小明一次就能走出迷宫的概率是( )

图1

(A)

1 2(B)

1 3(C)

1 6(D)

1 86．中国象棋红方棋子按兵种小同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是兵和帅的概率是( ) (A)

1 16(B)

5 16(C)

3 8(D)

5 87．一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率是( ) (A)

1 2(B)

1 3(C)

1 4(D)

1 6解答题：

8．北京2008奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”．现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样，质地相同)如图2放入盒子．

图2

(1)小玲从盒子中任取一张，取到卡片欢欢的概率是多少?

(2)小玲从盒子中取出一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中取出第二张卡片，记下名字．用列表或画树

状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出两次都取到卡片欢欢的概率．

9．袋中有5个大小一样的球，其中红球有2个、黄球有2个、白球1个．(1)从袋中摸出一个球，得到红球、白球、黄球的概率各是多少?(2)从袋中摸出两个球，两球为一红一黄的概率为多少?

10．将正面分别标有数字6、7、8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．

(1)随机地抽取一张，求P(偶数)；

(2)随机地抽取一张作为个位上的数字(不放回)，再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数?恰好为

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“68”的概率是多少?

问题探究

如图3，依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：(1)用列表的方法表示有可能的闯关情况；(2)求出闯关成功的概率．

图3

闯关游戏规则

如图所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置．同时按下两组中各一个按钮，当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．

25.2用列举法求概率(2)

学习要求：

能够用树状图求一个随机事件概率． 做一做： 填空题： 1．甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其它结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为______(填“甲”或“乙”)获胜的可能性更大．

2．一个盒子里有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，一个红色，一个绿色，2个白色，现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是______．

3．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是______．

4．同时转动如图1所示的甲、乙两个转盘，所转到的两个数字之和为奇数的概率是______．

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图1

选择题：

5．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏．游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( ) (A)

1 4(B)

1 6(C)

1 5(D)

3 20解答题：

6．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，求a，b，c正好是直角三角形三边长的概率．

7．如图2，小明、小华用4张扑克牌(方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．

图2

(1)若小明恰好抽到了黑桃4．

①请在下边框中绘制这种情况的树状图；②求小华抽出的牌面数字比4大的概率；

(2)小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；若小明抽到的牌面数字比小华的小，则为小华胜．你认为这个游戏是否公平?说明你的理由．

问题探究

用如图3所示的转盘进行“红色蓝色配紫色”游戏．

图3

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小颖制作了下表，并据此求出游戏者获胜的概率为

红色 蓝色 1? 2蓝色 (红，蓝) (蓝，蓝) 红色 (红，红) (蓝，红) 小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是

1? 2 红色1 红色2 蓝色 红色 (红1，红) (红2，红) (蓝，红) 蓝色 (红1，蓝) (红2，蓝) (蓝，蓝) 你认为谁做得对?说说你的理由．

25.3 利用频率估计概率

学习要求：

能够通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率． 做一做： 解答题：

1．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球的个数为______．

2．某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示： 射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心频率m/n 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 452 (1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中；

(2)这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是______．

3．一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色以外没有任何区别． (1)小王通过大量反复的实验(每次取一个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在

1左右，4请你估计袋中黑球的个数；

(2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取一个球，取出红球

的概率是多少?

4．为了调查本市今年有多少名考生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中10个家庭有子女参加中考．

(1)本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少? (2)如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少?

(3)已知本市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考?

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5．有关部门对全市9200名学生数学学业考试状况进行了一次抽样调查，从中随机抽查了5所初中九年级全体学生的数学考试成绩，下表是这次抽样情况统计表．这5所初中的九年级学生的得分情况如下表．(满分120分)

分数段 72分以下 72————80分 81————95分 96————108分 109————119分 120分 频数 736 276 300 5 0.2 频率 0.4 0.15 (1)这5所初中九年级学生的总人数有多少人? (2)统计时，老师漏填了表中空白处的数据，请你帮老师填上； (3)随机抽取一人，恰好是获得120分的概率是多少?

6．如图1是一盘残棋，小明通过数右上角一部分白棋子占60％，他又数了白棋子一共是87个，从而算出黑棋子大约有58个．

图1

(1)你同意这种估算方法?说明理由；

(2)你有更合理的估算方法吗?试设计一种方案．

问题探究

科学家们通过对非洲草原上的狮子的跟踪调查，发现在非洲草原上生存着大约2000头狮子；动物学家们在非洲的热带雨林里，发现了一群野生的黑猩猩，经过一个多月的调查，估算出这群黑猩猩约有120只；动物学家统计出在澳大利亚西南部共有考拉8400多只，考拉生活在树干上，平均一天睡20小时，只有不到4个小时找东西吃．

科学家在估算动物在这一地区的数量时显然不是一只一只数出来的，请同学们思考，科学家是如何估计出来这些数据的?

25.4 课题学习

学习要求：

体会概率的广泛应用． 做一做：

1．图1是图钉落地实验，将图钉抛在地上．

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图1

(1)观察图钉落地后出现几种状态； (2)猜想哪种情况发生的概率大?

(3)连续抛掷50次，将实验结果填在下表． 落地状态 频数 频率 钉尖朝上 钉尖着地 (4)实验结果中各种情况发生的概率与你猜想的概率是否相符呢? (5)如果班里有50位同学，每人做50次实验共做了2500次实验，请将实验数据汇总，再进一步计算各种情况发生的概率．

(6)现在你能估计钉尖着地的概率了吗?

(7)以上做法是：利用大量的实验数据计算出某一情况发生的频率，再利用此频率来估计这一情况发生的概率，你还能举出生活中利用这一原理求概率的实例吗?

2．杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图2－①所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张． 规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分(如图2－②)．

图2－① 图2－②

问题：游戏规则对双方公平吗?请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?

3．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆(如图3)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．

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图3

(1)你认为游戏公平吗?为什么? (2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢?”．请你

设计方案，解决这一问题．(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)

4．小华与小丽设计了A，B两种游戏：

游戏A的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．

游戏B的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜．请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．

复 习

学习要求：

通过复习，进一步理解概率的意义，并能判断随机事件发生的可能性的大小，能利用列表法、画树状图求一个随机事件的概率．能够通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，体会概率在实际生活中的广泛应用．

做一做： 填空题：

1．抛掷两枚四个面分别标有1、2、3、4的正四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件：______写出这个实验中的一个必然发生的事件：______．

2．如图1，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止时指针指向______色区域的可能性最小．

图1

3．如图2，有10张正面写有北京2008年奥运会主题口号的卡片，它们的背面都相同．将它们背面朝上洗匀后摆放，从中任意翻开一张是汉字“同”的概率是______．

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图2

4．如图3，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是______．

图3

5．某高中每年新生入学都要进行一周的军训，并且有一次实弹射击，如果射击的结果是等可能的，那么一名新生射击一次得到6环的概率是______．

6．一张圆桌旁有四个座位，A先生如图4所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其它三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为______．

图4

7．如图5，小贝与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心，手背”游戏确定出场顺序．设每人每次出手心、手背的可能性相同．若有一人与别外两人不同，则此人最后出场．三人同时出手一次，小贝最后出场比赛的概率为______．

图5

8．某暗箱中放有10个球，其中有黄球3个，白球和红球若干，从中任取一球是白球的概率为

1，则白球和红2球的个数分别是______．

9．一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有______个．

10．某市有100万人口，在一次对城市标志性建筑方案的民意调查中，随机调查了1万人，其中有6400人同意

甲方案，则由此可以估计该城市中，同意甲方案的大约有______万人． 选择题：

11．一件事情发生的机会不可能是( )

(A)0 (B)1 (C)2％ (D)200％ 12．下列事件中，是确定事件的是( )

(A)掷一枚6个面分别标有数字1～6的均匀骰子，骰子停止运动后偶数点朝上

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(B)从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃 (C)任意选中电视的某一个频道，正在播放动画片

(D)在一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天

13．如图6，是一间卧室地面瓷砖图案，在这间卧室地下藏有一宝物，则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性

是( )

图6

(A)藏在白色瓷砖下的可能性大 (B)藏在灰色瓷砖下的可能性大 (C)藏在两种瓷砖下的可能性一样大

(D)藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性的比是3∶2

14．暗箱里装有20个球，13个红球，7个白球，除颜色外，其它特征均相同，从中随意取出3个，则必然发生

的事件是( )

(A)三个球的颜色相同 (B)只有两个球的颜色相同 (C)至少有两个球的颜色相同 (D)两个红球一个白球

15．由A地到B地的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：A—B—C—D，那么要为这次列车制作的火车

票有( ) (A)3种 (B)4种 (C)6种 (D)12种

16．从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是( )

(A)

1 3(B)

1 2(C)

2 3(D)

3 417．小明随机地在如图7所示的正三角形及内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为( )

图7

(A)

3π 9(B)

3π 6(C)π

33(D)

1 218．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反

面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是( ) (A)小强赢的概率最小 (B)小文赢的概率最小 (C)小亮赢的概率最小 (D)三人赢的概率都相等

19．某一小组的12名同学的血型分类如下：A型3人、B型3人、AB型4人、O型2人，若从该小组随机抽

出2人，这两人的血型均为O型的概率为( )

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(A)

1 33(B)

1 66(C)

15 22(D)

7 2220．下列说法错误的有( )

①计算机键盘上的字母的排序考虑了各个字母使用概率的大小

②计算机键盘上的“空格”键设计得最大是因为“空格”键使用的概率最大 ③计算机键盘上字母的排序完全按各个字母使用概率的大小排序的 ④计算机键盘上字母的排序完全没有考虑各个字母使用概率的大小 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解答题：

21．下列事件，哪些是必然发生的事件?哪些是不可能发生的事件?哪些是随机事件?

(1)有一副洗好的只有数字1～10的10张扑克牌． ①任意抽取一张牌，它比6小；

②一次任意抽出两张牌，它们的和是24； ③一次任意抽出两张牌，它们的和不小于2．

(2)在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形一模一样的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个白球，并在口袋中搅匀．

①从口袋中摸出一个球，它恰好是白球；

②从口袋中任意抽出2个球，它们恰好是白球；

③从口袋中一次摸出3个球，它们的颜色分别是红色、蓝色、白色；

④从口袋中一次摸出5个球，它们恰好是1个红色、1个蓝色和3个白色．

22．一副扑克牌共有54张，含大、小王，大王看成红色，小王看成是黑色，任意抽出一张，回答下列问题：

(1)P(摸到方块的概率)＝______；P(摸到红色的概率)＝______； (2)摸到王的概率和摸到10的概率相同吗?摸到谁的概率大? (3)请列举一个摸牌的例子，使二者的概率相同． 23．已知一纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是

2? 5(1)试写出y与x的函数关系式；

(2)当x＝10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P．

24．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”

字面朝上的概率，某实验小组做了棋子投掷实验，实验数据如下表： 实验次数 “兵”字面朝上频数 相应频率 20 14 0.7 40 0.45 60 38 0.63 80 47 0.59 100 52 0.52 120 66 140 78 0.56 160 88 0.55 (1)请将数据表补充完整；

(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；

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(3)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，请你估计“兵”字面朝上概率是多少?

25．同桌两人玩掷骰子游戏，并依据骰子的点数之和的奇偶性来决定胜负，所有可能的情况如下表：

第一个骰子 第二个骰子 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 7 11 12 问题：(1)若和为奇数则甲胜，和为偶数则乙胜，这个游戏规则对双方是否公平?

(2)如果游戏规则改为：和为3的倍数甲胜，和为4的倍数乙胜，哪一个人胜的机会大?为什么?

26．如图8所示，有三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正

方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗?若不公平，有利于谁?

图8

27．下面三张卡片上分别写有一个整式，把它们背面朝上洗匀．小明闭上眼睛，从中随机抽取一张卡片，再从

剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或树状图法求能组成分式的概率是多少?

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28．将A、B、C、D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．用列表法分析：

(1)A在甲组的概率是多少?

(2)A、B都在甲组的概率是多少?

29．一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中有白球2个，黄球1

个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5． (1)求口袋中红球的个数．

(2)小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是

1，3你认为对吗?请你用列表或画树状图的方法说明理由．

30．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．如图9所示，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口

处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让小军从最外环任一个进口进入．

图9

(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少?请画出树状图进行说明；

(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果来比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．

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第二十五章 概率初步测试题

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是( ) (A)能开门的可能性大于不能开门的可能性 (B)不能开门的可能性大于能开门的可能性 (C)能开门的可能性与不能开门的可能性相等 (D)无法确定 2．给出下列结论：

①打开电视机它正在播广告的可能性大于不播广告的可能性 ②小明上次的体育测试是“优秀”，这次测试他百分之百的为“优秀” ③小明射中目标的概率为

1，因此，小明连射三枪一定能够击中目标 3④随意掷一枚骰子，“掷得的数是奇数”的概率与“掷得的数是偶数”的概率相等其中正确的结论有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．下列事件发生的概率为0的是( )

(A)随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 (B)今年冬天黑龙江会下雪

(C)随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1

(D)一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域

4．如图1，阴影部分表示在一定条件下小明击中目标的概率，空白部分表示小亮击中目标的概率，图形说明了( )

图1

(A)小明击中目标的可能性比小亮大 (B)小明击中目标的可能性比小亮小

(C)因为小明和小亮击中目标都有可能，且可能性都不是100％，因此，他们击中目标的可能性相等 (D)无法确定

5．从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、从空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地．则从A地到C地可供选择的方案有( ) (A)20种 (B)8种 (C)5种 (D)13种

6．一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有( ) (A)15个 (B)30个 (C)6个 (D)10个

7．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上(如图2)，从中任意取一张是数字3的概率是( )

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图2

(A)

1 6(B)

1 3(C)

1 2(D)

2 38．啤酒厂做促销活动，在一箱啤酒(每箱24瓶)中有4瓶的盖内印有“奖”字．小明的爸爸买了一箱这种品牌的啤酒，但是连续打开4瓶均未中奖．小明这时在剩下的啤酒中任意拿出一瓶，那么他拿出的这瓶中奖的概率为( ) (A)

4 24(B)

1 6(C)

5 20(D)

1 5二、填空题(每小题4分，共28分)

9．从一副扑克牌(除去大、小王)中任抽一张，则抽到红心的概率为______；抽到黑桃的概率为______；抽到红心3的概率为______．

10．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为圆珠笔、软皮本和水果，标在一个转盘的相应区域上(转盘被

均匀等分为四个区域，如图3)．转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得圆珠笔的概率为______．

图3

11．超市中的10盒蔬菜的包装标签在运输过程中不小心被磨掉了．现在每个盒子看上去都一样，但是我们知道

这10盒中有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、一盒土豆．如果随机地拿出一盒并打开它，则盒子里面是玉米的概率是______，盒子里面不是菠菜的概率是______．

12．任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是______．

13．某停车厂共有12个停车位置，今从中任取一个给某车停放，两端停车位置被选中的概率为______．

14．在标号为1、2、3??19的19个同样的小球中任选一个，则选中标号为偶数的小球的可能性______选中标

号为奇数的小球的可能性．(填“大于、小于或等于”)

15．设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，那么“从这3把钥匙中任选2把，

打开甲、乙两把锁”的概率为______． 三、解答题(每小题5分，共40分)

16．将下面事件的字母写在图4中最能代表它的概率的点上．

图4

A、投掷一枚硬币时，得到一个正面 B、在一小时内，你步行可以走80千米 C、给你一个骰子中，你掷出一个3 D、明天太阳会升起来

17．飞镖随机地掷在下面的靶子上．(如图5)

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图5

(1)在每一个靶子中，飞镖投在区域A、B、C的概率是多少? (2)在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少? (3)在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少?

18．将一枚硬币连掷3次，出现“两正，一反”的概率是多少?

19．某同学抛掷两枚硬币，分10组实验，每组20次，下面是共计200次实验中记录下的结果． 实验组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 第7组 第8组 第9组 第10组 两个正面 6 2 6 7 6 7 9 5 1 4 一个正面 11 10 12 10 10 12 10 6 9 14 没有正面 3 8 2 3 4 1 1 9 10 2 ①在他的每次实验中，抛出______、______和______都是随机事件．

②在他的10组实验中，抛出“两个正面”概率最多的是他第______组实验，抛出“两个正面”概率最少的是他

的第______组实验．

③在他的第1组实验中抛出“两个正面”的概率是______，在他的前两组(第1组和第2组)实验中抛出“两个

正面”的概率是______．

④在他的10组实验中，抛出“两个正面”的概率是______，抛出“一个正面”的概率是______，“没有正面”

的概率是______，这三个概率之和是______．

20．一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，(1)写出得到一架显微镜的概

率；(2)请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是

1 2 3 2? 9第 18 页 共 22 页

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4 7 5 8 6 9 翻奖牌正面 一架显微镜 两张球票 谢谢参与 一张唱片 两张球票 一副球拍 一张唱片 一张唱片 一副球拍 翻奖牌反面

21．一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样，小亮从布袋中摸出一球后放回

去摇匀，再摸出一个球，请你利用列举法(列表或画树状图)分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．

22．商场对消费满200元的顾客有两种促销方式供经理选择：

第一种是顾客在商场消费满200元就有一次抽奖机会，即从一个装有100个大小相同的乒乓球(球上分别写有1，2，3，??，100这100个数字)的箱子中摸出一个球(摸后放回)，若球上的数字是88，则送价值800元的商品，如果是33或66或99，则送价值300元的商品，若球上的数字能被5整除，则送价值50元的商品，其他数字不送商品．

第二种是顾客在商场消费每满200元直接送价值30元的商品．

估计活动期间将有8000人次参加促销活动，请你运用学过的概率知识分析一下． (1)你将获得价值分别为800元，300元，50元商品的概率各是多少? (2)商场经理应选择哪种促销方式投入资金可能更少?

23．田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时候，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐

王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强．

(1)如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜?

(2)如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，写出双方对阵的所有情况，田忌获胜的概率是多少?

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参考答案

第二十五章 概率初步

25.1.1 随机事件

1．略；2．＞；3．D；4．D；5．D；6．D；7．A；8．(1)错；(2)对；(3)错；(4)对； 问题探究 (1); (2)

1524; (3)

5525.1.2 概率的意义

c1111; 2．; 3．; 4．; 5．; 6．A；7．(1)略；(2)0.7； 61252a?b?c5,出现(3)70％；8．(1)0.6(2)60％，40％(3)黑球约8个，白球约12个问题探究(1)出现向上点数为3的频率为5481向上点数为5的频率为 (2)都错 (3)

27325.2 用列举法求概率(1)

2121211121． 2． 3． 4．2 5．C 6．D 7．D 8．(1) (2) 9．(1)、、 (2) 10．(1)P(偶

3539510555211数)＝ (2)能组成的两位数为：86，76，87，67，68，78，恰好为“68”的概率为 问题探究：(1)略 (2)

64325.2 用列举法求概率(2)

1111; 7．(1)略(2)公平； 1．甲； 2．; 3．; 4．; 5．B； 6．366621．

问题探究：小颖的做法不正确，小亮的做法正确．

25.3 利用颖率估计概率

1．30 2．(1)略 (2)90％ 3．(1)5个 (2)

611 4．(1) (2) (3)65000 5．略6．(1)不同意，因为

202019一角棋的黑白棋子的比例与整盘棋的黑白棋子比例没有任何关系 (2)略 问题探究：略

25.4 课题学习

1．略2．这个游戏对双方不公平． 改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．(答案不惟一)3．(1)不公平(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积设计方案；①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形，其面积为S)．如图所示； ②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)； ③当掷点数充分大(如1万次)，记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷图形内； ④设非规则图形的面积为S＇，用频率估计概率，即频率P＇(掷入非

nSSnnS≈概率P(掷入非规则图形内)?1，故?1?S1? 4．对游戏A：所有可能出现的

SmmSm54结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，所以游戏A小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为即

99规则图形内)?游戏A对小华有利，获胜的可能性大于小丽．对游戏B：所有可能出现的结果共有12种，其中小华抽出的牌面

上的数字比小丽大的有5种；根据游戏B的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽获胜．所以游戏B小华获胜的概率为利，获胜的可能性大于小华．

57?即游戏B对小丽有而小丽获胜的概率为

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复 习

1．略 2．绿 3． 4． 5．

1513111 6． 7． 8．5，2 9．15 10．64 11．D 12．D 13．C 113414．C 15．C 16．C 17．A 18．A 19．B 20．B 21．(1)①随机事件 ②不可能发生的事件 ③必然

发生的事件 (2)①随机事件 ②随机事件 ③随机事件 ④不可能发生的事件 22．(1)P(摸到方块的概率)?1327? ；P(摸到红色的概率)?545421421??；(2)P(摸到王的概率)?；P(摸到10的概率)?；摸到王的概率和摸到10的概率不相同，

254275427摸到10的概率＞摸到王的概率；(3)答案不惟一：例如：“摸到红色的概率”和“摸到黑色的概

3111181x,(2) 24．(1)18，0.55；(2)略；(3)?，和为奇 25．(1)和为偶数的概率为232036218111?，数的概率为因此这个游戏规则对双方是公平的；(2)和为3的倍数的概率，和为4的倍数的概率=，36234率”． 23．(1)y?甲获胜的可能性大． 26．取出的纸片有三种不同情况：半圆、半圆，半圆、正方形，半圆、正方形，所以游

戏不公平，对乙有利． 27．树状图：

第一张卡片上的整式 第二张卡片上的整式

所有可能出现的结果 所以P(能组成分式)?xxx?12x?1xx?122x2 x?142?? 63甲组 AB AC AD BC BD CD 乙组 CD BD BC AD AC AB 结果 (AB，CD) (AC，BD) (AD，BC) (DC，AD) (BD，AC) (CD，AB) 28．所有可能出现的结果如下：

总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．(1)所有的结果中，满足A在甲组的结果有3种，所以A在甲组的概率是

11；(2)所有的结果中，满足A，B都在甲组的结果有1种，所以A，B都在甲组的概率是. 29．(1)26红球的个数是1．(2)小明的认为不对．树状图如下：

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2111?，P(黄)?，P(红)? 4244411?? (2)不公平，由树状图可知，P(5的倍数)?，P(非5的倍30．(1)树状图略，P(进入迷宫中心)?31232161?，P(非5的倍数的偶数)??．所以不公平．可将第二道环上的数4改为任一奇数． 数的奇数)?126122第二十五章 概率初步测试题

∴P(白)?一、选择题

1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7． B 8． D 二、填空题 9．

111134112,, 10． 11．, 12． 13． 14．小于 15．

41052634452三、解答题

1111112331,；靶子2：,, (2) (3) 18． 19．略20．(1) (2)略 21．P(白，333244348911白)＝ 22．(1)0.01，0.03，0.2 (2)选择摸球促销方式 23．(1)略 (2)

9616．略 17．(1)靶子1：,

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