数学建模——投篮命中率的数学模型

投篮命中率的数学模型

摘要

随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。

关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType数学软件

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一、问题重述

在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定性作用。而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

第一问，在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。这一问只考虑罚球投篮这一简化模型，根据题目已给出的假设条件，假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即只考虑空心球，在此情况下，站在罚球线上怎样罚球才能使命中率高；

第二问，考虑篮球擦板后进篮的情况，即篮球与篮板弹性碰撞的情况下，讨论在限制区边线上分别距篮框中心30度、45度、90度这三种不同（罚球线）位置上出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

二、问题分析

篮球是一项技术综合性较强的运动项目，需要队员们的共同努力与协作。但是，个人的投篮得分也十分重要。就罚球投篮而言，这是最简单但也很重要的投篮方式。投篮的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出⑴。投球的过程可以认为是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线。据科学和实践证明，球的出手角度影响着球的飞行路线，球的飞行路线一般有低弧线、中弧线和高弧线三种，一般以中弧线为最佳⑵。过去的种种实验表明，若投篮的抛物线过高，那么球飞行的时间会过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响就大，这样不宜控制球的飞行方向，从而影响到投篮的命中率⑶。若篮球飞行的抛物线太低，那么球的入射角较小，在这种情况下也难将篮球投中。

为了在比赛中更好地取胜，就必须有效地提高投篮命中率，而影响投篮命中率的两个最为关键的因素就是投球时的出手角度和出手速度。因此，考虑合适的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键⑷。在这里，本文根据题目要求依次研究如下问题：

第一问:在不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，根据以下分类具体研究如何提高罚球命中率

1.只考虑篮框的大小，忽略空气阻力的影响；

2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响； 3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差； 4.考虑有空气阻力影响的情况。

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第二问:考虑篮球擦板后进篮的情况,此时忽略碰撞时的能量损耗，分别讨论以下三种情况时出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系 1.在限制区边线上距篮框中心30度位置； 2.在限制区边线上距篮框中心45度位置； 3.在限制区边线上距篮框中心90度位置。

三、模型假设

假设一：运动员有良好的心理素质⑸，防守队员的防守不影响投篮的命中率； 假设二：运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮框中心的水平距离； 假设三: 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内；

假设四：在考虑篮球擦板进篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞⑹，没有能量损失；

假设五：出手后，篮球在空中的旋转不影响投篮效果； 假设六：在第一问中不考虑球碰篮板或篮框的情况； 假设七：在第二问中忽略空气阻力的影响。

四、符号说明

s0:投篮出手点到篮框中心水平距离,单位为米（m），这里s0=4.600m H0:篮框的高度, 单位为米（m），这里H0=3.050m R:篮框半径, 单位为米（m），这里R=0.225m D:篮框直径,单位为米（m），这里D=0.450m d:篮球直径,单位为米（m）

h0:篮球运动员出手的高度, 单位为米（m） v:投篮出手速度, 单位为米/秒（m/s）

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g：重力加速度，单位为米/秒，这里取g=9.8m/s?:投篮出手角度,单位为度(°)

?:篮球入框时的入射角,单位为度(°)

?x：球入篮框时球心可以偏离（前后）的最大距离，单位为米（m）

A(?)：入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，单位为平方米（㎡） L：限制区底边边长的一半，单位为米（m），这里L=3.000m

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五、模型建立与求解

对问题一的模型求解：

1.只考虑篮框的大小,忽略空气阻力的影响

如图，设P1P2为篮框横截面，篮框高为H0，半径为R 投篮出手点到篮框中心水平距离为s0，出手高度为h0

投篮出手角度为?，速度为v，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(?)

建立相应的数学模型及求解：

显然，投球入篮与否与距离s0、出手角度?、出手速度v、篮框高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。

于是，该问题转化为求一个角度?0(h0, s0)，能使运行区域面积A(?)最大，即

A(?0)?maxA(?)

?(h0,s0)

V P1 P2 O ? h0 H0

S0 图1 ?、OP?的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为： 第一步：由运动学知弧OP12 y?xtan??

gx2 222vcos??过点P(s?R,H?h)，则有： 由于OP10001

tan?(s0?R)?(H0?h0)g ?2v2cos2?(s0?R)2

?的方程为 则OP1

y?xtan??tan?(s0?R)?(H0?h0)2x

(s0?R)2

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?得方程为 同理，OP2y?xtan??tan?(s0?R)?(H0?h0)2x 2(s0?R)

另外，直线P1P2的方程为

y?H0?h0

第二步，求运动区域面积A(?) 运用定积分求面积，得

A(?)??s0?R0{[xtan??tan?(s0?R)?(H0?h0)2tan?(s0?R)?(H0?h0)2x]?[xtan??x]}dx 22(s0?R)(s0?R)???s0?Rs0?R[xtan??tan?(s0?R)?(H0?h0)2x?(H0?h0)]dx 2(s0?R)24s0Rtan??R(H0?h0) 33

第三步，求A(?)得极值点：

由A(?)的表达式可以看出，当tan?越大（即?越大，?<900），A(?)越大。但事实上由于投篮出速度只可能在某一范围内变化，所以tan?只可能在某一范围内变化。为求tan?在所给定的范围内使A(?)达到最大，我们把A化为初速度v的函数来求极大值。

g2x回到运动方程 y?xtan??2 22vcos?

设曲线过点(s,H0?h0),s?[s0?R,s0?R]，代入方程得：

H0?h0?stan??g2s 222vcos?

从而有

stan??(H0?h0)g2(1?tan?)? 2v2s2

这是关于tan?的一元二次方程，取其最小的根：

tan??12(v?v4?2v2(H0?h0)g?g2s2) gs

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22其中，v2满足 v4?2v2(H0?h0)g?gs?0

又因为

v4?2v2(H0?h0)g?g2s2?v2?(H0?h0)gdtan???0 24222d(v)gsv?2v(H0?h0)g?gs

所以，tan?是v2的减函数，当v2达到极小时，tan?达到极大，由于

v4?2v2(H0?h0)g?g2s2?0

解得

2v2?g(H0?h0?(H0?h0)2?s2)?vm(s)

则有

maxtan??vH?hH?h12vm(s)?00?(00)2?1?tan?0(s) gsss

其中

?0(s)?arctan[

H0?h0H?h?(00)2?1] ss从上式可以看出，?0(s)是s的减函数，由于s?[s0?R,s0?R]

所以

arctan[

H0?h0H?hH?hH?h?(00)2?1]??0(s)?arctan[00?(00)2?1]

s0?Rs0?Rs0?Rs0?R2gH0?h0?(H0?h0)2?(s0?R)2?v?2gH0?h0?(H0?h0)2?(s0?R)2

????由题已知H0=3.050（米）， R=0.225（米）， s0=4.600（米）， 假定h0=2.100(米)

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把H0、s0、R的数据代入计算，得角度、速度的范围：

2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响

由于考虑了篮球的大小，则篮球入射角?受到篮球直径d大小的影响，如果入射角?太小，则球会碰到篮框导致球不能入框（见图2）。利用三角函数关系容易得出球心命中框心且球入框的条件为

sin??dD 即

?图2 O A D B

在本题给定的篮球直径d和篮框直径D数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角?>33.1? 。此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离?x满足

?x?Dd?22sin?

由已知篮框直径D=0.450（米），得

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3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差

记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为??和?v，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到篮框的水平方向距离L变为L??x引起的偏差，此时篮框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程

A ? x B 图3 D （*）

代替。在式（*）中假设出手速度v不变，?可以看作是x的函数，将式（*）对x

求微分，并令x=L代入，有

用??和?x代替d?和dx,得到出手角度允许的最大偏差??与?x的关系

类似地，将式（*）中的出手速度v只看成是x的函数，将式（*）对x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允许的最大偏差? v与?x的关系

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4. 考虑有空气阻力影响的情况

这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k, 则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述：

?d2xdx??k?02dt??dtx(0)?0??dx?vcos??dt??t?0

这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解

1?e?ktx(t)?vcos?k

于是得到如下球的运动参数方程：

?1?e?kt?x(t)?vcos??k??gt2?y(t)?vsin??t?2?

注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过0.05秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（16）中的e –kt在t=0处做泰勒展开并略去t的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程

?kvcos??t2?x(t)?vcos??t??2??gt2?y(t)?vsin??t?2?

将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为

k=0.05,t?1，因此有阻力对命中率的影响约为0.05/2?3%。此外，如果不考虑篮球和篮框的大小，就有球心命中框心的条件为

?kvcos??t2?vcos??t??L?0?2??gt2?vsin??t?2?H?h?0?

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5.计算结果与分析

5．1 以出手点高h0=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的落球点的相应出手角度范围如下：

投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 45.50?～45.67?～45.71? 45.80?～45.85? 45.97?～46.60? 46.34?～46.50? 46.34?～47.40? ? 45.54?

5．2 以出手点高为h0=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下:

投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 46.85?～47.44?～47.50? 47.88?～48.10? 48.52?～48.87? 48.88?～50.56? 52.01?～53.50? ? 46.95?

因此，从表中可以看出，当投篮的出手点高h0=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是49?，这与现实中的投篮结果差异很小⑺。

对问题二的求解：

1．针对在限制区边线上距篮框中心90度（罚球线）位置上的投篮

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