高中数学选修2-1第一章 - 常用逻辑用语

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第一章 常用逻辑用语目录

1.1.1 命题（新授课）

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题的相互关系（新授课） 1.2.1充分条件与必要条件（新授课） 1.2.2充要条件（新授课）

1.3.1且 1.3.2或（新授课） 1.3.3非（新授课）

1.4.1全称量词 1.4.2存在量词（新授课） 1．4．3含有一个量词的命题的否定（新授课） 第一章《常用逻辑用语》测试题（一） 第一章《常用逻辑用语》测试题（一）答案 第一章《常用逻辑用语》测试题（二）

第一章《常用逻辑用语》测试题（二）答案 第一章《常用逻辑用语》测试题（三） 第一章《常用逻辑用语》测试题（三）答案 2007年全国高考题选

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第一章 常用逻辑用语

一、课程目标

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本章中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表达和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流。 二、学习目标 （1）、命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 ②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 （2）、简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义 （3）全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的实例,理解全称量词与存在量词的意义。 ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 三、本章知识结构

常用逻辑用语 命题及其关系 充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词

四、课时安排

本章约需8课时，具体分配如下

1.1命题及其关系 约2课时 1.2充分条件与必要条件 约2课时 1.3简单的逻辑联结词 约2课时 1.4全称量词与存在量词 约2课时

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1.1.1 命题（新授课）

一．教学目标：

知识与技能：了解命题的概念，会判断命题的真假。

过程与方法：通过对命题真假的判断，体会举反例的作用；通过概念教学，培养学生由具体到抽象的思维方法。

情感、态度与价值观：通过本节的学习，使学生认识到命题在刻画现实问题、数学问题中的作用，从而激发学生的创新精神。 二．教学重点、难点 重点：命题的改写.

难点：命题概念的理解. 三．教学过程： （一）导入新课

思考：下列语句的表达形式有什么特点？请判断它们的真假， （1） 若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； （2） 2 + 4 = 7；

（3） 垂直于同一条直线的两个平面平行； （4） 若 x2 = 1 , 则 x = 1 ； （5） 两个全等的三角形面积相等； （6） 3能被2整除. 引导学生归纳以上语句特点：

1．都是陈述句

2．可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。 （二）讲授新课： 1.命题的概念： 命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 注意：判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.

上述6个语句都是命题.

真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述6个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题. 例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）指数函数是增函数吗？

（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行 （5）(?2)??2

（6）x>15

（7）这是一棵大树；

2（8）x?x?8

（学生回答，教师点评）分析：加深对命题概念的理解。 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：

具体分析例1中的（2）（4）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式

例2、 指出下列命题的条件p和结论q （1）、若整数a能被2整除，则a是偶数；

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（2）、若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．

数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式, 但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式

例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”可以改成：“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”。

这样，它的条件和结论就很清楚了，也便于我们判断真假。 例3：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等。

（学生回答，教师点评） 3. 小结： （1）、命题概念的理解，会判断一个命题的真假。 （2）、会将命题改写“若p，则q”的形式. （三）巩固练习：

练习：课本 P4 1、2、3 （四）布置作业：

作业：课本P8 第1题 四．课后反思：

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1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题的相互关系（新授课）

一．教学目标：

知识与技能：理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示。熟练四种命题之间的关系，及四

种命题的真假性之间的关系 过程与方法：能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题。能利用四种

命题真假性之间的内在联系进行推理论证

情感、态度与价值观：培养学生简单推理的思维能力. 培养观察分析、抽象概括能力和逻辑思维能力。

二、教学重点、难点：

重点：四种命题的概念，四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系

难点：由原命题写出另外三种命题，利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 三．教学过程： （一）复习旧知：

命题的概念，如何判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. （二）引入新课：

下列四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？ （１） 若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （２） 若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；

（３） 若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （４） 若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数； 1、四种命题： （1）互逆命题

分析：上述命题都是若p则q的形式，先看（1）（2）之间条件和结论的关系，引出： 对于两个命题，如果一个命题的条件分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．

即若将原命题表示为：若p,则q．

则它的逆命题为：若q,则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题． 例：给出命题“同位角相等，两直线平行”写出其逆命题

分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题)

条件: 两直线平行; 结论: 同位角相等．(逆命题) 思考：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？ （2）互否命题

分析（1）（3）之间条件和结论的关系，引出：

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．

即若将原命题表示为：若p，则q． 则它的否命题为： 若┐p，则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题. 例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的否命题

分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题) 条件: 同位角不相等; 结论: 两直线不平行．(否命题) 例：写出命题“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的否命题

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分析: 条件: 整数a不能被2整除 结论：a是奇数．(原命题)

条件: 整数a能被2整除 结论：a不是奇数．（a是偶数．）(否命题) 思考：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？ （3）逆否命题

分析（1）（4）的条件和结论的关系，引出： 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结 论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．

即若将原命题表示为：若p，则q．

则它的逆否命题为： 若┐q，则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.

例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题

分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题)

条件: 两直线不平行; 结论: 同位角不相等．(逆否命题) 思考：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？ 2、四种命题间的相互关系

思考上面四个命题中， 命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的有何关系？ （老师引导—学生回答）

归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系：

3、四种命题真假性之间的关系

原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q为互互逆互互为逆否逆逆否逆否命题若┐q则┐p互否逆命题若q则p讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系：

原命题（1）为真； 其逆命题（2）为假；其否命题（3）为假； 其逆否命题（4）为真 发现有以下规律：

原命题 逆命题 真 假 否命题 假 逆否命题 真 探究：以“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。

（学生回答）：原命题为：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，为假 其逆命题为：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，为真 其否命题为：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，为真 其逆否命题为：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，为假 发现有另外的规律，

原命题 逆命题 否命题

真 假 假

假 真 真

（学生回答）： 原命题为：同位角相等，两直线平行，为真

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逆否命题 真 假 再例：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。

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其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真 其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真 其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真 发现还存在以下规律：

原命题 逆命题 否命题

真 假 假

假 真 真

真 真 真

真假性。

（学生回答）：原命题为：同位角不相等，两直线平行，为假 其逆命题为：两直线平行，同位角不相等，为假

其否命题为：同位角相等，两直线不平行，为假 其逆否命题为：两直线不平行，同位角相等，为假 发现：

原命题 真 假 真 逆命题 假 真 真 否命题 假 真 真 逆否命题 真 假 真 逆否命题 真 假 真 把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断

假 假 假 假

归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。

3.例题分析：证明：若x?y?0，则x?y?0（教师引导，学生板书，教师点评）

变式：证明：若p2?q2?2，则p?q?2.

（三）课堂练习：Ｐ6、8练习

（四）归纳小结：1、四种命题的概念与表示形式。 2、四种命题的相互关系，以及它们之间的真假性关系，如何利用真假性关系进行推理证明。 （五）．布置作业：课本P8 第2、3题 四、课后反思：

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1.2.1充分条件与必要条件（新授课）

一、教学目标

知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． 二、教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念． 难点：判断命题的充分条件、必要条件。 三、教学过程 1．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？ （1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab,

（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

思考：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 归纳：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题． ２．给出定义

命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件． 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p?q．

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

上面的命题(1)为真命题，即

x ＞ a2 + b2 ? x ＞ 2ab，

所以“x ＞ a + b”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a + b”的必要条件．

3．例题分析：

例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？ （1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0； （2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数； （3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1) 若x ＝ y，则x2 ＝ y2；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

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2

2

2

2

＂

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（3）若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

４、巩固练习：P10 练习 第1、2、3、4题

5、作业 P12：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题 6、归纳小结：

充分条件，必要条件的判定方法。 四、课后反思：

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1.2.2充要条件（新授课）

一、教学目标 知识与技能： 1、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

2、 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件. 3、 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

过程与方法：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质． 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 二、教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题 难点：正确区分充要条件． 三、教学过程 1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.

判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：p?q，故p是q的充分条件；

又q ? p，故p是q的必要条件． 此时,我们说, p是q的充分必要条件 ２.类比归纳

一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q.

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件. 3．类比定义

一般地，

若p?q ,但q ?? p，则称p是q的充分但不必要条件； 若p??q，但q ? p，则称p是q的必要但不充分条件； 若p??q，且q ?? p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若p?q ,但q ?? p，则p是q的充分但不必要条件； ②若q?p，但p ?? q，则p是q的必要但不充分条件； ③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

④若p ?? q，且q ?? p，则p是q的既不充分也不必要条件． 4.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； （２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0； （３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

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