均值方差标准下确定给付型养老金的最优投资策略毕业论文

天津科技大学2014届本科生毕业论文

毕业论文

均值方差标准下确定给付型养老金的最优投资策略

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1 前 言

1.1 研究背景与选题意义

养老保险是社会保障体系的重要组成部分，是社会保险五大类型的最重要的产品。养老保险是各个国家按照国法或律例，目的是办理劳动者在达到规定的年龄，又或者是由于年龄过大，进而丧失劳动能力以及退出劳动岗位而建立的一种制度。随着经济和社会的不断发展，养老保险制度在老年人的生活保障中发挥着越来越重要的作用。在世界人口的因素下，高龄人所占的比例越来越大，人数也越来越多，落实好养老保险制度等于稳定了世界相当部分人口的基本生活。所以，一系列养老保险的相关问题已经成为了对社会的稳定和发展阻碍，需要引起高度重视。

养老金的设计方式主要分为两种，其一是确定给付（DB，defined-benefit）型，另一个则是确定缴费（DC，defined-contribution）型。顾名思义，确定给付型养老金的给付额是有基金管理者提前确定的，为了维持养老金的平衡，缴费率是可以随时调整的，但是，基金管理者将会承担相关的金融风险。反过来，对于确定缴费型养老金来说，提前确定的则是缴费率，给付额的多少取决于养老金的投资回报率，也就是说，投保人将承担一系列的金融风险。对于养老金的发展史，最开始，许多的国家都是采用DB型的养老金计划，但随着社会经济的发展，DB型养老金已经不能满足时代的要求，所以，DC型养老金慢慢的登上养老金历史的舞台，越来越多的国家开始重视DC型养老金计划。

在当下的时代，世界范围内的老龄化状态越发严重，给了养老金支出巨大的压力，具体表现为以下几个方面：一，人们的普遍寿命有所延长，迫使退休人员领取的养老金的年限增加；二，人们的工作年限变少，养老金的缴费年数变少；三，受于计划生育的限制，导致出生率在下降，工作的人口比例变少，导致了在缴费率恒定的情况下，缴费金在养老保险计划上变少。众所周知，中国同样面临着人口老龄化这么一个问题，所以，对养老基金的投资就变得非常重要。结合国内外的经验，要将投资的安全性放在第一位。但是对于投资来说，任何投资都具有一定的风险性，所以这时候就要利用数学方法来降低风险系数，对风险系统的分析和评估，进而得到最优的投资策略。

对于实际的投资来说，风险资产有多种，每种风险资产的方差和收益都不尽相同，对策略的影响也不完全相同。所以，把多种风险资产考虑进去对于研究确定给付型养老金的最优投资策略都是有非常重要的意义的。不管是在理论上或是在实际的操作中。

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1.2国内外研究现状

1.2.1 确定给付型养老金的最优化投资策略

退休金在DB型养老金中是预先确定的，是基于对工资和工作几年的水平，和贡献率由估值调整。但是由于人口统计和经济变量等因素，实际的养老金计划很难符合之前的假设，所以，养老金肯定会出现剩余。同时，由于养老金的来源还来自其投资回报。所以，DB型养老金的研究重点就是最优投资问题和缴费问题。

对于目标函数来讲，研究者将DB型养老金的最优化投资问题模型化为线性二次最优控制问题。它类似于Merton模型，假设为线性动态。基金管理者的目的是最小化支付风险和偿付能力最小化。第一种风险与养老金的稳定性有关；第二种风险与养老金的安全性有关。每一个基金管理者肯定都是希望最小化风险的。凸组合中的权重系数表示两种风险的相对重要性。此方法获得的解为这个多目标规划的一个帕累托最优，可以解释为，在不使一个风险增加的情况下，另一个风险不降低。之后的研究将缴费率与精算负债的比例替换为缴费率，代替为基金水平，并对之前的最优化目标做出了修正。之后的研究继续采取之前提到的双目标的方法。

正因为养老基金的总额是非常庞大的，所以养老金的水平由其投资回报的好坏决定着，这个问题是非常重要的。从开始的养老金投资研究来说，主要是从总体假设养老金投资的回报率是随机的，并没有考虑组合养老保险。在现在这个年代的研究中，有的研究者把投资回报率假定为独立同分布过程，自回归过程和移动平均过程。可以想象，这几种假设是不符合实际的，原因就是不一样的投资组合所带来的回报率也是不尽相同的。结合上面的分析，之后的研究基本上都抛弃了这种整体的投资回报率假设，把假设投资在了风险资产和无风险资产。在他们的研究中，一些研究人员将养老金假设投资在n种风险资产和一种无风险资产中，在这两种资产中，其中的风险资产服从几何布朗运动。还有一些研究者假定养老金给付额与风险资产一起服从于条扩散过程，将最小化缴费与偿付风险作为目标，运用随机的控制技术求得其显性解，进而发现了最有投资策略和补偿成本之间存在着一种线性关系一系列等结论。 1.2.2 确定缴费型养老金的最优化投资策略

在养老金的起步阶段，绝多大数国基本上都是采用的确定给付型养老金计划。然而，随着世界经济的发展，确定缴费型养老金计划在保障人民群众的基本生活上起着越来越重要的地位，好多的国家开始从DB型养老金转向DC型养老金。确定缴费型养老金提前确定的是缴费率，以后的给付额完全依赖于投资收益，投保人独自承担风险，主要风险包括：积累阶段的投资风险与退休时的年金风险。

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很多学者在对养老金的积累阶段上进行了非常深入的研究。在对其的研究当中，基本都是最大的终端财富期望效用的退休时间用于统计目的，统计整理后得出最优投资组合策略。效用函数分为两种，其一是常相对风险厌恶（CRRA）效用函数，又可以称作幂效用函数或对数效用函数；其二是常绝对风险厌恶（CARA）效用函数，又可以称作指数效用函数。除此之外，Haberman将养老金每一时刻的实际水平与其目标差值的平方定义为损失成本，也就是说，将二次损失函数最小化当做目标。但是在实际的操作当中，不同的投资人挑选适合自己的效用函数是非常困难的，更难的是，不知道投资者是如何衡量风险和收益的决策的。以均值-方差为目标研究DC型养老金的最优投资问题基本上就可以解决效用最大化的问题。可是，把均值-方差引入到养老金的研究还是比较少。Markowitz最早建立了单周期离散时间的均值-方差模型，Richardson运用鞅方法将这个模型推广到了连续时间下，再后来，一些研究者使用随机控制等理论将其分别增添到离散时间多周期的连续时间下。

上述的文献中，基本上都是把风险资产假设为服从几何布朗运动的。很多学者基于风险的最优退休为了对付养老金资产管理退休并取得了一系列的相关研究。但是，绝大多数研究者中，都不可避免的集中讨论退休时的退休年金的方案设计，只有极少数研究了各个不同的方案的最优投资问题和一系列的影响。

2 基本知识

更多的学者在对于养老金的最优化管理的研究中通常采用的是Merton提出的随机最优控制的理论和方法。

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2.1 最优化模型和控制规划

假设状态过程Xt为一个n维过程，而设Bt为一个d维的布朗运动，k维过程

ut为一个控制过程。继续设函数u,?为：

u:R??Rn?Rk?Rn

?:R??Rn?Rk?Rn?d

假设一个点Xn?Rn，就要考虑这个随机微分方程

?dXt??(t,Xt,ut)dt??(t,Xt,ut)dBt ?X0?x0 ?（2-1）

去解决这么一个最优控制问题的时候，第一步需要建立一个允许控制过程的集合。在随机控制理论中，控制过程?是适应状态过程Xt的，可以说是在时刻t的时候控制过程ut的值只关乎对它以前的Xt的观察值。我们把函数g(t,x)设为一个确定型的函数：

g:R??Rn?Rk

定义控制过程

ut?g(t,Xt )我们把形式像这样的函数g，称为反馈控制规则，在这之后的控制规则都是指的是反馈控制规则，可以写为：

ut?u(t,Xt)

对于上面的这个等式，左右两边的“u”表示的并不一样。左面的u表示的是控制在某一时刻的值，也就是在集合Rk中的一个点，而对于等式右边的u，则为一个函数。

假设选定了一个固定的控制规则u(t,X)，如果把它代入到（2-1）中，将会得到一个随机微分方程：

dX??(t,tX,u(t,tX)?)?dt(tt,X,u(, Xt)dBtt对于控制问题来说，约束条件是不可少的，因此，对任意一个t，有ut?U，

U代表的是控制元素的集合。控制规则的定义如下。

定义2.1 一个控制规则是允许的，如果 （1） 对所有的t?Rn都有ut?U；

（2） 对任意一个给定的初始点(t,x)，随机微分方程：

?dXt??(s,Xs,u(s,Xs))ds??(s,Xs,u(s,Xs))dBs ?Xt?x?（2-2）

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有一个唯一解，通常用U来表示允许控制规则的集合。

从式子（2-2）中，可以发现，如果?和?是给定的，那么这个方程的解的过程X就完全取决于初始点x和所选择的控制规则?，所以，可以把方程（2-2）的解过程用Xx,u来表示。

如果把（2-2）写的更明确，需要做以下定义。

定义2.2 对于上式，关注控制值?可控制规则u的区别，有

（1） 对于任意一个固定向量u?Rk，作以下定义

uu(t,x)??(t,x,u)

?u(t,x)??(t,x,u)

Cu(t,x)??(t,x,u)?(t,x,u)'

（2） 对任意一个控制规则u，定义

uu(t,x)?u(t,x,u(t,x))

?u(t,x)??(t,x,u(t,x))

Cu(t,x)??(t,x,u(t,x))?(t,x,u(t,x))'

Fu(t,x)?F(t,x,u(t,x))

(3) 对任意一个固定向量u?Rk，定义偏微分算子?u

?1nu?2 ???ui(t,x)??Cijt(x,)?x2?x?xi?1i,j?1iijun（4）对任意一个控制规则u，定义偏微分算子?u

?1nu?2 ???u(t,x) ??Cij(t,x)?xi2i,j?1?xi?xji?1unui 根据上面的定义，对于一个给定的控制规则u，可以把式子（2-2）改写成

u dXtu??udt??dBt

另外，对于一个给定的控制规则和相应的受控过程Xu，常用符号ut来表示。

现在来讨论在控制模型的目标函数。考虑给定的两个函数 F:R??Rn?Rk?R ?:Rn?R 定义模型的价值函数为函数J0

J0:U?R 为

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J0(u)?E??Ft(X,T0utuut,dt)??XT( )?在这其中，Xu是（2-2）的解，也可以写成Xx,u。

上面的随机控制模型的实质，就是对于所有的u?U，求J0(u)得最大值，所以，可以定义最优值J0是

J0?supJu )0( 假如存在一个允许控制规则u，使得

J0(u)?J0 就可以把这个允许控制规则称作是该随机控制问题的一个最优控制规则。

2.2 HJB方程的导出

通常，关于最优控制，不禁要问：

（1） 它有最优的控制规划么？ （2） 假设有的话，如何发现它？

对于问题（2），我们利用的办法是把之前一节的规划问题融入到一个偏微分方程中，换句话讲，就是将方程求解。

那么怎么才能把问题放到HJB方程当中去呢？我们假设一个点t??0,T?，并固定的一个点x?Rn，之后从点(t,x)来开始研究。

定义2.3 假设方程

uuuuudX??(s,X,u(s,X))ds??(s,X,u(s,X))dBs sssss

(2-3)

和约束条件

Xt?x? ?n u(s,y)?U?(s,y)?t,T?R???（2-4）

在上式的约束条件下，可以把控制问题P(t,x)定义为对下式的最大化问题：

Et,x??F(s,XTtusuu,sds)??X( ) （2-5） T?因为t和x是特定的点，换句话讲，我们可以将s和y来替换u之中的变量，也就是说，P(0,X)可以表示成控制问题。

定义 2.4 定义价值函数J和最优价值函数V：

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（1） 价值函数

J:Rt?Rn?U?R

J(t,X,u)?E??F(s,X,u)ds??(X)?

TtussUT这里的Xsu由（2.3）给出。

（2） 最优价值函数

V:R??Rn?R

V(t,x)?supJ(t,x,u)

也就是说，价值函数J(t,x,u)是在区间?t,T?的期望效用，同理，在相同的条件中，最优价值函数是在区间?t,T?的最优期望效用。

下我们做出了如下假设，目的是为了将偏微分方程顺利导出。 定理 2.1 假定：

（1） u为一个最优控制规；

（2） V(t,X)为对t的一阶连续导数，而是对X的二阶连续导数，也就是

V?C1,2；

（3） 以下的推导中，包含一些合理的限制。

为了求解这个方程，我们假设(t,X)??0,T??Rn。并假定一个时间增量h，符合t?h?T，选定一个u，然后假设控制规则u?：

n??u(s,y),(s,y)??t,t?h??Ru?? n??u(s,y),(s,y)?(t?h,T??R? 换言之，在u?的情况下，?t,t?h?利用的是任意控制u，相反，在?t?h,T? 中，利用的则为最优控制规则u。

我们将动态规划这一系列的问题归纳为：

（1） 第一，对于点 (t,x)，思考在?t,T?中运行的两种方法：

1：将控制运行u 2：利用之前的规则u?。

（2） 第二，分步骤计算各个期望效用。

（3） 第三，假设h?0，可以求得标准的偏微分方程，因为1会比2更优。 根据上述思路，可以得到

V(t,X)?Et,x??t?htFs(X,suus,ds?)Vt?h(Xtu?h, ) （2-6）

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假设（2-6）为等式，就有结论，这个规则只能是最优规则，并且这个规则并不是有且只有一个的。

由上面的结论可以继续假设，最优价值函数V?C1,2是光滑的，利用It0定理得到

V(t?h,Xtu?h)?V(t,X)??t?ht?h??Vuuu?uu(s,X)??V(s,X)ds??V(s,X)?dBsssxs???tt??t?

（2-7）

上式中，?u是上文所定义的偏微分算子，?x是如下定义的梯度

?????,..., ?x??,?

??x?x??xn?21?1对（2-7）两边基于二维点(t,X)取期望。有

Et,xV(t?h,Xut?h?t?h??V??)?V(t,X)?Et,x???(s,Xsu)??uV(s,Xsu)?ds?

???t??t代入到（2-6），得

?t?h??V??Et,x???F(s,Xsu,us)?(s,Xsu)??uV(s,Xsu)?ds??0

?t???t?对上式取极限，并根据Fubini定理和积分的基本性质，基于Xt?x，有

其中，u?u(t,x)，可以表明它就为点(t,x)的值，又因为规则u不是确定的，所以以上的规则在u?U都成立，如果是等式的情况下，最优控制规则只在u?u时成立。所以，方程：

?Vu(t,x)?supFt(x,u?,?)? ?t将上式称之为HJB方程。

V?t(x?, )0F(t,x,u)??V(t,x)??uV(t,x)?0 ?t定理 2.2 基于上面的定理下，有以下结论 （1） V在方程中，可以有

??V(t,x)?sup?F(t,x,u)??uV(t,x)??0,?(t,x)??0,T??Rn? ??t?V(T,x)??(x),?x?Rn?（2） 任意取一个(t,x)??0,T??Rn，当u?u(t,x)的情况下，我们可以取到

上述方程的上界。

这时，通过上面的分析，得到的结论为假定V(.)为最优价值函数，再加上u为最优控制规则的情况下，就有结论， u可以取到上界。

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2.3 HJB方程的求解思路

假我们把HJB对于最优控制的标准方程写为

??V(t,x)?sup?F(t,x,u)??uV(t,x)??0? （2-8） ??t?V(T,x)??(x)? 求解此方程的步骤可以分为：

（1） 选取任意一个点(t,x)??0,T??Rn，对点(t,x)，解静态最优化问题

,u,??)uVt(,) max?Ft(x? x在上式中，t与x为特定的未知数，在上式的参数中，我们假设F、V和?中的?和?是提前确定的，u为唯一的。

（2） 关于u与u这两个选择，首先要考虑它们与t与x的关系，之后还要考

虑V与它的各阶偏导数。所以，就有u

u?u(t,x,V) （2-9）

（3） 因为这时候我们还不清楚V，但又由于我们将u(t,x,V)视为了备选，因此上述的方程并不是完整的。接下来，将上述方程直接代入到（2-8），可以进一步得到

??V(t,x)?Fut(x,??)uVtx(?,)0? （2-10） ??t?V(T,X)??x()?（4）我们将上述方程的解求出后，继续代入到上式，可以得出V就是最优 价值函数，而u就为最优控制规则。

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3 关于均值-方差模型有效组合投资的一个简单算法

均值-方差的基本模型是马克威茨在1952年奠定的，一个无相互关联的市场中，投资人都是希望以较小的风险从而来获得较高的收益的。我们可以利用均值和方差来度量投资人进行投资组合时的收益与风险。研究者们为了研究这两个收益的好坏，让我们知道了二阶随机占优这么一个概念，然后又得出了当两个投资组合的均值一样时，随机占优的投资组合的方差较小。 3.1 均值-方差模型

我们可以假设投资人把资金投入到的是一个具有n个风险的不确定市场中，将投资人的最开始财富假设1，投资周期可以为一天，一星期，一个月。我们可以想象的到，他们的目的就是从所有的投资策略中选出一个投资组合，然后利用较少的风险来获得较高的收益，投资时的风险和收益可以用财富的方差和均值来记录。

我们把x'?(x1,x2,...,xn)设为投资组合，把xi设为投资时刻在证券i(i?1,...,n)当中的比例；

又将r'?(r1,r2,...,rn)定为投资时的随机收益向量，将ri设为投资时风险证券

i(i?1,...,n)的随机收益；

同理，我们把期望的收益向量设为R'?(R1,R2,...,Rn)。

假设所研究的这个矩阵A正定，任意的r?R，可以理解为将各种风险证券的期望收益不尽相同。将这种投资产生的最终随机财富表示为：

r(x)??rixi?r'x

i?1n所以，我们可以将它的期望收益和方差分别表示为：

R(x)??Rixi?R'x和V(x)????ijxixj?x'Ax

i?1nnni?1j?1每一个成熟理智的投资者都是想得到高收益并且为低风险的，所以，他们的投资策略为一个双目标规划问题。

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??MaximizeR(x)??(BP)?MinimizeV(x)

?n?Subjectto?xi?1?i?1?定义1 我们把xn称为一个有效的投资组合，假如并不存在别的可以实行的

x，使R(x)?R(xn)，V(x)?V(xn),并且在这两个不等式中，最少有一个是不等

式。

任意一个组合都可以利用以下三个模型的其中之一解决。

MinimizeV(x)??n?(PE)?Subjectto?xi?e'x?1，

i?1??R(x)?E?MinimizeR(x)??n?(QV)?Subjectto?xi?e'x?1,

i?1??V(x)?V??MaximizeR(x)?WV(x)?n (OW)?Subjecttox?e'x?1?i?i?1?三个字母E,V,W(?0)为合适的参数。

以上的三个模型代表了不同的投资者行为，但是每个模型都可以得到有效组合投资策略。(PE)模型代表投资者是为了获得最小风险的模型；(QV)模型代表投资者是为了获得最大收益的模型；(OW)模型代表投资者是为了整体目标最优的投资模型。

3.2 一般均值-方差效用函数的最优投资组合

?MaximizeU(R(x),V(x))结合一般效用函数的模型的最优投资组合问题(G)?Subjecttox'e?1?在这个式子中，函数U是关于R(x)的单调递增，但是却又对V(x)单调递减。

引理2 如果xn是(G)的最优解，就有某参数Wn使得xn为(OWn)的最优解。 证明 假设xn为问题(G)的最优解。上面已经提到的函数U是对R(x)单调递增的，但又是对V(x)单调递减的，所以xn一定为(BP)的一个有效投资组合。如果不是这样的话，我们可以由有效组合的定义知道，当存在x'这么一个投资组合时，可以使R(xn)?R(x'),V(xn)?V(x')又或者R(xn)?R(x'),V(xn)?V(x')。但

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是由于函数U是对R(x)单调递增的，但又对V(x)是单调递减的，所以可以得知

U(R(x),V(x))?U(R(x'),V(x'))，是与xn是问题(G)的最优解相矛盾的。但是每一

个有效解都是能得到的。所以，在 xn为问题(OWn)的最优解的情况下，存在一个Wn能令其成立。

因此，我们可以把(G)放到问题(OW)当中。所以，我们来进一步的得出结论。

定理5 假设(OWn)存在最优解xn，那么(G)存在最优解的条件就为

UV(xn)。 W??UR(xn)n证明 引理2，如果 (G)放到(OW)下，所以(G)就可以被写为：

maxU(R(x(W)),V(x(W)),其中W?0。

这个问题的最优解的一阶必要性条件是

UR(xn)?R(x(Wn))?V(x(Wn))?UV(xn)?0,但是，假如xn为问题(OWn)的最优解，

?W?Wn?R(x(Wn))n?V(x(W))?W?0，可以看出向量我们可以比较两式

?W?WUV(xn)。 (UE(x),UV(x))和向量(1,?W)成比例，所以W??nUR(x)nnnn由定理5与先前的成果，可以得到结论，(G)的解符合xopt?xmin?1x0，2WW??UV(xopt)Uv(xopt)。得到它们的解，之后就会发现它的最优投资策略。

3.3 算例

我们把这个算例的考虑范围缩小，分为风险证券的证券市场，并假设

R?(2,5)',A?(?1121),A?1?()，其中，R为收益向量，另外两个为协方差?125133矩阵。

（1） 在这个投资策略中，期望收益与方差可以写为

Ae?(3/7,4/7)'，R(xmin)?R'xmin?1e'Ae?1xmin??3??7?26?(2,5)???，

?4?7???7?13

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V(xmin)?(e'A?1e)?1?26?3??1?5?，x0?A?1?R?e????，77?7?1??9R(x0)?R'x0?V(x0)。

7（2） 考虑问题

Minimizex'Ax? ?Subjecttox'e?1,x'R?E?我们假设E?4，可以得出最优投资组合策略 xopt?xmin??x，0E?R(xmin)2?，xoptR(x0)9???1??3????。 ?2????3??1??6????。 ?5????6? 若假设E?4.5，得到的最优投资策略是：

E?R(xmin)11?，xoptR(x0)18xopt?xmin??x0，??（3） 考虑问题

MinimizeR(x)? ??Subjecttox'Ax?V,x'e?1假如V?1，可以得出

1?3?2?2，xopt???xmin??x0，V?V(xopt)?V(xmin)??V(x0)，???

?7?3?4?2?2xopt假如V?2,可以得出

?0?2??1 xopt?xmin，，x???x，V?V(x)?V(x)??V(x)opt?? 0optmin0?1?（4） 考虑问题

?MaximizeR(x)?WV(x) ?Subjecttox'e?1?若W?1,可以得到：

xopt

若W?2，可以得到：

?3??3??7?13??1??14??????????? ?4?27?1??11??????14??7?14

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xopt?3??7?3??1??0?????????? ?4?7?1??1????7?（5）考虑问题

?MaximizeU(R(x),V(x)) (G)?Subjecttox'e?1?我们将效用函数采用下面的形式：

U(R(x),V(x))?R2(x)?V(x)

由定理5，问题(G)的最优解满足xopt?xmin?1x0， 2W其中W??UV(xopt)UR(xopt)?1，所以xopt2R(xopt)?3??3??7???7???????(2,5)xopt 43?????????7??7??6?此最优投资组合策略求解近似为：xopt?????5?

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4 均值方差标准下确定给付型的养老金最优投资策略

在这一章我们要以均值方差为目标来研究确定给付型养老金的最优投资

问题。通过基本知识中提到的内容来建立养老金最优投资的HJB方程，从而求得养老金的最优投资策略，并在最后求得其有效前沿。 4.1 模型描述

这一节主要介绍金融市场和养老金的结构特点。为了给出养老金的财富

过程，进而定义了金融资产的价格。 4.1.1 金融市场结构

我们假设有两种金融资产存在于金融市场中，分别为无风险资产（债券）和风险资产（股票）。我们把无风险资产在t时刻的价格定义为B(t)，需要让它满足微分方程，

(t)?0rB()td,t(B?0)0 dB（4-1） 其中，r0为一个未知数。

0B?, r 0

对于股票中的价格来说，遵循的是随机性。所以，我们把类似于这样的价格想象为是几何布朗运动的。但是对于模拟股票价格波动来说，更优的是常方差弹性模型，即CEV模型。所以我们为了更符合实际，就把股票价格假设为CEV模型。在t时刻时，把股票的价格定义为S(t)，使它满足模型，

??1dS(t)?rS(t)dW(t),S(0)?S0, (4-2) 1(t)dt??S其中，定义r1为风险投资的期望瞬时回报率，同时又满足r1?r0。股票的瞬时波动率为?S?(t)，?为常弹性系数，人们通常将??0。我们假设一个概率空间

(?,F,P)，其中，字母?表示为实空间，字母P表示为概率测度。

4.1.2 养老金的财富过程

我们将养老金最优投资问题总体上划分为退休前与退休后这两种情

况，假设退休后采用的是年金。在这种方式下，假设不把意外情况考虑在内。然后，我们可以把T定为退休时刻，N定为支付周期。 (1)退休前?0,T?时期

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我们定义投保人在退休前，可以任意进行投资。在t时刻时，将V(t)定义为最终解，?i和1??i为在两者上的投资比例。为了使研究更贴近实际，定义给付率c为正常数，有关于退休前的方程为：

dB(t)dSt() dV(t)?(?1?tV)t()??tVt()?cdtVB(t)St()，,?V(00)

（4-3）

其中，V(0)?V0表示的是养老金的初始财富。

我们将（4-1）与（4-2）代入（4-3）中，可以将退休前的财富过程整理为下式，

?dV(t)?((1??)V(t)r??V(t)r?c)dt??V(t)?S(t)dW(t) 。 t0t1t

（4-4）

(2)退休后?T,T?N?时期

我们之前定义(t?T)为退休的点，其中给付额是提前确定的，并可以来买年金。将N期年金所需要支付资金定义为D，可以想象，需要满足D?VT。但是，资金难免会出现剩余，剩余的资金会回到养老金账户或者回到基金管理者手中。我们将退休后的给付额定义为B。

退休之后，养老金需要被用在支付确定的年金，而且可以投资在债券和股票中。和先前的假设一样，假设V(t)为t时刻养老金的财富价值，?t和1??t为债券和股票的投资比例。所以，退休后养老金的财富过程可以表示为，

?dV(t)?((1??)V(t)r??V(t)r?B)dt??V(t)?S(t)dW(t)。 t0t1t

(4-5)

4.2 最优控制问题

4.2.1 最优化标准

前面说过，对于一个理性的投资者来讲，他们的对投资的目标是一致

的。无论是退休前还是退休后，他们都是想要高收益，低风险的。这就是属于均值-方差模型。 (1)退休前的最优化标准

定义4.1 如果?t?LF2(0,T;R),我们就认为这个方程的解是?t。同时，将可行的投资策略?t代入方程（4.4）中，可以求得其养老金财富V(t)。所以，

(V(t),?t)就被称为一个可行的养老金投资策略组合。

命题 4.1 均值-方差下退休前养老金的随机最优控制问题 MinVa(rV)?T(E(V?)T2 )K17

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EV(T)?K,? subject?to(V(t)?,)isadmissiblet?

（4-6）

投保人希望的是养老金能获得更高的增值才回去选择在股票市场上进行投资的目的是为了获得高收益。所以，投保人期望的投资收益是比完全投资在无风险资产后获取的收益要高的。因此，当?t?0时，其对应的财富过程应该满

r0T足dV(t)?(V(t)r0?c)dt，V(0)?V0，因此，V(T)?((c?rV?c)/r0。会有结00)er0T果EV(T)?K?((c?rV?c)/r0。 00)e 假设字母K，对于命题4.1来说，它所得出的最优投资策略就是一个有效的投资策略，会得出一个最后结果V(T)，将(K,VarVT())叫做一个有效点。并

r0T将有效点组成的集合定义为有效前沿，K?((c?rV)e?c)/r0,?)。 00 因为模型（4-6）是一个动态二次凸最优化问题，因此是由唯一解的。可以把一个拉格朗日乘子2??R引入到EV(T)?K这个约束条件中。系数2是为了简化计算，可以得出一个新的目标函数

2J(?t,?)?E(V(T(?)K?)?2V(T?()K?))EV(?T()??K2(2. ??)) 定义??K??，通过整理，可以得到随机最优控制问题

??MinJ(?t,?)?E(V(T)??)2?(K??)2, ???subjectto(V(t),?t)isadmissible.（4-7）

根据拉格朗日对偶定理，模型（4-6）和（4-7）存在等价关系，

MinVarV(T)?Max??RMin?tJ?(t?,?)Max??RMin?tJ?t(?,

所以，当?给定时，模型（4-7）等价于以下的这个最优化问题

?Min(J?t,?)???(to()?V,tt)??subjectE(V(?T)?2), (4-8)

isadm?,i?ssi0bT?,let(2)退休后的最优化标准

命题4.2 和上一节的思路类似，我们可以把退休后的随机最优控制问题写成

?MinJ(?t,?)?E(V(T?N)??)2,? (4-9) ???subjectto(V(t),?t)isadmissible,t??T,T?N?在上式中，??K??,EV(T?N)?K.

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通过对比可以发现，对于均值-方差标准下不管是退休前还是退休后结构都是相似的，所以这两个模型的求解也是相似的。为了方便讨论，我们将退休前后的最优化目标的表达式写成

， （4-10） U(v)?(v??T2)对于退休前来说，其中?T??，对退休后说，?T??。

所以，（4-8）和（4-9）这两个模型的目标分别为等价于最小化

J(?t,?)?EU(V(T))和最小化J(?t,?)?EU(V(T?N))。 4.2.2 一般框架

这一节，我们利用随机控制理论把模型（4-8）与（4-9）转化成对应的

HJB方程，得到一个很难得出答案的方程。因此，我们为了使求解更简单，可以将其化为二次线性偏微分方程。 (1)退休前的一般框架

将价值函数定义为：

(4-11)

H(t,s,v?) t in?fEU(V(T))S?|t()s?V,?t()v??, 0T ,

上式中，H(T,s,v)?U(v)。

所以，我们可以将该最优化问题相对应的HJB方程表示为：

1?1?Ht?r1sHs?(r0v?c)Hv??2s2??2Hss?min??2t?2s2?v2Hvv??t(r1?r0)vHv??t?2s2??1vHsv??0

2?2?

(4-12)

Ht，Hs,Hv,Hsv,Hss和Hvv是对时间、股票价格和养老金财富的一阶和二阶偏导数。

对其进行求导，使其解等于零，可以得出最终的策略

(r1?r0)Hv??2s2??1Hsv （4-13）把上面???v?2s2?Hvv*t的表达式代入到（12）中，可以得出价值函数的一个偏微分方程

((r1?r0)Hv??2s2??1Hsv)2122??2 Ht?r1sHs?(r0v?c)Hv??sHss??0 （4-14）22?22?sHvv 我们可以发现，我们已经把上面的问题通过转化，改为了一个新的方程，即偏微分方程。我们求得的表达式是对方程（4-14）求解而来，把它代到（4-13）后，得到的解就为其最优投资策略。但是，上面提到的这个方程是非线性的，并

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且还是二次的，得到解不是太容易，所以，利用勒让德变换和对偶理论将其转化成线性偏微分方程，方便求解。

定义4.2 假设f:Rn?R是一个凸函数，给定z?0，定义Legendre变换为

L(z)?max?f(x)?zx?

（4-15）

L(z)叫做Legendre的对偶函数。

把f(x)假设为是严格凸的话，上式存在唯一的最大值点，可以将它标记为x0。对上式x求一阶导，可以得出

df(x)?z?0。所以，进一步可以得出dxL(z)?f(x0)?zx0。

根据定义4.2，利用价值方程H(t,s,v)的凸性，可以定义其Legendre变换成H(t,s,z)?sup?H(t,s,v)?zv|0?v???,0?t?T,z?0为v的对偶变量。 变量v的最优化用g(t,s,z)得到，并满足

g(t,s,z)?infv|H(t,s,v)?zv?H(t,s,z),0?t?T，其中v?0。

对于函数g(t,s,z)与H(t,s,z)来说，它们都是H的对偶函数。但对于g来说，会更简便容易，所以我们采用g来进一步的研究最优投资组合策略。 可以得出

??H(t,s,z)?H(t,s,g)?zg,g(t,s,z)?v,Hv?z。

（4-16）

明显，函数H和g同时满足g??Hz。 把其在终端时刻时，定义为

U(z)?sup?U(v)?zv|0?v???，

G(z)?supv|U(v)?zv?U(z)。

明显，可以得到G(z)?(U')?1(z)。

一般情况下，我们把G看做为边际效用的反函数。有H(T,s,v)?U(v)，所以在终端时刻T的时候，会有

??g(T,s,z)?infv|U(v)?zv?H(T,s,z)， H(T,s,z)?supU(v)?zv。

其中v?0，并且g(T,s,z)?(U')?1(z)。

如果利用（4-16）分别对t，s和z求导，可以得到

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