高中物理竞赛 稳恒电流

稳恒电流

§2、1 电 流

2．1 ．1．电流、电流强度、电流密度

导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。

电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为

I?q/t

电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是

I?nevS

n是金属导体中自由电子密度，e是电子电量，v是电子定向移动平均速度，S是导体的横截面积。

在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为

j?I/S

金属导体中，电流密度为

电流密度j是矢量，其方向与电流方向一致。 2．1 ．2、电阻定律导体的电阻为

j?nev

R??L/S?L?S

1????????，由导体的性质决定。 式中?、?称为导体电阻率、电导率?实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系

???0?1??t?

?1?0为0℃时电子率，?为t时电阻率，?为电阻率的温度系数，多数纯金属?值接近于

4?10?3℃，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近

某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。

超导材料除了具有零电阻特性外，还具有完全抗磁性，即超导体进入超导状态时，体内磁通量被排除在体外，可以用这样一个实验来形象地说明：在一

NS图2-2-1

个浅平的锡盘中，放入一个体积很小但磁性很强的永磁铁，整个装置放入低温容器里，然后把温度降低到锡出现超导电性的温度。这时可以看到，小磁铁竟然离开锡盘表面，飘然升起与锡盘保持一定距离后，悬在空中不动了，如图2-2-1所示。这是由于超导体的完全抗磁性，使小磁铁的磁感线无法穿透超导体，磁场畸变产生一个向上的很大的排斥力，把磁铁托在空中，这就是磁悬浮的道理，这一特性启示了人们用超导材料制造磁悬浮列车。

超导现象是1911年荷兰物理学家昂尼斯首先发现的。他发现在4.2K（?268.8℃），汞的电阻突然消失，并把这种“零”电阻特性称为“超导电性”。接着他又发现在7.3K附近，铅也具有“超导性”。

1933年，迈斯纳发现了超导的“完全抗磁性”，他证明处于磁场中的超导体可以把磁感线完全排斥在体外，从而使自身可以悬浮在磁体之上。这个现象称为“迈斯纳效应”。至今人们仍把“零电阻特性”和“完全抗磁性”作为判定材料达到“超导状态”的两个必要条件。

例1、为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联

?1?5?4??3.5?10??m???5?10起来，已知碳的电阻率为0碳，电阻率温度系数碳℃，而

?8??5?10℃?1求这两棒的长度之比是多少？

铁?0铁?8.9?10??m，铁?3解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多（一般相差两个数量级），因此可以忽略线度的变化。

将???0?1??t?代入R??L/S，得

R?R0?1??t?

式中R0为材料0℃时电阻 将碳棒和铁棒串联，总电阻为

R?R碳?R铁?R0碳?R0铁?R0碳?碳t?R0铁?铁t

要R不随温度变化，必须有 由R?R0碳?碳t?R0铁?铁t?0 L铁 ?39.3:1

2. 1 ．3、电流密度和电场强度的关系

?碳?碳3.5?10?5???5?10?4????L碳?铁?铁8.9?10?8?5?10?3

?L/S，可知截面积相同的两棒长度之比为

通电导体中取一小段长?L，其两端电压?U，则有：

?U?I???LI??L?S?S

?U/?L?E,得到 j??E

I?jS

上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系，更细致地描述了导体的导电规律，被称为欧姆定律的微分形式。

①对于金属中的电流，上式中的?还可有更深入的表示。

当金属内部有电场时，所有自由电子都将在原有的热运动的基础上附加一个逆场强的定向运动，就是所有电子的这种定向运动形成宏观电流。

由于与晶体点阵的碰撞，自由电子定向速度的增加受到限制。电子与晶体点阵碰撞后散射的速度沿各个方向几率相等，这样电子定向运动特征完全丧失，其定向速度为0。这样电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，设两次碰撞之间的平均时间为?，平均路程为?，

?V则电子定向运动平均速度。

???V0?V?1?e??e?V???0?E????E?22?m2m?

??而

?u，u是电子热运动的平均速率。所以

???下面我们看电流密度矢量j与电子定向运动平均速度V的关系。在金属内部，在与j垂

直方向取一面积为?S的面元，以?S为底，V为高作一个柱体。设单位体积内自由电子数为n，则单位时间内柱体内的所有为由电子nV?S能穿过?S面而形成电流，?S面上任一点的电流密度：

?e??V??E2mu

?代入V，我们得到 ?ne2??j?E2mu

相比，金属的电导率?为

??j??enV

en?SVj??enV?S ???j的方向以正电荷运动方向为准，电子带负电，j的方向与V的方向相反

ne2?对于一定的金属导体，在一定温度下，2mune2???2mu??是一定的，与欧姆定律的微分形式j??E

②对于导电液体，?同样有更细微的表达式。

能够导电的液体称为电解液。电解液中能自由移动的带电粒子是正、负离子。在没有外电场时，正负离子作无规则的热运动。在有外场作用时，液体中正负离子定向移动形成宏观电流，正、负离子的平均定向速度（以称迁移速度）V?和V?与所加的电场成正比。若单位体积内有n对正负离子，每个离子带电量q，考虑到负电荷的运动等效于等量的正电荷反方向的运动，则所研究面元的电流密度大小为

j?nqV??nqV?

00VV定义单位场强下的迁移速度为迁移率，分别用?和?表示

VVV?0??V?0??E E

00?j?nqV?V???E??E 则

??nq?V?0?V?0?

00n、q、V、V??均为恒量，液体导电仍满足欧姆定对于一定浓度的某一种电解液，

律。

§2、2电路

2．2 ．1、电路连接与电表改装 （1）串、并联电路的性质

串联电路通过各电阻电流相同，总电压为各电阻两端电压之和，电压的分配与电阻成正比，功率的分配也与电阻成正比，即

I1?I2???IU?U1?U2???Un?I?R1?R2??Rn?Pn?I2Ra串联电路总电阻

R?R1?R2??Rn

并联电路各电阻两端电压相同，总电流为通过各支路电流之后，电流的分配与电阻成反比，功率的分配亦与电阻成反比，即 IRgRU1?U2??U

gG UUUI?I1?I2???In?????R1R2RnUgUUR

UVV U图2-2-1

U2Pn?Rn

总电阻：

1111????RR1R2Rn（2）电表改装

①欲将满偏电流为g，内阻为g的电流表改装为量程为U的电压表，需将分压电阻R和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U时，就是当电压表两端的电压为U时，通过电流表的电流为

IRIg，电流表分担的电压为Ug。根据串联电路的规律有

U?UgURUR??Rg??Rgn?IgRg UgUg

U?IgRgR??Rg??n?1?RgIgRg即

电压表内阻

URV?R?Rg??Rg?nRgIgRg

通常，RV都很大，理想情况下可认为RV??。

②欲将内阻为g，满偏电流为g的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R和电流表并联，如图2-2-2所示。同理可推得

RIIn?R??RgIg IR

Ig1??Rg?RgI?Ign?1

Ig通常，R很小(R??Rg)，可认为电流表内阻情况下可认为R?0。

③将电流表改装成欧姆表

IIgRRIgG RgG I

Rg?R，理想

图2-2-2

??简易欧姆表接法示意图如图2-2-3所示，R0为调零电阻，表头内阻为

Rg，满偏刻度为Ig。测量前，应先将两表笔短接，调节R0?红G R0?黑图2-2-3

若

x?a?a?a?a??， （a＞0）

在求x值时，x注意到是由无限多个影响，即剩余部分仍为

a组成，所以去掉左边第一个a?对x值毫无

x，这样，就可以将原式等效变换为x?a?x，即

x2?x?a?0。所以

x?1?1?4a2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

例8、如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度

的电阻为?，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取ABA边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？

从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为RABB图2-4-15

/2的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电

阻是RAB这样的，RAB?Rx，R?a?因此

?RRx/2??RRx/2????Rx?R?R??R?R?????R?R/2R?R/2xx????

解此方程得到

R/2R/2R/2BRAB?Rx?7?11R?33?7?1a??A

Rx/2R/2R2．4．5、 电流叠加法

图2-4-16

解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分

布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。

例9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，2如图2-4-17所示。所有六边形每边的电阻为R0，求：

43（1）结点a、b间的电阻。

（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。

解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I5de867ac1b9g/3电流由a流向c，有I/6电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由a流向c，有I/3电流由c流向

b。

图2-4-17

将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知

Iac?III??362（由a流向c） IIIIcb???362（由c流向b）

RAB?UABIacR0?IcbR0??R0II

因此，a、b两点间等效电阻

（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设

I1?I4?I7?IA

I2?I3?I5?I6?I8?I9?IB

应该有 3IA?6IB?I

因为b、d两点关于a点对称，所以

??Ibe?Ide1IA2

同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有

???IB Ide最后，根据电流的叠加原理可知

??Ide???Ide?Ide111IA?IB??3IA?6IB??I266

以上几种方法可实现电路的化简。其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导

1体和等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻值，最后只需将R换成C即可。

例10、十个电容为C的电容器按图2-4-17个方式连接，求AB间等效电容CAB。

解： 将电容全部换成阻值为r的电阻，由“电容分布法”中的例题可知

RAB?1用C代替R，则

1151??CAB8C

15?CAB?C8

15r8

BA图2-4-17

RxBR0S2§2。5、电桥电路，补偿电路和电势差计

2．5．1、 惠斯通电桥 用欧姆表测量电阻虽然方便，但不够精确，而用伏安法测电阻，电表所引起的误差又难以消除，精确地测量电阻，常用惠斯通电桥。

A图2-5-1是惠斯通电桥的电路图，当B、D两点的电势相等时，通过检流计的电流强度g，此时就称电桥平衡（可通过调节滑动触头D的位置来实现）。根据串联电路中电阻与电压成正比的原理，可知此时应有

R3DR1R4R2I?0S1图2-5-1

R1:R2?Rx:R0

一般来讲，R1和R2由同一均匀电阻丝组成，其阻值与长度成正比，待测电阻的计算公

式为

R1L1Rx?R0?R0R2L2

测出电阻丝长度L1和L2之比，再由标准电阻R0的阻值即可确定待测电阻Rx的阻值。

备注：操作方法见实验部分。 2．5．2、 电势差计

精确地测量电源电动势常采用电势差计。电势差计是根据补偿原理来设计的，补偿法的原理可用图2-5-2所示来说明。

A通常情况下，用测量仪器对电源进行测量时，总有电流通过电源，因而造成测量误差。用图2-5-3所示的电路进行测量时，可以使待测电源中的电流为零。图中工作电源与粗细均匀的电阻线A、B相连。适当调节C的位置，当电阻线在A、C段的电势降刚好与待测电源的电动势Ex 相等时，灵敏电流计G内没有电流通过，待测电源中的电流也为零。这时，称待测电路得到了补偿。

若先对一个标准电池实现补偿，就可以对电路进行定标（测得A、C间单位长度相当多少伏电压），然后对某个待测电压实现补偿，即可精确地测定这个电压值。

用这种方法既可以测量电源电动势，还可以测量某段电路两端电压。若再借助于比较法，还可测量电阻值。这种测量方法称为补偿法。

滑线式电势差计的电路如图2-5-4所示。它由三部分组成：工作电

?RBC?x 图2-5-2

源E、开关K1和变阻器R1组成“工作电路”；标准电池?0、灵敏电流计G和保护电阻R2组成“标准电路”；待测电源?x、开关K3、电阻箱R3、灵敏电流计G和保护电阻R2组成“测量电路”，三部分之间接有转换开关K2和由粗细均匀的电阻线AB和滑动触头C。任何电势差计，无论结构多么复杂，都有以上三部分。

测量前，应先对电势差计进行校准，回路中的工作电源电压可取3～4V间某个值。调节变阻器R1使工作电路中的电流达到规定值。再将转换开关K2接标准电池，调节滑动触头C，并逐步减小保护电阻R2，直至R2等于零时，接通灵敏电流计G，表中也有没电流通过。这时“标准回路”就达到了平衡，记下此时电阻线上AC1段长度l1。

然后，将R2调至最大，将转换开关K2接待测电源，并断开开关K3。按以上方法再调节“测量电路”使其达到平衡，并记下此时触头位置所对应的电阻线上AC2的长度l2。在调节过程中，R1的位置不能动，以保护工作电流不变。此时，由于电阻线的粗细均匀，故有

?0?L1/S即

?I??x?L2/S

L2?x??0L1

如果要测量待测电源的内阻r，可以合上K3，用以上方法测得待测电源的路端电压

L3Ux??0L1

再根据公式

?r??x?Ux?Ir?Ux??1?R???3?

读出电阻箱的阻值R3，即可求出电源内阻为

??x??r?R3??1???Ux?

利用电势差计还可以借助于比较法测电阻，测量方法如图2-5-5所示，图中R为标准电阻，

Rx为待测电阻，先用电势差计测出Rx两端的电压Ux，再用同样的办

法测出标准电阻R两端的电压U，由于电势差计没有分流作用，故

RCMNRx电势差计图2-5-5

U:Ux?IR:IRx?R:Rx

URx?xRU 因此

24§2．6、黑箱问题

此类问题具有智力测试的性质，无明显规律可循，而全凭思维的灵敏性和判断的周密性

例11、如图2-6-1所示，在黑盒内有一个电源和几个阻值相同的电阻组成的电路，盒外有四个连接柱。利用电压表测出每两点间的电压分别为：

13图2-6-1

U12?5V,U34?3V,U13?2V,U42?0。试画出盒内的电路，并要求电阻数不

超过5个。

解： 在盒内电阻数不超过5个的条件下，可能的电路有6种，如图2-6-2所示 224424

111333 (a)(c)(b) 222444

111 333(e)(d)(f)

图2-6-2

解： 设二极管D两端电压UD，流过二极管电流为ID，则有

?2U0???2UD????ID??R1?R2? ?代入数据解得UD与ID的关系为

UD??1.5?0.25ID?103? 在二极管ID—UD特性曲线上再

作出上等式图线，如图2-7-10所示。 图3-2-10 由图可见，两根图线交点P就在此状态下二极管工作点。

ID/mA654321011.52UD?1V,IP?2mA

电阻R1上的电压为U1

U1???2UD?4V

U12P?16mW1?R1其功率为

（4）电子电量的确定

按法拉第电解定律

UD/V3图2-7-10

m?MQFn

按当今电子论的观点：一个电子所带的电量为e，在电解池中通过电量Q时，阴极板将向溶液提供Q/e个电子，这些电子可以使Q/ne个化合价为n的正离子还原。由于每析出N个原子（N是阿伏伽德罗数），可以在极板上得到M克物质。因此电解池通过电量Q时所析出的物质质量为

m?比较以上二式得

QMneN

e?FN

F?Ne 或

上式把法拉第恒量F、电子电量e、阿伏伽德罗数N三者联系起来，只要用实验精确测量出法拉第恒量F、阿伏伽德罗数N，就可以计算出电子的电量了。

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