2014年江苏高考数学试题及详细答案（含附加题）

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长. 圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ．．．．．．．．?1，，34}，B?{?1，2，3}，则A1．已知集合A?{?2，3} 【答案】{?1，B? ．

2．已知复数z?(5?2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为 ． 【答案】21

3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ． 【答案】5

2，，36这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 4．从1，概率是 ． 【答案】1

35．已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0≤???)，它们的图象有一个横坐标为 ?的交点，则的值是 ．

?3【答案】?

66．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的130]上，其频率分布底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm． 【答案】24

7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2?1，a8?a6?2a4， 则a6的值是 ． 【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且

S19?，S24则

V1的值是 ． V2【答案】3

29．在平面直角坐标系xOy中，直线x?2y?3?0被圆(x?2)2?(y?1)2?4截得的弦长为 ． 【答案】255

5m?1]，都有f(x)?0成立，则实数m的取值范围10．已知函数f(x)?x2?mx?1，若对任意x?[m，是 ． ??2，0? 【答案】???2?b为常数)过点P(2，?5)，且该曲线在点P处的11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?ax2?b(a，x切线与直线7x?2y?3?0平行，则a?b的值是 ． 【答案】?3

AD?5，CP?3PD，12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，AB?8，AP?BP?2，则AB?AD的

值是 ． 【答案】22

3)时，f(x)?x2?2x?1．13．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x?[0，若函数y?f(x)?a24]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ． 在区间[?3，1 【答案】0，214．若?ABC的内角满足sinA?2sinB?2sinC，则cosC的最小值是 ．

【答案】6?2

4二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知???，?，sin??5．

52（1）求sin???的值；

4??????

（2）求cos???2?的值．

6【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.

（1）∵???，?，sin??5，

25∴cos???1?sin2???25

5 sin????sin?cos??cos?sin??2(cos??sin?)??10；

444210（2）∵sin2??2sin?cos???4，cos2??cos2??sin2??3

55 ∴cos???2??cos??cos2??sin??sin2???3?3?1??4??33?4．

666252510E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P?ABC中，D，PA?AC，PA?6，BC?8，DF?5．

??????????（1）求证：直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. E为PC，AC中点 ∴DE∥PA （1）∵D，∵PA?平面DEF，DE?平面DEF ∴PA∥平面DEF E为PC，AC中点 ∴DE?1PA?3 （2）∵D，2F为AC，AB中点 ∴EF?1BC?4 ∵E，2∴DE?EF?DF ∴?DEF?90°，∴DE⊥EF

222PA?AC，∴DE?AC ∵DE//PA，∵ACEF?E ∴DE⊥平面ABC

∵DE?平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．

2y2xF2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，abb)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另右焦点，顶点B的坐标为(0，一点C，连结FC． 11，且BF?2，求椭圆的方程； （1）若点C的坐标为4，233??

?AB，求椭圆离心率e的值． （2）若FC1

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.

1611，∴9?9?9 （1）∵C4，33a2b2??∵BF22?b2?c2?a2，∴a2?(2)2?2，∴b2?1

2x∴椭圆方程为?y2?1 20)，F2(c，0)，C(x，y) （2）设焦点F1(?c，C关于x轴对称，∴A(x，?y) ∵A，b?yF2，A三点共线，∴b?∵B，，即bx?cy?bc?0①

?c?xy?AB∵FC，∴?b??1，即xc?by?c2?0② 1x?c?c?x?ca2?b2?c2 ∴Ca2c，2bc2 ①②联立方程组，解得?22222b?cb?c2bc?y?2b?c2???a2cb2?c2∵C在椭圆上，∴

a2???22bc2b2?c2?b2??1，

2化简得5c2?a2，∴c?5, 故离心率为5

5a518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan?BCO?4．

3（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：

(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角

坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－

4. 33. 4又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=

设点B的坐标为(a,b)，则k BC=

b?04??,

a?1703 k AB=

b?603?, a?0422解得a=80，b=120. 所以BC=(170?80)?(0?120)?150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y??4(x?170)，即4x?3y?680?0 3由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r?|3d?680|680?3d?. 55因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35

680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F. 因为tan∠BCO=

443.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=. 355680. 3因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=

CF=

OC850500?,从而AF?OF?OA?.

cos?FCO334， 5因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==

400，从而BC=CF－BF=150. 3

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