安徽省皖南八校2008届高三第二次联考数学（理）

安徽省皖南八校2008届高三第二次联考

数学（理）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U?R,A?{x|A．一2

x?1?0},CuA?{?1,?a}，则a?b等于 x?bB．2

C．1

D．0

2．函数y?(log1x)2?4(x?2)的反函数是

2A．y?2x?4(x??3) (x??3)

B．y?2?x?4(x??3) (x??3)

C．y??2x?4D．y??2?x?43．在等比数列{an}中，已知a1a3a11?8，则a2a8等于

A．16

B．6

C．12

D．4

4．若定义在R上的函数f(x)满足f(?3?x)??f(x)，且f(?x)?f(x)，则f(x)可以是

B．f(x)?2sin3x D．f(x)?2cos3x

1x 31 C．f(x)?2cosx

3A．f(x)?2sin

?f(x)?3x?1,x?05．已知函数?，若f(x0)?1，则x0的取值范围是

?log2x,x?0A．x?2

B．?1?x?0 D．x??1或0?x?2

C．?1?x?0或x?2

6．已知点(cos?,sin?)到直线xsin??ycos??1?0的距离是为

1?(0???)．则?的值225??5?5?? C．或 D．或 12612126?????????7．已知向量a?(2,?1),b?(x,?2),c?(3,y)，若a?b,(a?b)?(b?c)，则x?y为

A．

? 12 B．

A．0 B．2 C．4 D．一4

8．某校A班有学生40名，其中男生24人，B班有学生50名，其中女生30人，现从A、B两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为

1316 C． 2525????????????????????????ABACAB??????)?BC?0，?9．已知非零向量AB和AC满足(???且???|AB||AC||AB|A．

B．

为

A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

12 25 D．

????AC1??????，则?ABC2|AC|9 2510．一同学在电脑中打出如下若干个圆：

若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2007个圆中共有●的个数是

A．6l

B．62

C．63

D．64

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当x?[0,1)时，

f(x)?2x?1，则f(log16)的值为

2A．?5 2 B．一5

C．?1 2 D．一6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中的横线上． 12．右图是函数y?sin(?x??)(??0,|?|??2)的图象的

一部分，则?? ，??

x2y2??1的长轴的两个端13．已知A、B为椭圆C:m?1m点，P是椭圆C上的动点，且?APB的最大值是实数m的值是 ．

14．若(xx?)的展开式中的第5项是

n2?，则31x615?1?2?n，设Sn?x?x?????x，则limSn?

n???215．对正整数n，设曲线y?x(1?x)在x?2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列

{

an}的前n项和公式是 n?1三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知cos2??7?,????．求： 252 （1）tan?的值；

2cos2 （2）

?2?sin?2sin(??)417．（本小题满分14分）

已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PEC；

（2）求PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求二面角P一EC一D的大小．

18．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2a?c)cosB?bcosC （1）求角B的大小；

?的值

??????（2）设m?(sinA,cos2A),n?(4k,1)(k?1),m?n的最大值为5，求k的值

19．（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的中心在坐标原点O，一条准线的方程为x?4，过椭

ab?圆的左准点F，且方向向量为a?(1,1)的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M．

（1）求直线OM的斜率（用a、b表示）；

（2）设直线AB与OM的夹角为?，当tan??7时，求椭圆的方程． 20．（本小题满分13分）

x?1)已知定义域为R的函数f(x)?(x?1),g(x)?4(，数列{an}满足a1?2，(an?1?an)g(an)?f(an)?0(n?N*)

（1）求数列{an}的通项公式；

2

（2）设bn?3f(an)?g(an?1)，求数列{bn}的最值及相应的n值． 21．（本小题蠛分14分）

an?1?2n?12n?1?1?在数列{an}中a1?2，且

an2n（1）求证：an?n?2

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn?(n?1)?2（3）求证：an?1?2an?2

nn?1n?2

皖南八校2008届高三第二次联考

数学参考答案（理科）

1．A 11．C 12．

2．A

3．D

4．D

5．C

6．C

7．A

8．B

9．D

10．A

? 2 6 13．

1 214．1

15．2n?1?2

提示：

1．A 由CuA?{?1,?a}，知A?(??,?1]??(a??,．)所以a??1,?b??a，因此

a?b??2

22．A 函数可化为y?(log2x)?4，所以log2x?y?4(y??3)则反函数为，

y?2x?4(x??3)

3123．D 由a3a11?8?a1q?8（q为公比），即a1q4?2，∴a2a8?(a1q4)2?4

4．D ∵f(?x)?f(x)，∴排除A、B，又∵f(5．C 当x?0时，3x?1?3?x)??f(x)，∴选D

?1?x?1?0，∴当x?0时，log2x?1?x?2，∴x?2，

综上所述：?1?x?0或x?2 6．C

|sin?cos??cos?sin??1|11??5? ?，∴sin2??(0???)，即或

22212121???????7．A ∵a?b，∴x?4，∴b?(4,?2)，∴a?b?(6,?3),b?c?(1,?3?y)，

????????∵(a?b)?(b?c)，∴(a?b)?(b?c)?0，即6?2(?2?)y?08．B A班男生B班女生概率为?，∴y??4，∴x?y?0．

?????????ABAC?????????)?BC?0??BAC的角平分线与BC垂直，9．D 由(???∴?ABC为等腰三角|AB||AC|????????ABAC1???????，∴?BAC?60?，∴?ABC为等边三角形 形．∵???|AB||AC|210．A 因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n组白圆，则有n?1个黑圆，所以所有圆

3322，B班男生A班女生概率为?．

5555n2?3n?2(1?n)nn2?3n?2?2007，因为当n?61时，?n?1?的个数为，由已知

222

n2?3n?2n2?3n?2?1951?2007，当n?62时，?2014?2007，但第62组中共有2262个白圆，所以在前2007个圆中共有61个黑圆

11．C ∵?3?log16??2，∴?1?log16?2?0，即?1?log12223?0，∵f(x)是周期23log23331为2的奇函数，∴f(log16)?f(log1)??f(?log1)??f(log2)??(22?1)??

2222222?11??2?2? 2 由图知T??(?)??，∴????2，∴y?sin(2x??)，又61212T?????点(?,0)在图象上，∴sin(???)?0，∴由????0，知??

61266113． 由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时?APB取得最大值．据题意则有

212．

tan?3?m?11?m?

2m4214．1 由题意知T5?C6(xx)(?)?1x41515，又∵T5?，∴x?2，

2x11(1?n)2?lim(1?1)?1 ∴limSn?lim2nn???n???n???121?215．2n?1?2 ∵y?xn(1?x)，∴y'?nxn?1?(n?1)xn，∴k?f'(2)?n2n?1?(n?1)2n

??2n?1(n?2)，又切点为(2,?2n)，∴切线方程为y?2n??2n?1(n?2)(x?2)，令x?0，

则an?(n?1)2，∴数列{nana}的通项公式n?2n，故前n项和公式n?1n?12(2n?1)Sn??2n?1?2

2?17792，得1?2sin??…………2分 ,sin2??252525?34sin?3∵????，∴sin??,cos???，∴tan????…………6分 255cos?443???1?2cos2?sin?cos??1?sin?5?2…………12分 2（2）??5?34sin??cos?2sin(??)?455117．解法一：（1）取PC的中点O，连结OF、OE．∴FO∥DC，且FO=DC

216．（1）由cos2??

∴FO∥AE…………2分

又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE?平面PEC，AF?平面PEC ∴AF∥平面PEC （2）连结AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角……………6分 在Rt△PAC中，tan?PCA?PA15?? AC55即直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan5……………9分 5（3）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角． ……11分 由△AME∽△CBE，可得AM?2PA，∴tan?PMA??2 2AM∴二面角P一EC一D的大小为arctan2………14分

解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，则A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），D（0，1，0），F（0，

11，），E（1，0，0），P（0，0，1） 22?????1111???11（1）取PC的中点O，连结OE，则O（1，，），AF?(0,,),EO?(0,,)

222222????????∴AF?EO……………………………………5分

又OE?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC…………………………6分

????????（2）由题意可得PC?(2,1,?1)，平面ABCD的法向量PA?(0,0,?1)

????????????????PA?PC16??????cos?PA,PC?????? 6|PA||PC|6即直线PC与平面ABCD所成的角大小为arccos6…………… ……………9分 6??????????（3）设平面PEC的法向量为m?(x,y,z),PE?(1,0,?1),EC?(1,1,0)

??????????x?z?0?m?PE?0则??????，可得?，令z??1，则m?(?1,1,?1)……………11分 ??x?y?0??m?EC?0????由（2）可得平面ABCD的法向量是PA?(0,0,?1)

????????????m?PA13??cos?m,PA????????

3|m||PA|3∴二面角P一EC一D的大小为arccos3……………………………………14分 318．（1）∵(2a?c)cosB?bcosC，∴(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC……2分

整理得2sinAcosB?sinBcosC?sinCcosB，

∴2sinAcosB?sin(B?C)?sinA………………………4分

1?,B?………………………6分 23???2?2（2）m?n?4ksinA?cos2A??2sinA?4ksinA?1，其中A?(0,)……8分

3???2设sinA?t?(0,1]，则m?n??2t?4kt?1,t?(0,1]

∵A?(0,?)，∴sinA?0，∴cosB????∴当t?1时，m?n取得最大值………………………12分

依题意?2?4k?1?5，解得k?19．（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，

22x12y12x2y2∵A、B在椭圜上，∴2?2?1,2?2?1 ………………3分

abab33，符合题意，∴k?……………………14分 22y1?y2y1?y2b2???2 两式相减，得

x1?x2x1?x2a∵kAB?y1?y2y?y2?1,kOM?1

x1?x2x1?x2∴kOMb2??2………………6分

a（2）∵直线AB与OM的夹角为?，tan??7

由（1）知kAB?1,kOMb21?2b2a?7 ①………………8分 ??2，∴tan??b2a1?2aa2又椭圆的中心在坐标原点O，一条准线的方程为x?4，∴?4 ②

c在椭圆中，a?b?c ③

2?x2y2?a?4联立①②③，解得?2，∴椭圆的方程为??1………………12分

43??b?322220．（1）f(an)?(an?1),g(an)?4(an?1)

∵(an?1?an)?4(an?1)?(an?1)?0，∴(an?1)(4an?1?3an?1)?0 ∵a1?2，∴an?1，∴4an?1?3an?1?0，∴an?1?1?又a1?1?1，∴数列{an?1}是首项为1，公比为∴an?1?()223(an?1)………3分 43的等比数列， 434n?1，∴an?()34n?1?1………………7分

（2）bn?3(an?1)?4(an?1?1)?3((()3n?123n?1)?())………………9分 443n?1121123令bn?y,u?()，则y?3((u?)?)?3(u?)?

42424392791*∵n?N，∴u(n)递减，其值分别为1,,,,???，经比较距最近

41664162189∴当n?3时，bn有最小值?；当n?1时，bn有最小值0………………13分

2562an?1?2n?11?2?n?2 21．（1）

an2∵a1?2,an?1?2整理得

n?1?ann?1(2?1)，∴an?0,an?1?2n?1?2an， n2an?1an?n?1………………2分 n?122aan?1a2a1则当n?2时，n??1,???,?1?1 nn?122222aa1叠加得n?1?n?1，即an?n?2n n22当n?1时，a1?1?2

故an?n?2………………………………………………………………4分

n1

（2）由（1）得Sn?1?2?2?2?3?2?????n?2………………………………6分

令Tn?1?2?2?2?3?2?????n?2，则2Tn?1?2?2?2?3?2?????n?2∴?Tn?2?2?2?????2?n?2故Sn?(n?1)?2n?123n234n?123n

23nn?1,Tn?(n?1)2n?1?2

?2………………………………9分

（3）由已知得an?1?2an?2n?1?nn01ann?1nnn?1，故只须证明，即2?n?22?n ?2?nn2n∵2?(1?1)?Cn?Cn?????Cn?n，∴结论成立………………………14分

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