高等代数(张禾瑞版)教(学)案-第5章矩阵

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.专业WORD. 第五章 矩 阵

教学目的：

1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。

2. 了解几种特殊矩阵的性质。

教学容：

5.1 矩阵的运算

1 矩阵相等

我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵

A= ??????? ??a a a a

a a a a a mn m m n n 2122221

11211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。

一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。

F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。

以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。

我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。

先引入前两种运算。

2 矩阵的线性运算

定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ）

定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。

以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。

现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵

A=(a ij )，

我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。

3 矩阵线性运输的规律

A+B=B+A ；

(A+B)+C=A+(B+C)；

0+A=A ；

A+(-A)=0；

a(A+B)=Aa+Ab ；

(a+b)A=Aa+Ba ；

a(bA)=(ab)A ；

这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。

利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：

A —B=A+（—

B ）。

于是有

A+B=C ?A=C —B 。

由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。

4 乘法

定义 3 数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij ) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m; j=1,2, …p ） 的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和：

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.专业WORD.

c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。

注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子:

?

???

?

??--???? ??--0512

31213012 =???? ???-+?+-?-?-+?+??+?-+-?-?+?-+?0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =???

? ??--81570. 5 矩阵乘法的运算规律：

对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。 两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如：

00000002121111111=???

?

?

??=???? ?

?????? ??---. 矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 p m 时 A mn B np 有意义，但B np A mn 没有意义。其次，

A mn

B np 和B nm A mn 虽然有意义，但是当m n 时，头一个乘积是m 阶矩阵而第二个是n 阶矩阵，它们不相等。最后，A nn B nn 和B nn A nn 虽然都是n 阶矩阵，但它们也未必相等。 例如

.5718

1332

1221????

??--=???? ??-???? ?? .7514122113

32

???

? ??-=???? ?????? ?

?- 但是距阵乘法满足结合律:

(AB)C=A(BC)

事实上,可以假定

A=(a ij )mn ,B=(b ij )np , C=(c ij )pq ,

那么(AB)C 和A(BC)都是m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距阵乘法知,

u il

= b

a kl

n

k ik

∑=1

,

c b v

lj p

l kl kj

∑==1

,

因此(AB)C=UC 的第I 行第j 列的元素是 (1)

c

b a

c u ij

ki n

k ik

p

l lj

p

l il

)(1

1

1

∑∑∑====

.11

c

b a lj

kl

p

l n k ik

∑∑===

另一方面, A(BC)=AV 的第I 行第 j 列的元素是 (2)

)(1

1

1

c b a v

a lj p

l kl n k ik kj

n

k ik

∑∑∑====

.11

c

b a lj

kl

n k p

l ik

∑∑===

由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.

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.专业WORD. 我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质.

我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵 1 0... 0 0 1 0

…………

0 0 1

叫做n 阶单位距阵 ，记作I n ,有时简记作I.

I n 显然有以下性质：

I n A np =A np ; A mn I n =A mn .

距阵的乘法和加法满足分配律：

A(B+C)=AB+AC;

(B+C)A=BA+CA;

这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。

距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：

a(AB)=(aA)B=A(aB).

给了任意r 个距阵A 1,A 2,…… A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。特别，一个n 阶正方阵A 的r 次方（r 是正整数）有意义

个r r A AA A =

我们再约定 A 0=I

这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。

设

f(x)=a 0+a 1+……+a m x m

是F[x]中有确定的意义，它仍然是F 上的一个n 阶正方阵，我们将它记作f(x):

f(A)=a 0I +a 1A+……+a m A m .

如果f(x), g(x)∈F [x],而A 是一个 n 阶距阵，令

u (x)=f (x)+g (A),v (x)=f (x)g (x)

于是有

u (A)=f (A)+g (A),v (A)=f (A)g (A)

5 距阵的转置

定义4 设m*n 距阵

a 11 a 12 …… a 1n

A= a 21 a 22 …… a 2n

……………………

a m1 a m2 …… a mn

把A 的行变为俩所得到的n×m 距阵

a 11 a 21 …… a m1

A’= a 12 a 22 …… a m2

…………………

a 1n a 2n …… a mn

叫A 的转置

距阵的转置规律

a) (A’)’=A,

b) (A+B)’=A’+B’

c) (AB)’=B’A’

d) (aA)=aA’

我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设

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.专业WORD.

A= ?????

??

??a a

a a

a a a a a mn m m n n

2

1

222

2111211 , B=?

?

?

??

?

? ??b b

b b

b b b b b np n n p p

2

1

222

21

11211 首先容易看出,(AB)’和B ’A ’都是pm 矩阵.其次,位于(AB)’的第i 行第j 列的元素就是位于AB 的第j 行第i 列的元素,因而等于

a j1

b 1i +a j2b 2i +…+a jn b ni . 位于B ’A ’的第i 行第j 列的元素等于B ’的第i 行的元素与A ’的第j 列的对应元素的乘积之和,因而等于B 的第i 列的元素与A 的第j 行的对应元素的乘积之之和:

b 1i a j1+b 2i a j2+…+b ni a jn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立..

等式(4)和(5)显然可以推广到n 个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A 1+A 2+…+A n )’=A 1’+A 2’+…+A n ’ , (A 1A 2…A n )’=A n ’A n-1’…A 2’A 1’

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5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式

教学目的：

1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。

2掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。

教学容：

1逆矩阵的定义：令 A是数域F上的一个n阶矩阵。若是存在F上n阶矩阵B，使得

AB=BA=I，

那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。

若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一决定。

事实上，设B和C都是A的逆矩阵：

AB=BA=I，AC=CA=I。

那么

B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C。

2逆矩阵的性质：

我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-1来表示。

我们有以下简单的事实：

可逆矩阵A的逆矩A-1也可逆，并且

（A-1）-1=A

这由算式

AA-1=A-1A=I

可以直接推出。

两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且

（AB）-1=B-1A-1

这是因为

（AB）(B-1A-1)=（B-1A-1）(AB)=I

一般，m个可逆矩阵A1，A2，…，A m的乘积A1A2…A m也可逆，并且

（A1A2…A m）-1=A m-1…A2-1A1-1

可逆矩阵A的转置A’也可逆，并且

（A’）-1=（A-1）’

这是因为求等式

AA-1=A-1A=I

中三个相等的矩阵的转置，得

（A-1）’A’=A’(A-1)’=I’=I

一个n阶矩阵未必可逆。例如，令

a11 a12

A=

00

而B是任意一个2阶矩阵。那么乘积AB的第二行的元素都是零，

因此不存在二阶矩阵B，使AB=I，从而A不是可逆矩阵。

3初等变换

首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换

相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。

我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵：

i列 j列

1

1 .专业WORD.

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.专业WORD. 0 … 1 i 行

1 P ij =

1

1 … 0 j 行

1

1

i 列 1

1 D i(k) = k

i 行

1 1

i 列 j 列

1 1 … k i 行

T ij(k) = 1 j 行

1

这里没有注明的元素在主对角线上的都是1，在其它位置的都是零。通过验算容易看出：交换

一个m ×n 矩阵A 的第和第i 和第j 行或第i 和第j 列，相当于把A 左乘以m 阶矩阵P ij 或右乘

以n 阶矩阵P ij ；把A 的第i 行或列乘以数k ，相当于把A 左乘以m 阶的D i(k)，或右乘以n 阶的

D i(k)；把A 的第j 行乘以数k 后加到第i 行相当于把A 左乘以m 阶的T ij(k),把A 的第j 列乘以数k

后加到第i 列相当于把A 右乘以n 阶的T ij(-k)

初等变换都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等变换。

因为容易验证：

P -1

ij =P ij ; D i(k)-1=D i( k

1), T ij(k)-1=T ij(-k) 现在容易证明以下

引理 5.2.1 设对正方阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵A ，

那么A 可逆的充分且必要条件是 ā可逆。

证 我们只就行初等变换来证明这个引理，列初等变换的情形可以完全类似地证明。

设ā是通过对A 施行一个行初等变换而得到的。那么存在一个对应的初等矩阵E ，使得

（1） ā=EA

由于初等矩阵E 是可逆的，（1）式说明，当A 可逆时，ā是两个可逆矩阵的乘积。因为ā也

可逆。另一方面，用E 的逆矩阵E -1左乘（1）式的两端，得

（2） E -1ā=E -1EA=IA=A

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.专业WORD. 因为E -1也可逆，由（2）式得，当ā可逆时，A 也可逆。

引理5.2.1说明，矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换而有所改变。

由定理4.1.2，给了任意一个m ×n 矩阵A ，总可以通过行初等变换和交换两列的初等变

换，把A 化为以下的一个矩阵： 1 0 … 0 c 1,r+1 … c 1n

0 1 … 0 c 2,r+1 … c 2n

……………………………

（3） 0 0 … 1 c r,r+1 … c rn

0…………………………0 …………………………… 0…………………………0 继续对 （3）施行第三种列初等变换，显然可以把c ij 都化为零，因此，我们有

定理 5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。

A = ???? ??----O O O I r n r m r r m r

n r ,,, 这里I r 是r 阶单位矩阵，O st 表示s ×t 的零矩阵、r 等于A 的秩。

特别，当A 是一个n 阶矩阵时，上面的矩阵ā是一个对角矩阵（即主对角线以外的元素都

是0的矩阵）。

根据引理5.2.1，n 阶矩阵A 是否可逆，决定于ā是否可逆。然而对角矩阵ā是否可逆很

容易看出。

当ā等于单位矩阵I 时，ā可逆。因为I 本身就是I 的逆矩阵。当ā不等于I 时，ā至

少有一个元素全是零的行，因而右乘ā以任意一个n 阶矩阵B ，所得的乘积āB 中也至少有一

个元素 全是零的行，所以ā不可逆。

这样，n 阶矩阵A 可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵I 。

4 矩阵可逆的条件：

定理 5.2.3 n 阶矩A 可逆，当且它可以写成初等矩阵的乘积。

证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵I ，就是说，I 可以通过初等变换化为A ，也就

是说，存在初等矩阵E 1,…E s ,E s+1,…,E t ，使

A=E 1…E s I E s+1…E t

=E 1…E s E s+1…E t

定理 5.2.4 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n 。

证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵I 。就是说，A 的秩等于n 。

我们把n 阶矩阵

A= ??????? ??a a a a a a a a a nn n n n n

2122221

11211 的唯一的n 阶子式

a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n ………………… a n1 a n2 … a nn

叫做矩阵A 的行列式，记作|A|。我们知道，A 的秩等于n 的充分且必要条件是

|A|≠0。于是由定理5.2.4得

定理 5.2.5 n 阶矩阵A 可逆，当且仅当它的行列式

|A|≠0

我们常需要求出一个可逆矩的逆矩阵来。现在给出两种求逆矩阵的方法。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8cmq.html