大学数学竞赛辅导 导数、微分及其应用

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第二讲 导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数y f x

dydx

f

y

f x lih 0

x h

h

f x

对于多元函数z f x,y

z x

f x h,y f x,y

h

对于函数微分

fx x,y lim

h 0

y f x x x

z

z x x

z y y

d y x

dz

2

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分； 2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式 uv

n

n

C

k 0

kn

u

k n k

v的运用。

例1：求函数y arcsinx在x 0处的n

阶导数。

解：y

,y

，所以有 2

xy 1 x

（1） y

利用莱布尼茨公式对（1）两边求n 2阶导数得 xy

n 1

Cn 2y

1

n 2

1 x

2

y

n

n

Cn 2 2x y

1

n 1

Cn 2 2 y

2

n 2

当x 0时， n 2 y

n 2

0

n

y

0 n 2 n 3 y

2

n 2

0

y由此可得 y

2n

0 n 2

2

y

n 2

0

0 2n 2 2n 4

2

2y 0 0

2

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y

2n 1

0 2n 1 2n 3

11 x

2

22

1y 0 2n 1

2

2

2n 3

1

2

2

例2：求f x 解：f x

n

的n阶导数。

i

n

n 1

11 x12i

2

1 11

2i x ix

n 1

f

x

1

n

n! x i 1 n! x i

1 nn!

2i1 x

2

n 1

x i

n 1

x i

n 1

设x i r cos isin ,x i r cos isin 其中，r f

n

x

2

, arccotx，则有

x

1 nn!

2i1 x

2

n 1

x

2

n 1

2isin n 1 arccotx

1 nn!

x2

n 1

sin n 1 arccotx

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。 4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设f x 在 a,b 上可导，若f a f b 则对介于f a ,f b 的一切值c，必有 a,b ，使得f c。

证明：f x 在 a,b 上可导，则f x 在 a,b 上一定有最大值和最小值。 1、如果f a ,f b 异号，无妨设f a 0,f b 0， 由于f a lim

h 0

f a h f a

h

,f b lim

h 0

f b h f b

h

，由极

限的保号性，当x充分接近a时有f x f a ；当x充分接近b时有 f

x f b，这就说明f a ,f b 不可能是f x 在 a,b 上的最大值，

所以一定存在 a,b ，使得f 是f x 在 a,b 上的最大值，由费马 定理可得f 0。

2、对于一般的f a f b 的情形，设c是介于f a ,f b 的值，考虑函

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数F x f x cx，则有F a f a c,F b f b c异号，由前 面的证明可得，存在 a,b 有F f c 0，即f c。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

f x f x0 f x0 x x0

n 1

f x0 2!x0

x x0

2

f

n

x0

n!

x x0 n Rn x

其中Rn x

f

x

n 1 !

n 1

，这里 在x与x0之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值 4）一元函数的凹凸性：

f x 在区间I上凹： x1,x2 I和 1, 2 R ，若 1 2 1，则f 1x1 2x 2 1f

x 1

2

f ；x

2

f x 在区间I上凸： x1,x2 I和 1, 2 R ，若 1 2 1，则f 1x1 2x 2 1f

x 1

2

f ；x

2

性质：1、如果f x 在区间I上是凹的，则 x1,x2, ,xn I和 1, 2, , n R ，若 1 2 n 1，一定有 x f 1x1 2x2 nn

1 f

x1

2f

x2

n f n；x

2、如果f x 在区间I上是凸的，则 x1,x2, ,xn I和 1, 2, , n R ，若 1 2 n 1，一定有 x f 1x1 2x2 nn

1 f

x1

2f

x2

n f n x

xn 1 1

证明：因为 1x1 2x2 nxn 1x1 1 1

2

1 1

2 1 1

x2

n

其中

n

1 1

1，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若a1,a2, ,an 0，则有

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证明：考虑函数f x lnx f x

1x

a1 a2 an

n

x 0，因为

,

f x

1x

2

0,x 0

所以x 0时，f x 是凹函数。因此对于a1,a2, ,an 0由性质有 ln

a1 a2 an

n

1n

lna1 lna2 lnan

ln

ln

a1 a2 an

nn

a1 a2 an

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设f x 在 a,b 上连续，在 a,b 上可导，f a f b 0。又g x 在

a,b 上连续，证明：至少存在一点 a,b 使得f g f 。

证明：因为g x 在 a,b 上连续，所以g x 在 a,b 上存在原函数G x ，即有G x g x 。

考虑函数F x e

G x

f x ,x a,b ，则有F a F b 0，由罗尔中值定

理可得至少存在一点 a,b 使得 F e

G

f g e

G

f 0

因此至少存在一点 a,b 使得f g f 。 例5：设函数f x 在[a, )上连续，在 a, 上可导，

（1）如果f a limf x ，证明：至少存在一点 a, ，使得f 0。

x

（2）如果f a 1，且对一切x a有f x ea x，证明：至少存在一点 a, ，使得f e

a

。

证明：（1）如果函数f x 在[a, )上是常数，则对于任意的 a, 都有f 0。下面设f x 不是常数，此种情形下存在c a, 使得f a f c ，

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无妨设f

a f c ，取

f

c f a

2

，因为f

a

x

limf x ，所以存在

X 0，当x X时有

f x f a

f c f a

2

f x

f a f c

2

f c

因此我们有f X f c ，由此我们可得f x 在 a,X 上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点 a,X a, 使得 f 0 (2)因为lime

x

a x

0，0 f x ea x，由夹逼准则得

0

lifm x

limf x

x

x

考虑函数F x f x e

a x

，则有F x 在[a, )上连续，在 a, 上可导，

并且F a limF x 0，由（1）的结论可得至少存在一点 a, ，使得

x

F f e

a

a

0 f e。

例6：设函数f x 在区间 0,1 上可微，f 0 0,f 1 1， 1, 2, n是n个正数，且 1 2 n 1，证明：存在x1,x2, ,xn 0,1 使得

1f x1

2f x2

nf xn

1

证明：利用介值定理，存在c1,c2, ,cn 0,1 使得f c1 1,f c2 1 2 f c3 1 2 3, ,f cn 1 1 2 n 1，无妨我们设c0 0,cn 1，

对函数f x 分别在以ci,ci 1,i 0,1, ,n 1为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在xi 1在ci,ci 1,i 0,1, ,n 1之间使得 f xi 1

f ci 1 f ci ci 1 ci

i 1ci 1 ci

i 1f xi 1

ci 1 ci

i 0,1, ,n 1

因此我们有

1f x1

2f x2

nf xn

c1 c0 c2 c1 cn cn 1 cn c0 1

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例7：设f x 在 , 上可导，f 0 0,f x f x ，证明：f x 0。 证明：1）设f x 在0,内的最大值为f x0 ，则有

2 f x0 f x0 f 0 x0f

这就得到在0,

1

上有f 2

1

12

f

x0

f

x0

0

x 0，特别是f

1

0； 2

2）设f x 在

k 1 k

上有f, 2 2

x 0，设设f x

在

k 1k 2

内的

2,2

最大值为f x1 ，则有 f x1 f x1 f

k k 1

x f 1

2 2

f

x

f

x 1 0

这就得到在

k 1k 2

上有f

2,2

x 0，

由数学归纳法可得在[0, )上有f x 0。同理可得在( ,0]上有 f x 0。

例8：设f x 在 a,b 上有二阶导数，证明：存在 a,b ，使得

ba

a bf x dx b a f

2

b a

f

24

a b2

3

证明：设F x

xa

f t dt，将F x 在点

处展成三阶泰勒公式

23 F a ba b

x x

262

a b

F

a b a b a b 2 F x F Fx 2 2 2 2

当x a时，

a bF

a b a b a b 2 0 F F

2 2 2 2

a bf

a b a b 2

f t dt f

2 2 2

23 F 1 a b a b

262

23 f 1 a b a b

（1）

6 2 2

a b

0

2a

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当x b时，

a bF

a b a b b a 2 F b F F

2 2 2 2

23 F 2 b a b a

6 2 2

ba

a b

f t dt

2a

a b

f 23 f b ab a2 a b b a 2

f t dt f (2)

222262

2 1 得

ba

13 f 1 f 2 a b

f t dt f b a b a

242 2

因为f x 在 1, 2 可导，且

f 1 f 2

2

在f 1 ,f 2 之间，由达布定f 1 f 2

2

3

理可得，存在 1, 2 a,b 使得f

，此时即有

ba

a b

f x dx b a f

2

b a

f

24

例9：设f x 在 a,b 上二阶可导，证明：对于x a,b ，存在 a,b 使得

f

b a 2

x f a

x

txab

a

2222

1111

b f x f

b

f

x

f t

txab

证明：构造函数F t

fff

x a b

，则有F a F x F b 0，利用罗

尔中值定理，存在 1 a,x , 2 x,b 有F 1 F 2 0，再利用一次罗尔中值定，存在 1, 2 a,b 使得F 0，又因为

f t

F t

fff

2txab

222

1xab

0111

,F t

f t fff

2xab

222

0xab

0111

x a b x a b

f t a x b x b a 2 b x f a f x 2 a x f b f x

由此可得

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f a x b x b a 2 b x f a f x 2 a x f b f x 0

f 即有

f b a 2

f b a 2

a f x

a

x

b f x f

b

x

x f a

x

a

b f x f

b

f

x

1

1。 2

例10：设函数f x 在 0,1 连续，在 0,1 内可微，且f 0 f 1 0,f

1

证明：（1）存在

,1 使得f ； 2

（2）存在 0, 使得f f 1。 证明：（1）考虑函数F x f x x，因为F

1

,1 使得f ； 2

x

1 1

0,F 1 1 0，由零 2 2

点定理，存在

（2）考虑函数G x f x x e存在 0, 使得G e

，因为G 0 0,G 0，由罗尔中值定理，

f 1 e f 0，即有

f f 1。

四、练习题

1）求函数y

11 2x 4x

2

的n阶导数。

k

2）设f x 在 a,b 上有n 1阶导数，且f证明：存在 a,b ，使得f

n 1

a

f

k

b 0

,k 0,1,2, ,n，

f 。

3）设f x 在 a,b 上有二阶导数，f a f b 0且存在c a,b 使得f c 0证明：存在 a,b ，使得f 0。

4）设f x 在区间 1,1 上三次可微，证明：存在 1,1 ，使得

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f 6

f 1 f 1

2

f 0

5）设函数f x 在 , 上是导数连续的有界函数，f x f x 1，证明： f x 1

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