集合知识点汇总与练习

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

一 集合与元素

1.集合是由元素组成的

集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。 2.集合中元素的属性

（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。 （3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 3.元素与集合的关系

（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”； （2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 4.集合相等

如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。 二 集合的分类

1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； 2.无限集：集合中元素的个数是不可数的； 3.空集：不含有任何元素的集合，记做?. 三 集合的表示方法 1.常用数集

（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；

（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N； （3）整数集：全体整数的集合，记做Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q （5）实数集：全体实数的集合，记做R 3.集合的表示方法

（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。 （2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元

※

素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.

注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字

母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。

韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。 4.列举法和描述法之间的相互转换

（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。 （2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。

【随堂练一练】

一 选择题

1.下列每组对象可构成一个集合的是 （ ）

（A）中国漂亮的工艺品 （B）与1非常接近的数 （C）高一数学第一张的所有难题 （D）不等式2x+3＞1的解 2.下列说法正确的是 （ ）

（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合 （B）0与｛0｝表示同一个集合 （C）{x Q| 是有限集 （D）{x|x Q且 是空集 3.已知a ， ，则 （ ）

（A） （B） （C） （D） 4.已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是 （ ）

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形 5.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ）

（A）M {(3,2)},N {(2,3)} （B）M {2,3},N {3,2} （C）M {(x,y)|x },N {y| } （D）M {(3,2)},N {(2,4)} 6.用列举法表示集合 为 （ ）

（A）{(1,2)} （B）{(2,1)} （C）{1,2} （D）{ } 7.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 （ ）

（A） ， （B）

（C） ， ， （D） ， ， 8.设a，b都是非零实数，c＞0，

可能取的值组成的集合为 （ ）

（A）{3} （B）{3,2,1} （C）{3,1，-1} （D）{3，-1} 二 填空题

9.由实数x，-x， ， 所组成的集合里最多有 个元素。 10.用列举法表示集合 ，

11.集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合，则a b 12.用符号“ ”“ ”填空：

（1）0 , Z

（2）5 { ， } （-1,1） { } （-1,1） {(x,y)|y } 三 解答题

13.已知 {2,a,b},N {2a,a, },且M=N，试求a和b的值. 14.已知集合M { 2， ， }，若2 ，求x.

15.已知集合 .若A是单元素集合，求a的值及集合A.

1.1.2 集合间的基本关系

一 子集

1.子集定义的三种语言

①文字语言：对于两个集合A和B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B 的子集，记作A B（或A B），读作集合B含于集合A（或集合B包含集合A）。

②符号语言：对于任意a A，都有a B，则称集合A是集合B 的子集。 ③图形语言：Venn图

若集合A是集合B 的子集，可用右图来表示两个 集合之间的关系。

★任何一个集合是它本身的子集。

B A 2.集合相等

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合A等于集合B，记作A=B。（A B且B A A=B） 3.真子集

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A为集合B的真子集，记作A??B或B??A（若A ，且 ，则集合 是集合 的真子集） 4.子集的性质

①A A，即任何一个集合都是它本身的子集 ②如果A B，B A，那么A B ③如果A B，B C，那么A C ④如果A??B，B??C，那么A??C 二 空集

1.不含任何元素的集合叫做空集，记作 .

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3.{0}、0、 与{ }之间的关系

0 {0} 0 {0} {0} 三 有限集合的子集的个数 1.n个元素的集合有 个子集 2.n个元素的集合有 个真子集 3.n个元素的集合有 个非空子集 4.n个元素的集合有 个非空真子集

【随堂练一练】

一 选择题

1.下列命题中，正确的有 （ ） ①空集是任何集合的真子集

②若A??B，B ??C，则A??C

③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集 ④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A B

（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④ 2.集合M {1,2,3}的真子集的个数是 （ ）

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 3.已知{1,2} M??{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是 （ ）

（A）3 （B）4 （C）6 （D）8

4.已知M { }， ，则下列关系中正确的是 （ ）

（A）N??M （B）M （C）M N （D）M??N

5.下列六个关系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b} {b，a}；③ ；④{0} ；⑤ ?⑥0 ，其中正?{0}；确的个数是 （ ）

（A）1 （B）3 （C）4 （D）6 二 填空题

6.已知集合{2x, }有且只有4个子集，则实数x的取值范围为 7.设 ， ，若A??B，则a的取值范围为 8.若集合 为空集，则实数a的取值范围为 三 解答题

9.设集合A={1,2,3},B={x|x A},求集合B.

10.已知集合 ， ，若 ，求实数m的取值范围. 11.设集合A={1,a,b},B={a, ,ab},且A=B，求实数a、b的值.

A

1.1.3 集合的基本运算

一 并集

1.并集定义的三种语言

①文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集，记作A B. ②符号语言： ，或 ③图形语言：Venn图 B A B A B A

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