河南郑州市2014年九年级第一次质量预测试题（含答案）

2014年郑州市九年级第一次质量预测

数学试题卷

（满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1.?1的相反数是（ ） 5A．?1 5 B．

1 5 C．5 D．?5

2.网上购物已成为现代人消费的趋势，2013年天猫“11·11”购物狂欢节创造了一天350.19亿元的支

付宝成交额．其中350.19亿用科学记数法可以表示为（ ） A．350.19×108 C．35.019×109

B．3.501 9×109 D．3.501 9×1010

3.妈妈昨天为小杰制作了一个正方体礼品盒，该礼品盒的六个面上各有一个字，连起来就是“宽

“美”的对面是“德”， 容是种美德”，其中“宽”的对面是“是”，则它的平面展开图可能是（ ）

宽容 是种美德宽容是种美

德宽容美种德

是宽容是

种美德A． B． C． D．

4.小华所在的九年级（1）班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学

生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.68米，下列说法错误的是（ ） A．班上比小华高的学生人数不超过25人 B．1.65米是该班学生身高的平均水平 C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D．这组身高数据的众数不一定是1.65米

5.小明在2013年暑假帮某服装店买卖T恤衫时发现：在一段时间内，T恤衫按每件80元销售时，

每天销售量是20件，而单价每降低4元，每天就可以多销售8件，已知该T恤衫进价是每件40元．请问服装店一天能赢利1 200元吗？如果设每件降价x元，那么下列所列方程正确的是（ ）

A．(80?x)(20?x)?1 200

B．(80?x)(20?2x)?1 200

C．(40?x)(20?x)?1 200

D．(40?x)(20?2x)?1 200

6.如图，直线l上摆有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为10和8，则b的面积是（ ）

A．16

B．20

C．18

D．24

yClabc

PDE

AOBx第6题图 第7题图 第8题图

7.如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即

A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母B第2 014次出现时，恰好数到的数是（ ） A．4 028

B．6 042

C．8 056

D．12 084

8.如图，一条抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线CD－DE上移动，若点C，D，E的

坐标分别为(2，8)，(8，8)，(8，2)，点B的横坐标的最小值为0，则点A的横坐标的最大值为（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

二、填空题（本题共7个小题，每小题3分，共21分） 9.计算16=_________．

yCAOBx610.已知反比例函数y??的图象经过点P(2，a)，则a=_____．

x11.《爸爸去哪儿》有一期选择住房，一排五套房子编号分别为1，2，

3，4，5．五个家庭每家只能选择一套房不能重复，Kimi和王诗

龄代表各自家庭选房，他俩选择的住房编号相邻的概率是___________．

12.如图，半径为5的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的

正弦值为___________．

13.数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三

根弦长之比为15:12:10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do、mi、so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：

1111???，此时我们12151012

12，10为一组调和数，x，5，3 称15，现有一组调和数：（x?5），则整数x的值为___________．14.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．将纸片折叠，点A，D分别落在点A′，D′处，且A′D′

经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，

CG?_________． BGDFAEA'GBD'C

yAEBOCDx

第14题图 第15题图

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，E为AD中点，点P在x轴

上移动．请你写出所有使△POE为等腰三角形的P点坐标：__________________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分）

a2?1a?116.（8分）化简：ab÷?2，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．

a?1ab

小刚计算这一题的过程如下：

解：原式?ab÷(a?1)(a?1)a?1?2……①a?1ab

?ab??a?1a?1?2……②(a?1)(a?1)ab

1……③ ab当a=1，b=1时，原式=1．……④

以上过程有两处错误，第一次出错在第_______步（填序号），原因：________________； 还有第_______步出错（填序号），原因：____________________． 请你写出此题的正确解答过程．

17.（9分）某校有学生3 600人，在“文明我先行”的活动中，开设了“法律、礼仪、环保、感恩、

互助”五门校本课程，规定每位学生必须且只能选一门．为了解学生的报名意向，学校随机调查了一些学生，并制成如下统计表和统 计图：

（1）在这次调查活动中，学校采取的调查方式是_________（填写“普查”或“抽样调查”），

a=_________；m=_________；n=_________．

（2）请补全条形统计图；如果要画一个“校本课程报名意向扇形统计图”，那么“环保”类校本课程所对应的扇形圆心角应为_______度．

（3）请估算该校3 600名学生中选择“感恩”校本课程的学生约有多少人．

校本课程报名意向条形统计图人数/人180160140120100806040200课程类别 法律 频数 36 55 m 130 49 n 频率 0.09 0.137 5 a 0.325 0.122 5 1.00 130礼仪 环保 感恩 365549互助 合计 法律礼仪环保感恩互助课程类别

18.（9分）星期天，小丽和同学们来碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐

“这个纪念碑有多高呢？”．军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽和同学们肃然起敬，小丽问：请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高（画出示意图），并说明理由．

19.（9分）我们知道，对于二次函数y?a(x?m)2?k的图象，可由函数y?ax2的图象进行

向左或向右平移m个单位、再向上或向下平移k个单位得到，我们称函数y?ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y?a(x?m)2?k为“基本函数”y?ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离m2?k2称为朋友距离．

如一次函数y?2x?5是基本函数y?2x的朋友函数，由y?2x?5可化成

y?2(x?1)?3，于是，朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距

离?12?32?10．

（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y?2x?5又找到了一条朋友路径：由基本函数

y?2x先向_____，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为_____；

（2）探究二：将函数y?4x?51

化成y?__________，使其和它的基本函数y?成为朋友x?1x

函数，并写出朋友路径，求相应的朋友距离．

20.（9分）我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到

∠PAB=67.5°，同时，巡逻船B观测到∠PBA=36.9°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A≈与落水人P的距离？（参考数据：sin36.9°

331212≈，sin67.5°≈≈ ，tan36.9°，tan67.5°）

54135B36.9°

P67.5°A

21.（10分）某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区

域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．设一块绿化区的长边为x（m）．

（1）设工程总造价为y（元），直接写出工程总造价y（元）与x（m）的函数关系式：__________________．

（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．（参考值3?1.732）

出口出口出口

出口

22.（10分）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，

以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接FC，观察并猜测tan∠FCN的值，并说明理由；

（2）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=m，BC=n（m，n为常数），E是射线BC上一动点（不含端点B），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，当点E沿射线CN运动时，请用含m，n的代数式表示tan∠FCN的值．

GFAD MBCEN 图1 GF

ADMBCEN 图2

23.（11分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q(－2，－1)，且与y轴交于点C(0，

3)，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D． （1）求该抛物线的函数关系式．

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请简单说明理由．

yDCPAQ

BOx

参考答案

一、选择题

题号 答案 二、填空题 9.4

10. －3 11. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 21 12. 52

13.15 14. 三、解答题

23 15. 3?5??5??25??，0，，0，4，0，0? ??，??????2??2??16?16.（8分）③,约分错 (只要合理即可)………………………………………2分

④,a取值不能为1，a=1时分式无意义.（合理就给分）……………4分

正确解题过程：

原式?ab?a?1ab2a?1a?1?ab??2 ………………………………………7分

?a?1??a?1?ab=1b1（只要a≠±1或0;b≠0都可根据计算给分）…8分 2?a?1??a?1??a?1当a?2，b?2时，原式=17.（9分）（1）抽样调查，a=0.325；m=130；n=400；……………………4分

校本课程报名意向条形统计图人数/人180160140（2）117；120100806040200130130…………………7分

365549法律礼仪环保感恩互助课程类别（3）3600?0.325?1170（人）

答：该校3600名学生中选择“感恩”校本课程的约有1170人.……………9分 18.（9分）设计方案例子：

如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD，DE，BE的长，就可算出纪念碑AB的高. ………………………………………………………………………3分

AC…………………………………………6分

DEBABBE ?CDDEDE，BE的长，理由：测量出CD，因为∠CED=∠AEB，∠D=∠B=90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 ，即可算出AB的高. ……………………………………9分 (说明：此题方法很多，只要合理，即可根据上述例子的给分标准对应给分.)

19．（9分）（1）左平移1个单位，5（2）y?2； ………………………………4分

1?4，………………………………………………………………6分 x?1朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移4个单位.

相应的朋友距离为12?42?17. ……………………………………………9分 20.（9分）解，如图：过点P作PC⊥AB，垂足为C，

B36.9°

PA设PC=x海里．

在Rt△APC中，∵tan∠A =

67.5°CPCPC5x?，∴AC =．……………………2分

ACtan67.5?12PCx4x?，∴BC =．……………………4分

BCtan36.9?3在Rt△PCB中，∵tan∠B =

∵AC＋BC=AB=63，∴∵sin?A?5x4x??21?5 63，解得x =36．…………………………6分 123PCPC3613，∴PA?． ??36?=39（海里）PAsin?Asin67.5?12∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．……………………………………9分

21.（10分）解：（1）y??40x2?400x?480000……………………………4分 （2）投资46.9万元能完成工程任务. ………………………………5分 依题意，可得到20≤x≤25.…………………………………………………7分 ∵?40x2?400x?480000?469000， ∴x2?10x?275?0

解得：x1?5?103，x2?5?103（舍去） 因为5?103?5?17.32?22.32

24,25 结合抛物线的增减性及x的取值范围，可得x?23，∴投资46.9万元能完成工程任务，工程方案如下： 方案一：一块矩形绿地的长为23m，宽为13m；

方案二：一块矩形绿地的长为24m，宽为14m；

方案三：一块矩形绿地的长为25m，宽为15m．…………………… 10分 22．（10分）

解：（1）tan∠FCN＝1. ………………………………………………………2分 如图，过点F作FQ⊥MN于点Q，则tan?FCN?QF， CQGFAD

MBCEQN由∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，可得△ABE∽△EQF，……………………4分 ∵

AE1?， EF1∴△ABE≌△EQF， ∴AB=EQ，BE=QF， 设AB=a，CE=b， 则EQ=a，QF=BE=a+b， ∴CQ=a+b，tan?FCN?FQa?b??1．………………………………………6分 CQa?bQF， CQ（2）如图，类比第（1）问，过点F作FQ⊥MN于点Q，则tan?FCN?

GF

AM同样地，可得△ABE∽△EQF，

21DCEQNBABBEAE?? ∴

EQQFEF第1问借助全等找线段关系，这里可以借助相似，所以需要找出两个三角形的 相似比，由相似比得线段关系；上一问是利用正方形两邻边AE:EF=1:1得到 相似比，这里同样需要找到矩形两邻边AE:EF的值． 观察图形，点G恰好落在射线CD上，此时∠ADG=90°， ∵∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠1=∠2，

∴△ABE∽△ADG，………………………………………………………………8分 ∴

AEABm?? AGADnAEm?， EFn∴

设CE=b，

ABBEAE?? ∵

EQQFEFmn?bm??， ∴

EQQFn∴EQ=n，QF?∵CQ=n+b，

n(n?b)， m

n(n?b)n∴tan?FCN?QF?m?．…………………………………………10分

CQn?bm【提示】

①结合题干容易判断出这是一个类比探究问题，需要调用处理类比探究的思路（照搬字母，照搬辅助线，照搬思路）来解决问题；

②要求角度的正切值，首先把角放到直角三角形中，作出需要的辅助线，表达出 角度的正切值；

③观察图形结构，利用“一线三等角”出现全等或相似来转化比例关系，考虑 线段关系复杂，采用量化的手段来减轻思维量；

④照搬第一问的思路去解决第二问，类比不下去时，需要考虑图形中有哪些不 变特征（一线三等角不变），同时考虑新增加的条件是什么（点G在射线CD上）， 找思路解决． 23．（11分）

解：（1）∵抛物线的顶点为Q(－2，－1)，

∴设抛物线的函数关系式为y?a(x?2)2?1， 将C(0，3)代入上式，得a?1，

∴y?(x?2)2?1，即y?x2?4x?3．………………………………………4分 （2）由x2?4x?3?0得，x1??3，x2??1，

0)，B(?1，0)． ∴A(?3，如图，

yD2D1AC

B(P2)OQ(P1)x①当点A为直角顶点时，过点A作直线AC的垂线交抛物线于点P1，

0)，C(0，3)， ∵A(?3，

∴直线AC的表达式为y=x+3．

0)在直线AP∵AP1⊥AC，点A(?3，1上，

∴直线AP1的表达式为y??x?3．

?y??x?3?x??2?x??3由?得，或?（舍去）， ?2?y??1?y?0?y?x?4x?3，?1)（即为点Q）∴P．………………………………………………………6分 1(?2②当点P2． 2为直角顶点时，AP2⊥D2P∵D2P2∥y轴， ∴AP2⊥y轴，

0)． ∴点P2(?1，2与点B重合，即P③当点D为直角顶点时，不符合题意．

?1)或(?1，0)．………………………………………8分 综上得，点P坐标为(?2，（3）存在，…………9分

点F的坐标为(?2?2，1)或(?2?2，1)．……………………………………11分 【提示】

由（2）知，当点P的坐标为(－1，0)时，不能构成平行四边形．

?1)时，点A，P为定点，E，F为动点，以定线段AP为平行四边形的边或对角当点P坐标为(?2，线来分类讨论．

如图，当AP1为边时，将AP1平移，

yCF2F1AE2BOE1Q(P1)得到点F的纵坐标为1，代入抛物线表达式求横坐标，

x

当AP） 1为对角线时，不存在平行四边形．解题要点：

①分析题目特征，辨识类型，调用存在性问题处理原则．

②直角三角形存在性，分析定点，动点，从直角顶点入手分类讨论．

③平行四边形存在性，分析定点，动点，确定两定两动，以定线段为边或对角线确定分类标准，

作边时利用平移，作对角线时利用旋转解决问题．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共24分） 1. B

2.D

3.C 4. A

5. D 6.C 7. B 8.C

二、填空题（每小题3分，共21分） 9.4

10. －3 11.

21 12. 13.15 5214.

2523 15. (?2.5,0)(2.5,0)(4,0)(,0)

163三、解答题（共75分）

16.（8分）③,约分错 (只要合理即可)…………………………………2分

④,a取值不能为1，a =1时分式无意义.（合理就给分）……………4分 正确解题过程：原式= ? ab? 2

= ab ? ? 2

(a?1)(a?1)a?1a?1aba?1a?1(a?1)(a?1)ab1 = . …………………………………7分

b

当a=2，b=1时，原式=1（只要a≠±1或0;b≠0都可根据计算给分）………8分

0.325； 130； 400；……………………4分 17. （9分）（1）抽样调查；(2)如图：

人数（人）180160140120100806040200130 130 553649法律 礼仪环保感恩互助课程类别 117；…………………………7分

（3）3600×0.325=1170人.

答：该校3600名学生中选择“感恩”校本课程的约有1170人.…………………………9分 18. （9分） 设计方案例子：

如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰看见纪念碑顶

A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高. ………………3分

A

C

B D E …………………6分

理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED=∠AEB，∠D=∠B=90°，易得△ABE∽△CDE.

根据 ? ，即可算出AB的高. …………………9分

(说明：此题方法很多，只要合理，即可根据上述例子的给分标准对应给分.) 19．（9分）（1）左平移1个单位 ，52； …………………………4分 （2）y ?

ABCDBEDE1?4，…………………………6分 x?1朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移4个单位.

相应的朋友距离为12?42?17 . …………………………9分

20. （9分）过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC = x海里． 在Rt△APC中，∵tan∠A =

PCPC5x?，∴AC =．…………2分

ACtan67.5?12PCx4x?，∴BC =．…………4分

BCtan36.9?3 在Rt△PCB中，∵tan∠B =

∵AC＋BC=AB=63，∴ ∵sin?A?5x4x?? 21?563，解得x = 36．…………6分 123PCPC3613??36?=39（海里），∴PA?．

PAsin?Asin67.5?12 ∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．………………9分

21. （10分）解：（1）y??40x?400x?480000…………………………………4分 （2） 投资46.9万元能完成工程任务. …………………………………5分 依题意，可得到20≤x≤25.…………………………7分

2?40x2?400x?480000?469000，

?x2?10x?275?0．

?x?10?203（负值舍去）． ?5?103．

2G

?x?5?103≈22.32．

∴投资46.9万元能完成工程任务，工程方案如下： 方案一：一块矩形绿地的长为23m，宽为13m； 方案二：一块矩形绿地的长为24m，宽为14m；

方案三：一块矩形绿地的长为25m，宽为15m．…………… 10分 22. （10分） 解：（1）tan∠FCN＝1. …………2分

理由是：作FH⊥MN于H. ∵∠AEF＝∠ABE＝90o，

∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o. ∴∠FEH＝∠BAE .

又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90o，

∴△EHF≌△ABE . …………4分 ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH.

∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o. tan∠FCH＝1. …………6分 （2）作FH⊥MN于H .

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o. 结合（1)易得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG. 又∵G在射线CD上，

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o，

∴△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB . ……8分 ∴EH＝AD＝BC＝n，∴CH＝BE.

EHFHFH

∴＝＝ . ABBECH

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝

M B

C E

A

D G F

M B

C

E

N H F

A D

H N

nFHEH

＝＝ . CH ABmn.……10分 m∴当点E沿射线CN运动时，tan∠FCN＝23. （11分）

解：（1）∵抛物线的顶点为Q（－2，－1）， ∴设抛物线的函数关系式为y?a(x?2)?1.

2

将C（0，3）代入上式，得

3?a(0?2)2?1.

a?1.

∴y??x?2?2?1， 即y?x2?4x?3.……………………4分

（2）分两种情况：

①当点P1为△ADP的直角顶点时,点P1与点B重合.

令y=0, 得x?4x?3?0. 解之，得x1??1, x2??3.

∵点A在点B的左边, ∴B(－1,0), A(－3,0).

∴P1(－1,0). …………………………………………5分 ②当点A为△ADP的直角顶点时.

∵OA=OC, ∠AOC=90, ∴∠OAD2=45.

当∠D2AP2=90时, ∠OAP2=45, ∴AO平分∠D2AP2 .

又∵P2D2∥y轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于x轴对称.……………………6分 设直线AC的函数关系式为y?kx?b. 将A(－3,0), C(0,3)代入上式得

????2?0??3k?b,?k?1,

, ∴ ???b?3.?3?b.∴y?x?3. ………………………………7分 ∵D2在y?x?3上, P2在y?x2?4x?3上, ∴设D2(x,x?3), P2(x,x?4x?3). ∴(x?3)+(x?4x?3)=0.

22x2?5x?6?0, ∴x1??2, x2??3(舍).

∴当x =－2时, y?x?4x?3

=(?2)?4?(?2)?3=－1.

∴P2的坐标为P2(－2,－1)(即为抛物线顶点).

∴P点坐标为P1(－1,0), P2(－2,－1). …………8分 (3)解:存在. …………9分 F1(－2?222,1), F2(－2?2,1). …………………………………11分

（理由：由题(2)知,当点P的坐标为P1(－1,0)时,不能构成平行四边形.

当点P的坐标为P2(－2,－1)(即顶点Q)时, 平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形. ∵P(－2,－1), ∴可令F(x,1). ∴x?4x?3?1.

解之得: x1??2?2, x2??2?2. ∴F点存在有两点，F1(－2?

22,1), F2(－2?2,1). ）

（理由：由题(2)知,当点P的坐标为P1(－1,0)时,不能构成平行四边形.

当点P的坐标为P2(－2,－1)(即顶点Q)时, 平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形. ∵P(－2,－1), ∴可令F(x,1). ∴x?4x?3?1.

解之得: x1??2?2, x2??2?2. ∴F点存在有两点，F1(－2?

22,1), F2(－2?2,1). ）

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