高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习) g3.1051三...

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g3.1051 三角形中的有关计算和证明一、知识回顾本节公式中， s =
a+b+c , ,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积. 2
（一).三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π， 2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b， a－b < c，b－c < a，c－a > b． 3．边与角关系： 1）正弦定理 2）余弦定理
a b c = = = 2R sin A sin B sin Cc2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．b2 + c2 ? a2 ． 2bc
它们的变形形式有：a = 2R sinA， sin A = a ， cos A =sin B b
3）射影定理： a＝b·cosC＋c·cosB， b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋c·cosA． 4）正切定理：
A+ B tg a + b sin A + sin B 2 = = a ? b sin A ? sin B tg A ? B 2
…………….(轮换) 5）模尔外得公式：
a+b = c
cos
A?B A? B sin a?b 2 , 2 ; = C C c sin cos 2 2
6）半角定理：
sincos
A ( s ? b)(s ? c) = 2 bcA s( s ? a) = 2 bc
tg
A ( s ? b)( s ? c) 1 ( s ? a )( s ? b)( s ? c) = = 2 s(s ? a) s?a s r = s?a
（以上公式均轮换） 7）面积公式：
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1 1 a2 sinBsinC ? = ah = absinC = = 2R2 sinAsinBsinC a 2 2 2sin( +C) B A B C 2 A B C abc = s2tg tg tg = r ctg ctg ctg = rs= 2 2 2 2 2 2 4R = s(s ?a)(s ?b)(s ?c)（二） 、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形 由 A＋B＋C＝π，知 A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C） ，cosA＝－cos（B＋C） ． 而 A = π ? B + C ．有： sin A = cos B + C ， cos A = sin B + C ．2 2 2
2
2
2
2
2.常用的恒等式： （1）sinA＋sinB＋sinC＝4cos A cos B cos C ． 2 2 2 （2）cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sin A sin2
B sin C ． 2 2
（3）sinA＋sinB－sinC＝4sin
A B sin cos C ． 2 2 2
（4）cosA＋cosB－cosC＝－1＋4cos A cos B sin C ． 2 2 2 （5）sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC． （6）cos2A＋cos2B＋cos2C＝－1－4cosAcosBcosC． （7）sin2A＋sin2B＋sin2C＝2＋2cosAcosBcosC． （8）cos2A＋cos2B＋cos2C＝1－2cosAcosBcosC．
二、基本训练3 5 . 1、在 ?ABC 中，已知 sin B = ,cos A = ，则 cos C ＝ 5 13 2、在 ?ABC 中，A＞B 是 sin A > sin B 成立的 .条件. 3、在 ?ABC 中，若 sin A sin B < cos Acos B ，则 ?ABC 的形状为 4、在 ?ABC 中， ( 1 + tan A )( 1 + tan B ) = 2 ，则 log 2 sin C ＝
..
5、在 ?ABC 中， a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边，若( a + b + c )(sin A + sin B ? sin C ) = 3a sin B ，则 ∠C ＝ . 三、例题分析 例 1、在 ?ABC 中， a = 4 ,b + c = 5,tan A + tan B = ? 3( 1 ? tan Atan B ) ，求 sin A .
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例 2、在 ?ABC 中，已知 a 2 tan B = b 2 tan A ，试判断 ?ABC 的形状.
例 3

、 已 知 A 、 C 是 三 角 形 ABC 的 两 个 内 角 ， 且 tan A,tan C 是 方 程 x ? 3 px + 1 ? p = 0( p ≠ 0 ) 的两个实根。 1）求 tan( A + C ) 的值； 2）求 tan A、　 C 的取值 （ （ tan 范围； 3）求 p 的取值范围. （2
例 4、已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列，且 的值.
1 1 2 A?C + =? ，求 cos cos A cos C cos B 2
例 5、 05 湖南卷）已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0， （ 湖南卷） 求角 A、B、C 的大小.
四、作业 同步练习 g3.1051 三角形中的有关计算和证明 1、 ?ABC 中，A、B 的对边分别是 a、b ，且 A=60o , a = 6 , b = 4 ，那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定2、在 ?ABC 中，若 sin A ? 2 sin B cos C = 0 ，则 ?ABC 必定是 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 A、钝角三角形 3、定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x + 2) = f ( x) ，且在区间 [?3,?2] 上是减函数，若 A、B 是 锐角三角形的两个内角，则 A、 f (sin A) > f (cos B ) B、 f (sin A) < f (cos B) C、 f (sin A) > f (sin B ) D、 f (cos A) < f (cos B ) A+ B 4、 （全国卷Ⅰ）在 ?ABC 中，已知 tan = sin C ，给出以下四个论断： 2
① tan A ? cot B = 1 ③ sin 2 A + cos 2 B = 1 其中正确的是 （A）①③ （B）②④
② 0 < sin A + sin B ≤ 2 ④ cos 2 A + cos 2 B = sin 2 C （C）①④
（D）②③ π 5、 （江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点， A(1, cos θ ), B (sin θ ,1),θ ∈ (0, ] ，则当△OAB 的面 2 积达最大值时， θ = π π π π A． B． C． D． 6 4 3 2Author:6c77fe6b7e21af45b307a831 寿光 seo
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a2 + b2 ? c2 ，则 ∠C =_______。 4 3 在 这个三角形的面积为 3 ， ?ABC 外接圆的直径是_________。 则 7、 ?ABC 中，A = 60o , b = 1 ， 2 2 8、在 ?ABC 中，若 a( b cos B ? c cos C ) = ( b ? c )cos A ，试判断 ?ABC 的形状。6、在 ?ABC 中，若其面积 S =
9、 ?ABC 中， 、b、c 分别为角 A、 C 的对边， 在 a B、 已知 tan A + tan B = 3 tan Atan B ? 3 , c = 又 ?ABC 的面积 S=3 3 ，求 a + b 的值。 2
7 ， 2
10、已知 a、b、c 是 ?ABC 的三条边，且
sin( A ? B ) 2c ? b B+C = ，求 cos . sin( A + B ) 2c 2
11、已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角，且 f ( A, B ) = sin 2 2 A + cos 2 2 B ? 3 sin 2 A ? cos 2 B + 2 。 （1）当 f ( A, B ) 取得最小值时，求 C； π r r （2） A + B = 时， 当 将函数 f ( A, B ) 按向量 p 平移后得到函数 f ( A) = 2 cos 2 A ， 求向量 p 。 2
答案： 答案： 基本训练、 基本训练 1、16 65 2、充要 3、钝角三角形 4、 ? 1 2 5、
π3
4 3 例题分析、 例题分析 例 1、 7 0 < tan C < 3
例 2、 等腰三角形或直角三角形2 ≤ p <1 3 2 2
例 3 1） 3 （
（2） < tan A < 3 ， 0
(3)
例 4、
例 5、解法一

由 sin A(sin B + cos B ) ? sin C = 0 得 sin A sin B + sin A cos B ? sin( A + B ) = 0.
所以 sin A sin B + sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A ? cos A) = 0. 因为 B ∈ (0, π ), 所以 sin B ≠ 0 ，从而 cos A = sin A. 由 A ∈ (0, π ), 知 A =
π
3 . 从而 B + C = π . 4 4Author:6c77fe6b7e21af45b307a831 寿光 seo
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3 由 sin B + cos 2C = 0得 sin B + cos 2( π ? B ) = 0. 4 即 sin B ? sin 2 B = 0.亦即 sin B ? 2 sin B cos B = 0. 1 π 5π π π 5π , B = ,C = . 所以 A = , B = , C = . 2 3 12 4 3 12 3π 解法二：由 sin B + cos 2C = 0得 sin B = ? cos 2C = sin( ? 2C ). 2 3π π 3π π 由 0 < B 、 c < π ，所以 B = ? 2C或B = 2C ? . 即 B + 2C = 或2C ? B = . 2 2 2 2 由此得 cos B = 由 sin A(sin B + cos B ) ? sin C = 0 得 sin A sin B + sin A cos B ? sin( A + B ) = 0. 所以 sin A sin B + sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A ? cos A) = 0. 由 A ∈ (0, π ), 知A = 因为 sin B ≠ 0 ，所以 cos A = sin A.
3 3π 不合要求. . 从而 B + C = π ，知 B+2C= 4 4 2 1 π 5π π π 5π 再由 2C ? B = π ，得 B = , C = . 所以 A = , B = , C = . 2 3 12 4 3 12
π
作业、1—5、CDABD 作业 6、
π6
7、
2 39 3
8、等腰三角形或直角三角形r π （2） p = ( ? kπ , ? 3)(k ∈ Z ) 6
9、
11 2
10、
6 4
11、 1） C = （
2π π 或 3 2
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